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/ NetNews Usenet Archive 1992 #30 / NN_1992_30.iso / spool / sci / math / 16812 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-12-13  |  2.3 KB
  1. Path: sparky!uunet!europa.asd.contel.com!emory!wupost!zaphod.mps.ohio-state.edu!saimiri.primate.wisc.edu!ames!pacbell.com!iggy.GW.Vitalink.COM!cs.widener.edu!dsinc!netnews.upenn.edu!netnews.cc.lehigh.edu!ns1.cc.lehigh.edu!fc03
  2. From: fc03@ns1.cc.lehigh.edu (Frederick W. Chapman)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Challenge Problem:  2-D Harmonic Functions
  5. Message-ID: <1992Dec13.191521.40056@ns1.cc.lehigh.edu>
  6. Date: 13 Dec 92 19:15:21 GMT
  7. Organization: Lehigh University
  8. Lines: 55
  9.  
  10.  
  11. Here is a problem which I hope will interest/challenge sci.math readers.  I
  12. do not believe it to be trivial (though I might be wrong).
  13.  
  14.  
  15. SUMMARY:
  16.  
  17. Show that any linear, constant-coefficient partial differential operator
  18. which annihilates all harmonic functions in 2 variables must be a multiple
  19. of the 2-dimensional Laplacian.  (The converse is of course trivially
  20. true.)
  21.  
  22.  
  23. DETAILS:
  24.  
  25. Let L = (d/dx)^2 + (d/dy)^2 denote the 2-dimensional Laplacian, let G be an
  26. open connected subset of R^2, and let
  27.  
  28.                 H(G) = { u | u:G --> R is C^2 and Lu = 0 },
  29.  
  30. the space of harmonic functions on G.  It is true that functions in H(G)
  31. are not merely C^2, but in fact C^{oo} (since L is a hypoelliptic
  32. operator).  Let R[d/dx, d/dy] denote the R-algebra of linear,
  33. constant-coefficients partial differential operators on functions of two
  34. variables.  For brevity, let D = (d/dx, d/dy).  Define
  35.  
  36.          A(G) = { P(D) in R[D] | P(D)u = 0 for all u in H(G) },
  37.  
  38. the ideal in R[D] of operators which annihilate all harmonic functions
  39. on G.
  40.  
  41. (1) Show that A(G) is independent of G.
  42. (2) Show that A = (L), the principal ideal in R[D] generated by L.
  43.  
  44.  
  45. HINTS:
  46.  
  47. (a) Get the theory of functions of a complex variable into the act.
  48. (b) Think about harmonic polynomials.
  49.  
  50.  
  51. I'll be interested to see if anyone gets this, and by what methods.
  52. I'll post my solution in a week or so.
  53.  
  54.  
  55. Fred Chapman
  56. PDE Puzzler
  57. -- 
  58.  
  59. o ------------------------------------------------------------------------- o
  60. |  Frederick W. Chapman, User Services, Computing Center, Lehigh University |
  61. |    Campus Phone:  8-3218     Preferred E-mail Address:  fc03@Lehigh.Edu   | 
  62. o ------------------------------------------------------------------------- o
  63. | The day after the day after tomorrow is the last day before the rest of   |
  64. | our country's future a week from the day before the day before yesterday! |
  65.