home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #30 / NN_1992_30.iso / spool / sci / math / research / 603 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-12-14  |  2.5 KB  |  71 lines
  1. Newsgroups: sci.math.research
  2. Path: sparky!uunet!think.com!sdd.hp.com!ux1.cso.uiuc.edu!news.cso.uiuc.edu!dan
  3. From: smith@metatron.harvard.edu (Steven Smith)
  4. Subject: Parallel Translation on the Stiefel Manifold
  5. Message-ID: <SMITH.92Dec14124451@metatron.harvard.edu>
  6. Originator: dan@symcom.math.uiuc.edu
  7. Sender: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  8. X-Submissions-To: sci-math-research@uiuc.edu
  9. Organization: Harvard Robotics Lab, Harvard University
  10. X-Administrivia-To: sci-math-research-request@uiuc.edu
  11. Approved: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  12. Date: Mon, 14 Dec 1992 17:44:51 GMT
  13. Lines: 56
  14.  
  15. I wish to compute the formula for parallel translation along geodesics
  16. in the (compact) Stiefel manifold V(n,k) = O(n)/O(n-k), relative to
  17. its natural invariant connection.
  18.  
  19. As discussed below, this problem can be solved by computing a formula
  20. for either (i) the geodesic symmetry of V(n,k), or (ii) an involutive
  21. automorphism of O(n) that fixes O(n-k).
  22.  
  23.  
  24. The compact Stiefel manifold V(n,k) is the set of orthogonal k-frames
  25. in R^n.  V(n,k) is a Riemannian symmetric space; its group of
  26. isometries G := I(V(n,k)) is the group O(n) of n-by-n orthogonal
  27. matrices, and the isotropy group K at p in V(n,k) is the group
  28.  
  29.         {   ( I 0 )  -1               }                     ( I )
  30.         { g (     ) g   : Q in O(n-k) }  where p = g.o, o = (   ).
  31.         {   ( 0 Q )                   }                     ( 0 )
  32.  
  33. Note that o in an n-by-k matrix whose columns lie in V(n,k).
  34. Therefore, V(n,k) = G/K.
  35.  
  36. Let X, Y in T_p.  Denote the point exp_p(tX) by p_t.  Let s_t be the
  37. geodesic symmetry at p_t in V(n,k).
  38.  
  39. The parallel translation tau_t of Y along the geodesic t -> exp_p(tX)
  40. is induced by the isometry T_t = s_(t/2)s_0, i.e.,
  41.  
  42.         tau_t(Y) = (T_t) (Y).
  43.                         *
  44.  
  45. Therefore, a formula for the geodesic symmetry s_p (at any point p)
  46. provides a formula for parallel translation.
  47.  
  48.  
  49. Alternatively, given an involutive automorphism sigma (sigma: G -> G,
  50. sigma^2 = id) that fixes K, the following diagram commutes,
  51.  
  52.                sigma
  53.             G -------> G
  54.             |          |
  55.          pi |          | pi
  56.             V          V
  57.            G/K -----> G/K
  58.                 s_o
  59.  
  60. and we may use sigma to determine a formula for s_o, and hence for
  61. parallel translation.
  62.  
  63.  
  64. I would appreciate any help computing a formula for the geodesic
  65. symmetry of V(n,k), an involutive automorphism of O(n) that fixes
  66. O(n-k), or a reference to a paper or book that discusses these ideas
  67. in the case of Stiefel manifolds.
  68.  
  69. Steven Smith
  70.  
  71.