home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #30 / NN_1992_30.iso / spool / sci / math / 17074 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-12-16  |  3.8 KB
  1. Path: sparky!uunet!usc!zaphod.mps.ohio-state.edu!rpi!utcsri!dgp.toronto.edu!dret
  2. Newsgroups: sci.math
  3. From: dret@dgp.toronto.edu (George Drettakis)
  4. Subject: Properties of Illumination Functions?
  5. Message-ID: <1992Dec16.225253.25173@jarvis.csri.toronto.edu>
  6. Organization: CSRI, University of Toronto
  7. Date: 17 Dec 92 03:52:53 GMT
  8. Lines: 86
  9.  
  10. I sent this to sci.math.research, but I have a suspicion the big
  11. black net hole ate it. I apologize if you see this twice.
  12. -----------------------
  13.  
  14. I have the following problem in computer graphics. Assume a rectangular 
  15. area in the plane z=d, with -xa1 < x1 < xa1 and -ya1 < y1 < ya1.
  16. This area is assumed to be a diffuse rectangular light source,
  17. with the surface normal 0, 0, -1.
  18. Assume also the receiving plane z=0, and the function I(x,y) defined on 
  19. this plane. The function I(x,y) expresses the illumination at this point:
  20.  
  21.                        ya1    xa1
  22.                         /      /
  23.                        |      |                 1
  24.         I(x, y) :=     |      |   ----------------------------- dx1 dy1
  25.                        |      |            2           2    2 2
  26.                       /      /    ((x - x1)  + (y - y1)  + d )
  27.                     - ya1  - xa1
  28.  
  29. The analytic solution to this integral is as follows:
  30.  
  31.  
  32.              (y - ya1) w1          (y + ya1) w3          (x - xa1) w4
  33. I(x,y)= - ------------------- + ------------------- - -------------------
  34.            2           2 1/2     2           2 1/2     2           2 1/2
  35.          (d + (y - ya1) )      (d + (y + ya1) )      (d + (x - xa1) )
  36.  
  37.                   (x + xa1) w2
  38.             + -------------------
  39.                 2           2 1/2
  40.               (d + (x + xa1) )
  41.  
  42.  
  43. where, wi is the angle (in radians) formed by the two consecutive vertices
  44. of the source and the receiving point.
  45. (In the figure w1 is the angle < v1 P v2 )
  46.  
  47.  source:      v1
  48.      ---------- +
  49.     /        /   +
  50.    /   +    /     +
  51.   /        /       + <-angle w1
  52.  ----------+        +
  53. -ya1     v2   +      +
  54.         +ya1     +    +
  55.                 __+___+________________________________
  56.                /    + + P=(x,y,0)  receiver plane     /
  57.               /                                      /
  58.              /                                      /
  59.             /______________________________________/
  60.  
  61.  
  62. Each w i is usually expressed as an arccos or an arctan.
  63. As an example of the difficulty of these expressions, for xa1=ya1=1,
  64. w1 is:
  65.  
  66.                                       2          2
  67.                                   d + y  - 2 y + x
  68. w1=arccos(-----------------------------------------------------------------)
  69.                 2              2       1/2       2              2       1/2
  70.           (d + y  - 2 y + 2 + x  - 2 x)    (d + y  - 2 y + 2 + x  + 2 x)
  71.  
  72.  
  73.  
  74. What I want to show is that the function I(x,y) has only one maximum, and is
  75. (radially around 0, 0, 0 ) decreasing everywhere else.
  76. Ideally I want to show this for more general sources, but just the rectangle
  77. is a good start.
  78.  
  79. I have some ideas, but before I spend more time on this, I would like to
  80. know whether this class of functions is well known, and whether there are
  81. easy ways to prove its properties, or whether I am missing the obvious.
  82. Derivative analysis seems to be inconclusive, due to the complexity of
  83. the expressions. (The partials result in very high-degree equations).
  84.  
  85. Pointers to books, papers etc. are particularily welcome.
  86. I apologize beforehand if this is a well known problem with well known
  87. solutions. I dont read this group often.
  88.  
  89. Thanks,
  90.  
  91. George Drettakis                          Dynamic Graphics Project
  92. Ph.D. Student                             Dept. of Computer Science
  93. e-mail dret@dgp.toronto.edu               Sandford Fleming Bldg.
  94. Phone +1 (416) 978-5473                   10, Kings College Rd.
  95. FAX   +1 (416) 978-5184                   Toronto, Ontario CANADA M5S 1A1 
  96.