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/ NetNews Usenet Archive 1992 #30 / NN_1992_30.iso / spool / sci / math / 17215 < prev    next >
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Internet Message Format  |  1992-12-21  |  6.7 KB
  1. Xref: sparky sci.math:17215 sci.philosophy.tech:4594
  2. Path: sparky!uunet!cis.ohio-state.edu!magnus.acs.ohio-state.edu!usenet.ins.cwru.edu!ukma!hsdndev!husc-news.harvard.edu!husc10.harvard.edu!zeleny
  3. From: zeleny@husc10.harvard.edu (Michael Zeleny)
  4. Newsgroups: sci.math,sci.philosophy.tech
  5. Subject: Re: Numbers and sets
  6. Message-ID: <1992Dec19.140927.18700@husc3.harvard.edu>
  7. Date: 19 Dec 92 19:09:25 GMT
  8. References: <1992Dec15.135030.18526@husc3.harvard.edu> <1992Dec15.214124.7444@guinness.idbsu.edu> <1992Dec17.235906.13828@guinness.idbsu.edu>
  9. Organization: The Phallogocentric Cabal
  10. Lines: 118
  11. Nntp-Posting-Host: husc10.harvard.edu
  12.  
  13. In article <1992Dec17.235906.13828@guinness.idbsu.edu> 
  14. holmes@opal.idbsu.edu (Randall Holmes) writes:
  15.  
  16. >In article <1992Dec15.214124.7444@guinness.idbsu.edu>
  17. >holmes@opal.idbsu.edu (Randall Holmes) writes:
  18.  
  19. Talking to yourself is a bad sign, Randall.
  20.  
  21. >>I repent!  I repent!  No >>>>>>>>>>>>>>>>>!
  22. >>
  23. >>My final answer to Zeleny is that I accept his point in a modified
  24. >>form (which for him may not count as acceptance at all.)  I think that
  25. >>the sets of Zermelo set theory and its extensions (with the Axiom of
  26. >>Foundation) are best understood as being related to isomorphism types
  27. >>of well-founded extensional relations.  Insofar as ordinals (best
  28. >>understood as being related to isomorphism types of well-orderings)
  29. >>are a prominent and structurally significant special case of this kind
  30. >>of relation, I agree that the ordinals are essential to understanding
  31. >>ZF.  This is sharpened when ZF is extended to ZFC by the addition of
  32. >>the axiom of choice.  The particular approach of ZF makes it
  33. >>impossible to choose canonical objects to serve as cardinal numbers
  34. >>without using foundation or choice.  The concept of cardinal number
  35. >>(although not the relations of having less or greater cardinality)
  36. >>depends on foundation or choice for its expression.
  37.  
  38. This is the better part of my point, and I could not have said it
  39. more succinctly myself.  Thank you for conceding this much of my claim.
  40.  
  41. >>But the axioms which mediate this relation with the ordinals (or more
  42. >>generally with well-founded extensional relations) are strictly
  43. >>foundation and choice.  ZF- is still a powerful set theory (it is no
  44. >>weaker than ZFC in terms of consistency strength).  Its axioms of
  45. >>separation and replacement embody a concept of _set_ (avoiding paradox
  46. >>by application of the "limitation of size" doctrine) which is not
  47. >>dependent on the ordinals.  ZF- is not studied much that I know of,
  48. >>but the situation is the same in ZFA, in which extensionality is
  49. >>weakened to allow atoms (I believe that Zermelo's original theory
  50. >>allowed atoms, which argues against Zeleny's claim about the history
  51. >>of the set idea!) without choice, and this theory is studied; it was
  52. >>the first theory for which models without choice were constructed.
  53. >>The iterative hierarchy is a powerful working hypothesis, but it is
  54. >>not a prerequisite for the modern concept of set, but a refinement
  55. >>thereof.  Notice that it _does_ appear in ZFA or ZF- as the structure
  56. >>of _part_ of the universe.
  57.  
  58. Zermelo referred to urelements in the 1906 correspondence with
  59. Poincar\'e; likewise, his 1908 and 1930 axiomatizations explicitly
  60. admitted their existence.  Also, Fraenkel's 1922 independence proof of
  61. AC (reprinted in van Heijenoort), as well as subsequent independence
  62. results of Lindenbaum and Mostowski, used a technique which was to be
  63. superseded by forcing, and required the existence of a denumerably and
  64. non-denumerably many urelements, respectively.  Notably, the relative
  65. consistency of NBG with urelements with respect to NBG was shown by
  66. Mostowski in 1939.  However Fraenkel's own contemporary introduction of
  67. his Axiom of Restriction (which was construed as "inversely analogous"
  68. to Hilbert's model-maximality geometric Axiom of Completeness, and so
  69. intended to yield categoricity by stipulating that the only sets to
  70. exist were those implied by Zermelo's axioms and his own Axiom of
  71. Replacement), implicitly excluded the existence of urelements (see
  72. Moore's book on Zermelo, and especially Fraenkel _et alii_ on
  73. foundations).  But of course this strong version of the limitation of
  74. size doctrine is utterly antithetical to the profligate spirit of ZFC,
  75. as embodied in Levy's reflexion principles, and thus would be only
  76. satisfactory to those misguided souls of the Quinean ilk, who would
  77. "round off smoothly" the set-theoretic ontology.
  78.  
  79. Having been provoked to undertake this tedious disquisition by your
  80. parenthetical remark, I still cannot recall ever having claimed either
  81. that ZFC was originaly construed as a pure set theory, or that such
  82. historical considerations have any bearing whatsoever on the concept of
  83. set.
  84.  
  85. >>By the way, Aczel's AFA is just as good as foundation; ZF- + AFA does
  86. >>have well-defined canonical cardinal numbers.
  87.  
  88. True, but irrelevant: as Herb Enderton once observed in this venue, it
  89. is unclear whether Aczel's entities are actually *sets*, as this term is
  90. rightly and commonly understood.  I would add that the same is true of
  91. the beasts populating the ontology of type-free theories of the
  92. Quine-Church ilk.  The Axioms of Foundation and Choice are analytically
  93. true of sets; this is the crux of our philosophical disagreement, and I
  94. do not expect us to find a way to come to terms on its subject.
  95.  
  96. >>A definition of "stage of the iterative hierarchy":  let a "universe"
  97. >>be a set which contains all elements of its elements and all subsets
  98. >>of its elements.  Then a "stage of the iterative hierarchy" is a
  99. >>universe which contains all its proper subsets which are universes.
  100. >>The correctness of this definition is left as an exercise, but note
  101. >>that it does not depend on the ordinals!
  102. >
  103. >Alas, this definition is incorrect.  All sets which have this property
  104. >are stages, but not all stages have this property.  I was working by
  105. >analogy with the definition of "ordinal" as "transitive set which
  106. >contains all its transitive proper subsets"; I'm sure there is a
  107. >refinement of this approach which does work, and I have another
  108. >definition on tap which is correct.
  109.  
  110. Make up your mind, Randall.
  111.  
  112. >>-- 
  113. >>The opinions expressed        |     --Sincerely,
  114. >>above are not the "official"    |     M. Randall Holmes
  115. >>opinions of any person        |     Math. Dept., Boise State Univ.
  116. >>or institution.            |     holmes@opal.idbsu.edu
  117. >
  118. >
  119. >-- 
  120. >The opinions expressed        |     --Sincerely,
  121. >above are not the "official"    |     M. Randall Holmes
  122. >opinions of any person        |     Math. Dept., Boise State Univ.
  123. >or institution.            |     holmes@opal.idbsu.edu
  124.  
  125. What possesses the tab characters in your .sig file, that they do this
  126. strange dance on the occasions of follow-ups?
  127.  
  128. cordially,
  129. mikhail zeleny@husc.harvard.edu
  130. "Le cul des femmes est monotone comme l'esprit des hommes."
  131.