home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #30 / NN_1992_30.iso / spool / sci / math / 17234 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-12-21  |  1.5 KB
  1. Xref: sparky sci.math:17234 rec.puzzles:8067
  2. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!cs.utexas.edu!rutgers!igor.rutgers.edu!romulus.rutgers.edu!clong
  3. From: clong@romulus.rutgers.edu (Chris Long)
  4. Newsgroups: sci.math,rec.puzzles
  5. Subject: Re: Integral Puzzle (SPOILER)
  6. Message-ID: <Dec.20.11.00.28.1992.16004@romulus.rutgers.edu>
  7. Date: 20 Dec 92 16:00:29 GMT
  8. References: <1992Dec19.011244.2780@Csli.Stanford.EDU>
  9. Followup-To: sci.math
  10. Organization: Rutgers Univ., New Brunswick, N.J.
  11. Lines: 32
  12.  
  13. In article <1992Dec19.011244.2780@Csli.Stanford.EDU>, Yuzuru Hiraga writes:
  14.  
  15. > Let f be any function such that:
  16. >     * for 0<=x<=1; 0<=f(x)<= a
  17.  
  18. >       /1
  19. >     * |  f(x)dx = A
  20. >       /0
  21. > where a and A are given constants (obviously, A<=a).
  22.  
  23. > What are the maximum and minimum values that
  24.  
  25. >     /1       2
  26. >     |  {f(x)}  dx
  27. >     /0
  28.  
  29. > can take?
  30.  
  31. Let I = \int_0^1 f(x)^2 dx; the fact that I >= A^2 follows immediately
  32. from the Cauchy-Schwarz inequality.  For the other (more interesting)
  33. direction, consider that if f(x) is non-negative, then so is a-f(x),
  34. and so (f(x)+a-f(x))^2 >= f(x)^2+(a-f(x))^2, hence \int_0^1 a^2 dx >=
  35. \int_0^1 f(x)^2 dx + \int_0^1 (a-f(x))^2 dx ==> a^2 >= I + a^2 - 2aA
  36. + I ==> I <= aA.  To finish, such functions exist.  For the first case,
  37. consider f(x)=A.  For the second, consider f(x)=a for 0 <= x <= A/a,
  38. f(x)=0 elsewhere.
  39. -- 
  40. Chris Long, 265 Old York Rd., Bridgewater, NJ  08807-2618
  41.  
  42. "S.B., with an I.Q. of 161, failed to complete his course of study,
  43. running away instead with his professor's wife."
  44. H. J. Eysenck, _Know Your Own I.Q._
  45.