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/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / physics / 11294 < prev    next >
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Internet Message Format  |  1992-07-21  |  5.3 KB
  1. Path: sparky!uunet!ogicse!das-news.harvard.edu!husc-news.harvard.edu!husc8.harvard.edu!mcirvin
  2. From: mcirvin@husc8.harvard.edu (Mcirvin)
  3. Newsgroups: sci.physics
  4. Subject: A long-winded primer on four-vectors (part 1)
  5. Keywords: four-vectors
  6. Message-ID: <1992Jul21.182314.14031@husc3.harvard.edu>
  7. Date: 21 Jul 92 22:23:12 GMT
  8. Article-I.D.: husc3.1992Jul21.182314.14031
  9. References: <mcirvin.711489157@husc10> <130889@lll-winken.LLNL.GOV> <mcirvin.711673227@husc8> <1992Jul21.141253.17366@jlc.mv.com>
  10. Lines: 133
  11. Nntp-Posting-Host: husc8.harvard.edu
  12.  
  13. john@jlc.mv.com (John Leslie) writes:
  14.  
  15. >   Could someone have mercy on those of us whose college physics is
  16. >twenty or more years in the past?  What is "four-vectors"?
  17.  
  18. Be careful what you wish for... people like me are listening!
  19. What follows is a lengthy primer on four-vectors in special
  20. relativity.  In fact, much of basic special relativity is
  21. implicit in it.
  22.  
  23. (Be patient: the most mathematically difficult part of
  24. this post is right at the beginning, and the physics is
  25. all at the end, in part 2!)
  26.  
  27.                  I. Lorentz transformations
  28.  
  29. A four-vector, in this context, is a vector in four-dimensional
  30. Minkowski spacetime, a space in which time functions as a fourth
  31. dimension.  A four-vector transforms in the usual way under
  32. rotations, and in a well-defined way under velocity boosts, 
  33. similar to rotations but involving hyperbolic rather than 
  34. trigonometric functions of the appropriate parameter, and 
  35. some different minus signs.  
  36.  
  37. Imagine a rotation in the xy plane in ordinary three-space.  A
  38. vector in the xy plane transforms as follows under a rotation
  39. by the angle theta:
  40.  
  41. x -> x' = x cos theta - y sin theta
  42. y -> y' = x sin theta + y cos theta
  43.  
  44. Likewise, a four-vector in the xt plane (t = time!) transforms
  45. like this under a velocity boost with "rapidity parameter" phi:
  46.  
  47. x -> x' = x cosh phi + t sinh phi
  48. t -> t' = x sinh phi + t cosh phi 
  49.  
  50. where by x and t, I mean the corresponding vector components.
  51.  
  52. Cosh phi is the famous time dilation factor, gamma, which
  53. is 1/sqrt(1-v^2/c^2), with v the relative velocity.  Sinh phi
  54. is gamma times v/c, or just gamma*v if c = 1.  Quantities
  55. such as velocity, energy, and momentum can be expressed in terms
  56. of four-vectors, making notation more compact and easy to
  57. handle, and making it obvious when something is a relativistic
  58. invariant and when it isn't.  
  59.  
  60.           II. Invariant length and inner products
  61.  
  62. Consider an ordinary vector V in three-dimensional space.  The
  63. squared length of this vector,
  64.  
  65.      2   2   2
  66.     V + V + V  
  67.      x   y   z  ,
  68.  
  69. is independent of rotations in three-dimensional space.  There
  70. is a similar quantity associated with a four-vector A,
  71.  
  72.     2   2   2   2
  73.  + A - A - A - A
  74.     t   x   y   z  ,
  75.  
  76. which is *invariant* under both rotations and velocity boosts
  77. (or, in the language usually used, "arbitrary Lorentz
  78. transformations.")  Notice the different sign on the t 
  79. (time) component!  The *overall* sign is just a convention, but
  80. the *difference* in sign between the time component and the
  81. spatial components is what makes this quantity invariant
  82. under boosts.  If you like, you can prove it for a four-vector
  83. in the xt plane, with the y and z components set to zero;
  84. it's easy if you know that cosh^2 phi - sinh^2 phi = 1.
  85.  
  86. (The overall sign convention varies greatly among authors!
  87. Many like to set the first term negative and the
  88. others positive.  I'll continue to use this one, though.)
  89.  
  90. This is made more general by redefining the dot or inner
  91. product of two vectors.  For three-vectors, the dot product
  92. of vectors P and Q is defined as
  93.  
  94.   P Q  +  P Q  +  P Q     , abbreviated as    P Q
  95.    x x     y y     z z                         i i
  96.  
  97. where the sum over repeated indices is understood.  For
  98. four-vectors, the inner product of R and S is
  99.  
  100.   R S  -  R S  -  R S  -  R S               (1)
  101.    t t     x x     y y     z z  .
  102.  
  103. Just as the dot product of two vectors is invariant under
  104. rotations, this inner product is invariant under Lorentz
  105. transformations, both rotations and boosts.
  106.  
  107.                    III.  The metric
  108.  
  109. A shorter way of writing this, using the summation convention,
  110. is to define the "metric tensor", g, which is a matrix
  111.  
  112.             1  0  0  0
  113.     g   =   0 -1  0  0
  114.      ab     0  0 -1  0
  115.             0  0  0 -1
  116.  
  117. Then the inner product (1) can be abbreviated 
  118.                                            T
  119.    R  g   S         or, if you like, just R gS.
  120.     a  ab  b 
  121.  
  122. In the index version of the expression, the repeated
  123. indices imply sums over all four possible values of both
  124. a and b.
  125.  
  126. (It is sometimes customary to use Greek indices when the
  127. index can vary over all four dimensions.  ASCII doesn't
  128. include Greek, so I'm using a and b instead.)
  129.  
  130. To keep track of when we need to use the metric tensor, we can
  131. use upper indices (which look like exponents, but aren't) and
  132. lower indices, and use the rule that you do sums over products
  133. where an upper index is the same as a lower index:  the inner
  134. product of R and S is then
  135.  
  136.     a                                   b
  137.    R  S        where        S   =  g   S
  138.        a                     a      ab      ,
  139.  
  140. and we use the metric tensor g to "lower indices."
  141. But this is really just another compact abbreviation for (1).
  142.  
  143. -- 
  144. Matt McIrvin, grad student, Dept. of Physics, Harvard University
  145. mcirvin@husc.harvard.edu      mumble mumble mumble mumble mumble
  146.