home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #30 / NN_1992_30.iso / spool / sci / math / 17186 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-12-21  |  2.0 KB
  1. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!moe.ksu.ksu.edu!matt.ksu.ksu.edu!news
  2. From: simpson@matt.ksu.ksu.edu (Phillip C Simpson)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Points on a sphere question
  5. Date: 18 Dec 1992 16:26:49 -0600
  6. Organization: Kansas State University
  7. Lines: 37
  8. Message-ID: <1gtj79INN62g@matt.ksu.ksu.edu>
  9. NNTP-Posting-Host: matt.ksu.ksu.edu
  10. Summary: How many minima for n equally charged points on unit sphere
  11. Keywords: sphere
  12.  
  13. I was wondering if the following problem is solved or solvable:
  14.  
  15.     Imagine n equally electrically charged points at unit distance from 
  16. the origin. For any configuration of points we can associate an energy,
  17.  
  18.  n 
  19. ---  ---
  20. \    \         1
  21.  >    >    ---------        where xi is a point on the sphere 
  22. /    /    ||xi - xj|| 
  23. ---  ---
  24. i=1  j>i
  25.  
  26.     My question is, given n, for how many configurations does the gradient
  27. of this energy term vanish? Or rather for how many unique configurations? Any
  28. rotation of the entire sphere can be considered non-unique.
  29.  
  30.     The most natural way to set up this question is in sphereical
  31. coordinates, where xi is a pair of angles and the gradient is differentiation
  32. with respect to all four angles. However, this computation quickly gets very
  33. messy. Is there a better (i.e. generalized) system of coordinates that will 
  34. suite the problem? Or is there a purely geometric way to go about it?
  35.  
  36.     I am also wondering how this problem is related to problems of, for
  37. instance, maximizing the total distance between all the points, or the squares
  38. of the distances. These tasks all seem to be trying to do the same thing. Also,
  39. how is the problem made different if distance is measured on the sphere rather
  40. that through space? Or if a different force law (other than 1/r^2) is chosen?
  41.  
  42.     Most of the works I have found that approach this type of problem
  43. consider the dynamics of such a system, while I am just wondering how many
  44. energy minima there are. Any references or comments would be appreciated. 
  45.  
  46. David Skinner
  47. skinner@next1.cs.ukans.edu
  48.  
  49. PS: In case there is any question, this is not a homework problem.
  50.