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/ NetNews Usenet Archive 1992 #30 / NN_1992_30.iso / spool / sci / math / 16932 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-12-15  |  2.4 KB
  1. Xref: sparky sci.math:16932 misc.education:5271
  2. Path: sparky!uunet!elroy.jpl.nasa.gov!ames!sun-barr!olivea!mintaka.lcs.mit.edu!zurich.ai.mit.edu!ara
  3. From: ara@zurich.ai.mit.edu (Allan Adler)
  4. Newsgroups: sci.math,misc.education
  5. Subject: Re: The Continuum Hypothesis:  Must it be {True or False}, or Not?
  6. Message-ID: <ARA.92Dec15002026@camelot.ai.mit.edu>
  7. Date: 15 Dec 92 05:20:26 GMT
  8. References: <1992Dec9.183849.13004@nas.nasa.gov>
  9. Sender: news@mintaka.lcs.mit.edu
  10. Distribution: usa
  11. Organization: M.I.T. Artificial Intelligence Lab.
  12. Lines: 37
  13. In-Reply-To: asimov@wk223.nas.nasa.gov's message of Wed, 9 Dec 92 18:38:49 GMT
  14.  
  15.  
  16. If there were really such a thing as a set, it might make sense
  17. to ask whether the continuum hypothesis is tru or false.
  18.  
  19. Starting with the early paradoxes and continuing with the independence
  20. proofs, we have learned that despite our gut feelings to the contrary,
  21. there really is no such concept as "set". We have some properties of
  22. sets that we agree on and beyond that we lack the power to make the
  23. concept more precise, although each individual might have certain
  24. opinions one way or the other as to which are the common notions.
  25.  
  26. It is like the situation with numbers. After millenia of subtle 
  27. introspection, we now know that there is no such concept as number.
  28. We have a number of algebraic systems some of which, by convention,
  29. we refer to as number systems, the elements of those systems being
  30. called numbers (rational numbers, whole numbers, Cayley numbers,
  31. p-adic numbers, complex numbers, real, cardinal numbers and
  32. ordinal numbers numbers). But it purely
  33. a matter of convention which are considered numbers and which not.
  34. It is not the case that one can combine any two numbers using the
  35. operations of arithmetic, since, e.g. there is no canonical way to add
  36. real numbers and p-adic numbers.
  37.  
  38. In the face of this, it makes no sense to ask whether the square root of
  39. -1 is a number, since the concept of number does not exist. But in
  40. a particular algebraic system it might make sense to ask whether
  41. it contains a square root of -1.
  42.  
  43. It is the same with sets. It does not make sense to ask whether one
  44. or all sets have a certain property. It only makes sense to ask whether
  45. a given universe has a certain property or whether a given element
  46. of a given universe has a certain property or whether all universes do.
  47.  
  48. Meanwhile, the concept of a universe will also evolve...
  49.  
  50. Allan Adler
  51. ara@altdorf.ai.mit.edu
  52.