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/ NetNews Usenet Archive 1992 #30 / NN_1992_30.iso / spool / sci / math / 16775 < prev    next >
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Text File  |  1992-12-12  |  2.9 KB  |  59 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!think.com!ames!news.hawaii.edu!uhunix.uhcc.Hawaii.Edu!lady
  3. From: lady@uhunix.uhcc.Hawaii.Edu (Lee Lady)
  4. Subject: Re: Function Terminology
  5. Message-ID: <1992Dec12.192724.21614@news.Hawaii.Edu>
  6. Followup-To: sci.math
  7. Summary: They are not the same as *morphisms*.  
  8. Keywords:   function   morphism   codomain  
  9. Sender: root@news.Hawaii.Edu (News Service)
  10. Nntp-Posting-Host: uhunix.uhcc.hawaii.edu
  11. Organization: University of Hawaii (Mathematics Dept)
  12. References: <1gaq3tINNg9q@uwm.edu> <1992Dec11.203802.1770@CSD-NewsHost.Stanford.EDU> <Bz48w1.G5C@mentor.cc.purdue.edu>
  13. Date: Sat, 12 Dec 1992 19:27:24 GMT
  14. Lines: 43
  15.  
  16. In article <Bz48w1.G5C@mentor.cc.purdue.edu> hrubin@pop.stat.purdue.edu 
  17.      (Herman Rubin) writes:
  18. >>In article <1gaq3tINNg9q@uwm.edu> radcliff@csd4.csd.uwm.edu 
  19.      (David G Radcliffe) writes:
  20. >>>Suppose I have a function f: A --> B, and C is a subset of B which
  21. >>>contains the image set of f.  I define a function g: A --> C by
  22. >>>setting g(a) = f(a) for all a in A.  Usually, f and g can be considered 
  23. >>>as the same function, but sometimes the distinction is important.
  24. >>       ...
  25. >The function is exactly the same.  A function, in whatever foundational
  26. >system is used, is something which takes arguments in a domain and
  27. >operates on them.  The image set depends only on f and A.  Which
  28. >superset of the range is used does not affect the function.
  29.  
  30. Technically your answer is correct but the issue is real and I wish there
  31. were a good answer for it, not only as regards notation but as regards
  32. terminology.  In teaching courses such as abstract algebra I usually call
  33. g  above the "restriction" of f,  with an audible emphasis to indicate
  34. quotation marks around the word restriction or a verbal footnote to
  35. indicate that I am using it in a non-standard sense.  
  36.  
  37. The point is that although most terminlogy would call  f  and  g  the
  38. same *function*, from a categorical point of view they are not the same
  39. *morphism*.  Given  h:B --> D,  I can form the composition  hf  but I
  40. cannot form the composition  hg  because morphisms can only be composed
  41. when the "codomain" of the one agrees with the domain of the other.  
  42.  
  43. This is not mere nitpicking, since if  F  is a functor then  F(g)  may be
  44. very different from  F(f).  One may be a monomorphism (one-to-one), for
  45. instance, and the other not.  In a course in algebra (or algebraic
  46. topology) it is very important that students understand the importance of
  47. this apparently trivial distinction.  
  48.  
  49. I think that your comment, Herman, reinforces the point I made earlier in
  50. another thread that many mathematicians in fields such as analysis find
  51. category theory totally irrelevant to what they do and never think in
  52. categorical terms.  
  53.  
  54. --
  55. It is a poor sort of skepticism which merely delights in challenging
  56. those claims which conflict with one's own belief system.  
  57.                                                           --Bogus quote 
  58. lady@uhunix.uhcc.hawaii.edu         lady@uhunix.bitnet
  59.