home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #30 / NN_1992_30.iso / spool / sci / math / 16779 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-12-12  |  2.8 KB
  1. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!usc!enterpoop.mit.edu!hri.com!noc.near.net!nic.umass.edu!umassd.edu!ipgate.umassd.edu!martin
  2. From: martin@lyra.cis.umassd.edu (Gary Martin)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Need some help with Topology
  5. Message-ID: <MARTIN.92Dec12154345@lyra.cis.umassd.edu>
  6. Date: 12 Dec 92 20:43:45 GMT
  7. References: <1gc73iINNl4g@matt.ksu.ksu.edu>
  8. Sender: usenet@umassd.edu (USENET News System)
  9. Organization: University of Massachusetts Dartmouth
  10. Lines: 53
  11. In-Reply-To: bubai@matt.ksu.ksu.edu's message of 12 Dec 1992 02:15:46 -0600
  12.  
  13. In article <1gc73iINNl4g@matt.ksu.ksu.edu> bubai@matt.ksu.ksu.edu (P. Chatterjee) writes:
  14.  
  15.    I had a few questions (none homework, though!) and would appreciate any   
  16.    kind of help from the math-knowledgeables on the net.
  17.  
  18. Seems that you need to give us more background before we can answer these.
  19.  
  20.    a) What does it mean to say that a set A is 'infinite'? 'Finiteness', by 
  21.    definition, implies that A is equivalent to a portion of the set of 
  22.    positive integers. Can this definition of 'finiteness' be used to 
  23.    motivate one for 'infiniteness'?
  24.  
  25. Do you have some precise meaning in mind when you say "portion"?
  26. Let's say it means {1,2,3,...,n} for some  n, ok?  Now you've got 
  27. a definition of "finiteness".  This, or any other definition of
  28. "finite" can be formally negated to get a corresponding definition
  29. of "infinite".  A set is "infinite" if it is not equivalent to any
  30. set {1,2,3,...,n} for a natural number n.  (I suppose we should
  31. mention the empty set, too, but that's just a nit to pick.)
  32.  
  33.    b) Show that A is OPEN <==> X \ A is closed. 
  34.    Isn't this a definition or can it be proven?
  35.  
  36. This depends on what definitions you are using.  You can say that the
  37. topology is given by specifying its open sets, and then define
  38. "closed" to mean "open complement".  Then yes, it's a definition.
  39. Or you can (again giving the topology by specifying the open sets)
  40. define A to be closed if every point in  X\A  has an open neighborhood
  41. disjoint from  A.  Then you can prove that "open" is equivalent to
  42. "closed complement". Etc.
  43.  
  44.    c) If A is infinite and p in A, show that A \ {p} is equivalent to A.
  45.  
  46. You need to choose a definition of "infinite" before attempting this.
  47. One possible definition, which would make the proof easy, is to
  48. say  A  is infinite iff for some  p  in  A,  A\{p} is equiv. to A.
  49. Another is to use the definition I suggested in (a).  Another
  50. is to say  A  is infinite if there is a one-to-one map of the
  51. natural numbers into  A  (in which case the proof is again easy).
  52. Another is to say  A  is infinite if there is a map from  A  onto
  53. the natural numbers.
  54.  
  55.    d) Show that (A')' is a subset of A'.
  56.  
  57. What does A' mean?
  58.  
  59.  
  60.  
  61.  
  62.    Thanks for all the help.
  63. --
  64. Gary A. Martin, Assistant Professor of Mathematics, UMass Dartmouth
  65. Martin@cis.umassd.edu
  66.