home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #30 / NN_1992_30.iso / spool / sci / math / 17175 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-12-21  |  1.7 KB
  1. Path: sparky!uunet!cs.utexas.edu!zaphod.mps.ohio-state.edu!caen!kuhub.cc.ukans.edu!husc-news.harvard.edu!ramanujan!elkies
  2. Newsgroups: sci.math
  3. Subject: Re: 1992 Putnam problems and unofficial solutions
  4. Message-ID: <1992Dec18.142423.18674@husc3.harvard.edu>
  5. From: elkies@ramanujan.harvard.edu (Noam Elkies)
  6. Date: 18 Dec 92 14:24:22 EST
  7. References: <1g0bmsINNh22@agate.berkeley.edu> <a_rubin.723836042@dn66>
  8. Organization: Harvard Math Department
  9. Summary: yes, the n^2 bound in B-6 is sharp
  10. Nntp-Posting-Host: ramanujan.harvard.edu
  11. Lines: 29
  12.  
  13. In article <a_rubin.723836042@dn66>
  14. a_rubin@dsg4.dse.beckman.com (Arthur Rubin) writes:
  15. ">Problem B6
  16. "
  17. ">Let M be a set of real n by n matrices such that
  18. ">(i) I \in M, where I is the n by n identity matrix;
  19. ">(ii) if A \in M and B \in M, then either AB \in M or -AB \in M, but not both;
  20. ">(iii) if A \in M and B \in M, then either AB = BA or AB = -BA;
  21. ">(iv) if A \in M and A \noteq I, there is at least one B \in M such that
  22. ">     AB = -BA.
  23. "
  24. ">Prove that M contains at most n^2 matrices.
  25. "
  26. "But can it actually contain n^2 matrices?
  27. "
  28. "I KNOW this is NOT part of the problem as stated, but I am a little curious.
  29.  
  30.  
  31. Yes it can: let n be a power of 2; let G be the extraspecial group of
  32. order 2n^2 which has a *real* (even rational) n-dimensional representation
  33. with nontrivial central character; and let M consist of half of the images
  34. of G under that representation, using one of each pair of opposite matrices
  35. and of course choosing the identity out of the pair {I,-I}.  Indeed it
  36. readily follows from the posted solution that G ( = M union -M ) is an
  37. extraspecial 2-group, and thence that the above construction is the only
  38. way to attain equality.
  39.  
  40. --Noam D. Elkies (elkies@zariski.harvard.edu)
  41.   Dept. of Mathematics, Harvard University
  42.