home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1993 #1 / NN_1993_1.iso / spool / bit / listserv / statl / 2300 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1993-01-05  |  2.6 KB  |  75 lines
  1. Comments: Gated by NETNEWS@AUVM.AMERICAN.EDU
  2. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!howland.reston.ans.net!wupost!psuvax1!psuvm!auvm!vm.sas.com!mozart.unx.sas.com!sasrdt
  3. Originator: sasrdt@shewhart.unx.sas.com
  4. X-Sender: news@unx.sas.com (Noter of Newsworthy Events)
  5. References:  <STAT-L%93010511153853@VM1.MCGILL.CA>
  6. Nntp-Posting-Host: shewhart.unx.sas.com
  7. Organization: (none)
  8. Lines: 59
  9. Message-ID: <C0E7IE.GE5@unx.sas.com>
  10. Newsgroups: bit.listserv.stat-l
  11. Date:         Tue, 5 Jan 1993 18:03:50 GMT
  12. Sender:       STATISTICAL CONSULTING <STAT-L@MCGILL1.BITNET>
  13. Comments:     Warning -- original Sender: tag was NETNEWS@VM.SAS.COM
  14. From:         "Randall D. Tobias" <sasrdt@UNX.SAS.COM>
  15. Subject:      Re: Matrix problem
  16.  
  17. I'm posting this solution rather than just mailing, in order to
  18. advertise my primary source.
  19.  
  20. In article <STAT-L%93010511153853@VM1.MCGILL.CA>, Just Jensen
  21. <LOFJUST@VM.UNI-C.DK> writes:
  22. |> During this procedure I have to prove a matrix identity that I think is
  23. |> well known but i do'nt seem to be able to prove it.
  24. |>
  25. |> Let A be a symetric P.d. matrix.
  26. |>
  27. |> Partition A as A = ! A11 A12 !
  28. |>                    ! A21 A22 !
  29. |>
  30. |> Let C=Inv(A)= ! C11 C12 !
  31. |>               ! c21 C22 !
  32. |>
  33. |> where C is partitioned in the same way as A and inv means inverse.
  34. |>
  35. |> Then the following relationship exists:
  36. |>
  37. |> Inv(A11)*A12 = -C12*Inv(C22)
  38. |>
  39. |> what I need is the proof! (any hints?? or better full proofs)
  40.  
  41. I just happen to be looking at the same sort of partitioned inverses
  42. right now myself, in connection with block designs.  The appendices in
  43. Mardia, Kent, and Bibby (_Multivariate_Analysis_, Academic Press, 1979)
  44. are my standard reference for all sorts of useful matrix identities
  45. like this.  Formula (A.2.4g) there gives
  46.  
  47.    C12 = -Inv(A11 - A12*Inv(A22)*A21)*A12*Inv(A22)
  48.    C22 =  Inv(A22 - A21*Inv(A11)*A12)
  49.  
  50. Thus,
  51.  
  52.    -C12*Inv(C22) =   Inv(A11 - A12*Inv(A22)*A21)
  53.                    * A12*Inv(A22)*(A22 - A21*Inv(A11)*A12)
  54.                  =   Inv(A11 - A12*Inv(A22)*A21)
  55.                    * (A12 - A12*Inv(A22)*A21*Inv(A11)*A12)
  56.                  =   Inv(A11 - A12*Inv(A22)*A21)
  57.                    * (A11 - A12*Inv(A22)*A21)*Inv(A11)*A12
  58.                  = Inv(A11)*A12
  59.  
  60. as required.
  61.  
  62. Question: Is non-singularity of all the relevent matrices really
  63.           required?  I doubt it.
  64.  
  65. |> Thanks in advance.
  66.  
  67. Glad to help!
  68. --
  69.  
  70. Randy Tobias          SAS Institute Inc.     sasrdt@unx.sas.com
  71. (919) 677-8000 x7933  SAS Campus Dr.         72450.2545@compuserve.com
  72. (919) 677-8123 (Fax)  Cary, NC   27512-8000  norat@aol.com
  73.  
  74.  ... just my $(-exp(2*sqrt(-1)*arcos(0))/(((2**(2 + 1)) - 1)**2 + 1)).
  75.