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/ NetNews Usenet Archive 1992 #30 / NN_1992_30.iso / spool / sci / math / 17085 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-12-17  |  4.0 KB
  1. Xref: sparky sci.math:17085 rec.puzzles:8000
  2. Newsgroups: sci.math,rec.puzzles
  3. Path: sparky!uunet!uunet.ca!wildcan!sq!msb
  4. From: msb@sq.sq.com (Mark Brader)
  5. Subject: Re: Aces and Queens (P.S. to: The paradox of the second ace)
  6. Message-ID: <1992Dec17.095146.13318@sq.sq.com>
  7. Followup-To: rec.puzzles
  8. Organization: SoftQuad Inc., Toronto, Canada
  9. References: <1992Dec15.055832.26324@galois.mit.edu> <COLUMBUS.92Dec15111255@strident.think.com> <COLUMBUS.92Dec16100320@strident.think.com>
  10. Date: Thu, 17 Dec 92 09:51:46 GMT
  11. Lines: 72
  12.  
  13. SPOILER for the aces and queens question, at the end.
  14. Followups are directed, somewhat arbitrarily, to rec.puzzles.
  15.  
  16. > This paradox is discussed in one of Martin Gardner's collections.
  17.  
  18. Can someone identify which one, or provide information about the
  19. original appearance of this column?
  20.  
  21. > probability (a), below, is less than probability (b):
  22. > (a) P(2nd ace | any ace), that is, the probability that a randomly chosen
  23. >     bridge hand has a second ace, given that it has at least one ace
  24. > (b) P(2nd ace | ace of spades), that is, the probability that a randomly
  25. >     chosen bridge hand has a second ace, given that it has the ace of
  26. >     spades
  27.  
  28. Here's a way to take some of the surprise out of this result.
  29.  
  30. From a truly randomly permuted deck, you may as well "deal" the bridge
  31. hand by taking the first 13 cards off the top of the deck.  (Do not
  32. try this form of dealing at a bridge club, kids!)  Then the various
  33. probabilities involved are probabilities as to HOW HIGH IN THE DECK
  34. the various aces were located before the "deal".  Number the positions
  35. from 1 (top of the deck) to 52 -- then positions 1 to 13 make the hand.
  36.  
  37. Okay, consider probability (a).  Advance through the deck looking at
  38. successive cards: position 1, 2, etc.  If you haven't hit an ace by
  39. position 13, you throw out the "deal" and reshuffle.  If you do hit
  40. one, then probability (a) is the chance that you will hit *another*
  41. ace by the time you get to position 13.
  42.  
  43. Now consider (b).  Start the same way: look through the deck card by
  44. card.  If you haven't hit the ace OF SPADES by position 13, you throw
  45. out the "deal" and reshuffle.  If you do hit it, then probability (b)
  46. is the chance that EITHER you will hit another ace by the time you
  47. get to position 13, OR you hit one BEFORE you got to the ace of spades,
  48. or both.
  49.  
  50. See?  Now it's not at all surprising that (b) is larger.  The key thing
  51. is that in finding out that there is an ace of spades in the hand, it
  52. doesn't have to be the FIRST ace you come to.
  53.  
  54. > (I wonder, is this something any decent bridge player would know by
  55. > instinct?)
  56.  
  57. Well, I'm a decent (not expert) bridge player, and I found it 100%
  58. counterintuitive, until I thought of the above line of reasoning.
  59. Probability questions arise quite often in actual bridge play, but
  60. that is not one that would realistically do so.
  61.  
  62. A simple example of a question that does commonly arise (from a hand I
  63. played a few hours ago), is "given that East and West have between
  64. them the King, Queen, and two other diamonds, what is the probability
  65. that West either has exactly two, or has the King or Queen and no
  66. others?"  (About 53% -- fortunately, she did.)
  67.  
  68. > Here is a variant I haven't seen elsewhere.  Consider:
  69. > (c) P(ace | queen), that is, the probability that a randomly chosen
  70. >     bridge hand has an ace, given that it has a queen
  71. > (d) P(ace | queen of spades), that is, the probability that a randomly chosen
  72. >     bridge hand has an ace, given that it has the queen of spades
  73. > Despite what you might guess, (c) and (d) are *not the same*.
  74.  
  75. Just as with aces, a hand with the queen of spades is more likely to
  76. have a second queen than just any hand with a queen is.  A hand with more
  77. queens is less likely to have more aces -- there are fewer "slots" left
  78. to fill.  Therefore, (c) is the higher probability.  (That was fun.)
  79. -- 
  80. Mark Brader    "Many 'business-oriented' packagings of these dialects ...
  81. utzoo!sq!msb     omit the games section.  Those responsible will doubtless be
  82. msb@sq.com     reincarnated as worker insects of some sort." -- "J. E. Lapin"
  83.  
  84. This article is in the public domain.
  85.