home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / research / 392 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-07-23  |  1.6 KB
  1. Path: sparky!uunet!dtix!darwin.sura.net!mips!sdd.hp.com!ux1.cso.uiuc.edu!news.cso.uiuc.edu!usenet
  2. From: lee@math.washington.edu (John M. Lee)
  3. Newsgroups: sci.math.research
  4. Subject: Re: Negatively curved conformally flat manifolds
  5. Message-ID: <LEE.92Jul23160705@pythagoras.math.washington.edu>
  6. Date: 24 Jul 92 00:07:05 GMT
  7. References: <BruE8L.AnD@watserv1.waterloo.edu>
  8. Sender: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  9. Organization: Mathematics Dept., U. of Washington
  10. Lines: 26
  11. Approved: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  12. X-Submissions-To: sci-math-research@uiuc.edu
  13. X-Administrivia-To: sci-math-research-request@uiuc.edu
  14. In-Reply-To: yang@fields.waterloo.edu's message of 23 Jul 92 12:48:20 GMT
  15.  
  16. In article <BruE8L.AnD@watserv1.waterloo.edu> yang@fields.waterloo.edu (Deane Yang) writes:
  17.  
  18.    Here's an easy sounding question for differential geometers
  19.    that I can't answer off the top of my head:
  20.  
  21.    Is a negatively curved conformally flat manifold necessarily
  22.    isometric or diffeomorphic to a hyperbolic manifold?
  23.  
  24. Hi Deane--
  25.  
  26. Here are a couple of simple observations that might be useful.  
  27.  
  28. First, it certainly need not be isometric to a hyperbolic manifold: just
  29. multiply a hyperbolic metric by a function very close to 1 in the C2 norm,
  30. and the resulting metric is conformally flat and still negatively curved.
  31.  
  32. Second, it may not even be conformally diffeomorphic to a hyperbolic
  33. manifold.  An example is the catenoid, which is conformally covered by the
  34. plane but not by the disk.   
  35.  
  36. I don't know the answer in the diffeomorphism category, but I suspect it
  37. might not be easy.
  38.  
  39. Cheers!
  40.  
  41. Jack Lee
  42.