home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #30 / NN_1992_30.iso / spool / sci / math / research / 607 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-12-17  |  3.9 KB  |  97 lines
  1. Newsgroups: sci.math.research
  2. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!sdd.hp.com!ux1.cso.uiuc.edu!news.cso.uiuc.edu!dan
  3. From: dret@dgp.toronto.edu (George Drettakis)
  4. Subject: Properties of a function expressing illumination
  5. Message-ID: <92Dec16.150358est.68@jarvis.csri.toronto.edu>
  6. Originator: dan@symcom.math.uiuc.edu
  7. Sender: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  8. X-Submissions-To: sci-math-research@uiuc.edu
  9. Organization: CSRI, University of Toronto
  10. X-Administrivia-To: sci-math-research-request@uiuc.edu
  11. Approved: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  12. Date: Wed, 16 Dec 1992 20:03:09 GMT
  13. Lines: 82
  14.  
  15. The following integral gives the illumination from an area light
  16. source to a receiving point on a plane. Assume a rectangular source
  17. defined as (-xa<x1<xa, -ya<y1<ya),
  18. embedded in the plane z=d, and a receiver plane z=0.
  19.  
  20. Then, if I(x,y) is the value of illumination at (x,y,0), we have:
  21.  
  22.                        ya1    xa1
  23.                          /      /
  24.                         |      |                 1
  25.          I(x, y) :=     |      |   ---------------------------- dx1 dy1
  26.                         |      |            2           2    2 2
  27.                        /      /    ((x - x1)  + (y - y1)  + d )
  28.                      - ya1  - xa1
  29.                                           1
  30.  
  31. This integral has an analytic solution that looks like the following:
  32.  
  33.  
  34.               (x - xa1)               (x + xa1)             (y - ya1) 
  35. I(x,y)=- ------------------ w1 + ------------------ w3  - ------------------ w4
  36.           2          2  1/2        2           2 1/2        2           2 1/2
  37.         (d + (x - xa1) )         (d + (x + xa1) )         (d + (y - ya1) )
  38.  
  39.                    (y + ya1) 
  40.               + ------------------  w2
  41.                   2           2 1/2
  42.                 (d + (y + ya1) )
  43.  
  44. where, wi is the angle (in radians) formed by the two consecutive vertices 
  45. of the source and the receiving point. 
  46. (In the figure w1 is the angle < v1 P v2 )
  47.  
  48.  source:      v1
  49.      ---------- +
  50.     /        /   +
  51.    /   +    /     +
  52.   /        /       + <-angle w1
  53.  ----------+        +
  54. -ya1     v2   +      +
  55.         +ya1     +    +
  56.                 __+___+________________________________
  57.                /    + + P=(x,y,0)  receiver plane     /
  58.               /                                      /
  59.              /                                      /
  60.             /______________________________________/
  61.  
  62.  
  63. Each w i is usually expressed as an arccos or an arctan.
  64. As an example of the difficulty of these expressions, for xa1=ya1=1,
  65. w1 is:
  66.  
  67.                                    2   2          2
  68.                                   d + y  - 2 y + x
  69. w1=arccos(-----------------------------------------------------------------)
  70.             2   2              2       1/2   2   2              2       1/2
  71.           (d + y  - 2 y + 2 + x  - 2 x)    (d + y  - 2 y + 2 + x  + 2 x)
  72.  
  73.  
  74. What I want to show is that the function I(x,y) has only one maximum, and is 
  75. (radially) decreasing everywhere else. 
  76. Ideally I want to show this for more general sources, but just the rectangle 
  77. is a good start.
  78.  
  79. I have some ideas, but before I spend more time on this, I would like to
  80. know whether this class of functions is well known, and whether there are
  81. easy ways to prove its properties, or whether I am missing the obvious. 
  82. Derivative analysis seems to be inconclusive, due to the complexity of 
  83. the expressions. (The partials result in very high-degree equations).
  84.  
  85. Pointers to books, papers etc. are particularily welcome. 
  86. I apologize beforehand if this is a well known problem with well known
  87. solutions. I dont read this group often.
  88.  
  89. Thanks,
  90.  
  91. George Drettakis                          Dynamic Graphics Project
  92. Grad Student                              Dept. of Computer Science
  93. Phone +1 (416) 978-5473                   University of Toronto 
  94. FAX   +1 (416) 978-0458                   Toronto, Ontario CANADA M5S 1A4 
  95. e-mail: dret@dgp.toronto.edu  or dret@dgp.utoronto.ca 
  96.  
  97.