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/ NetNews Usenet Archive 1992 #30 / NN_1992_30.iso / spool / sci / math / 16749 < prev    next >
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Text File  |  1992-12-11  |  3.3 KB  |  63 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!europa.asd.contel.com!howland.reston.ans.net!wupost!csus.edu!netcom.com!norm
  3. From: norm@netcom.com (Norman Hardy)
  4. Subject: Re: Philosophy of Pi
  5. Message-ID: <1992Dec12.020752.6844@netcom.com>
  6. Organization: Netcom - Online Communication Services  (408 241-9760 guest) 
  7. References: <1992Dec11.155846.10861@ee.ubc.ca> <COLUMBUS.92Dec11123510@strident.think.com> <1992Dec11.200538.928@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  8. Date: Sat, 12 Dec 1992 02:07:52 GMT
  9. Lines: 52
  10.  
  11. In article <1992Dec11.200538.928@CSD-NewsHost.Stanford.EDU> pratt@Sunburn.Stanford.EDU (Vaughan R. Pratt) writes:
  12. >In article <COLUMBUS.92Dec11123510@strident.think.com> columbus@strident.think.com (Michael Weiss) writes:
  13. >>In article <1992Dec11.155846.10861@ee.ubc.ca> bdow@ee.ubc.ca (DOW BRUCE
  14. >>PAUL) writes: 
  15. >>
  16. >>   I'm looking for some opinions on Pi. Lately I have been thinking about it
  17. >>   a lot. Does anybody know why Pi equals what it does? Why is it an irrational
  18. >>   number? Why is it between 3 and 4 in magnitude? Does it stem from the circle
  19. >>   alone? What is it about the circle that gives Pi its value? I know Pi can
  20. >>   be derived without using the circle (differential equations, infinite series).
  21. >>   What determines the value of Pi? Does it have something to do with time and
  22. >>   space in a three-dimensional universe? Would Pi have a different value in
  23. >>   another universe? Or is it a constant in any universe obeying the laws of 
  24. >>   Euclidean geometry? [...]
  25. >>
  26. >>Boy, are you asking for it in this newsgroup!  But I won't flame; here are
  27. >>three answers.
  28. >>
  29. >>1.  Why does Pi equal what it does?  Well, what do you mean by Pi?  The use
  30. >>    of (quick, count on my fingers!) the 14th letter of the Greek alphabet
  31. >>    to represent the ratio of circumference of the circle to its diameter
  32. >>    is due to Jones, a contemporary of Newton.  (You wouldn't ask, "Why is
  33. >>    a robin a bird?", would you?  Maybe, "Why do English speaking people
  34. >>    call that feathered thing over there a `robin'?"--- but that's
  35. >>    for a different newsgroup.)
  36. >>
  37. >>2.  Pi was first proved irrational by Lambert, I forget when. [...]
  38. >>
  39. >>3.  Would Pi have a different value in a different universe? [...]
  40. >
  41. >I think the last formulation does the most justice to the spirit of
  42. >this question.  So let's imagine a universe where circles are square.
  43. >Then pi used to compute the perimeter would vary between 2.828 (2
  44. >sqrt(2)) and 4 depending on where you measured the diameter, and if
  45. >used to compute the area would vary between 2 and 4.  The arithmetic
  46. >mean of these four quantities is 3.207107 while their geometric mean is
  47. >3.084422.  The arithmetic and geometric means of *those* two quantities
  48. >is in turn 3.145764 and 3.145166, and after one more iteration they
  49. >have converged to 3.145465, within .1% of pi for round circles.
  50. >
  51. >So square wheels should work very well on average.  :-)
  52. >
  53. >Any volunteers to compute pi for octagons or 16-agons?
  54. >-- 
  55. >Vaughan Pratt                All knowledge resides in the going odds
  56.  
  57. In a 2-D Banach space one can measure the circumference of the 
  58. unit circle (M-body). If the M-body of the space is a hexagon 
  59. then the circumference is 6. If the body is a square then the 
  60. circumference is 8. I think that pi is always between 3 and 4 
  61. inclusively in Banach spaces. There may be no natural 
  62. definition for pi in Banach spaces of more than two dimensions.
  63.