home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9712 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-07-31  |  2.4 KB
  1. Path: sparky!uunet!gatech!destroyer!caen!uflorida!mailer.cc.fsu.edu!fsu1.cc.fsu.edu!rose
  2. From: rose@fsu1.cc.fsu.edu (Kermit Rose)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: An interesting limit problem.
  5. Message-ID: <1992Jul26.211305.21091@mailer.cc.fsu.edu>
  6. Date: 31 Jul 92 15:39:15 GMT
  7. References: <1992Jul25.212844.1@lure.latrobe.edu.au> <1992Jul25.201805.14172@husc3.harvard.edu>
  8. Reply-To: rose@fsu1.cc.fsu.edu
  9. Organization: Florida State University
  10. Lines: 36
  11. News-Software: VAX/VMS VNEWS 1.3-4
  12.  
  13. In article <1992Jul25.201805.14172@husc3.harvard.edu>, elkies@ramanujan.harvard.edu (Noam Elkies) writes...
  14. >In article <1992Jul25.212844.1@lure.latrobe.edu.au>
  15. >mattm@lure.latrobe.edu.au writes:
  16. > 
  17. >>A challenge to all mathematicians. A 100 years ago, this would probably have 
  18. >>been solved fairly simply in a natural way, but can you? I think that this
  19. >>problem was first posed by the Russian mathematician Arnold. Hope you find this
  20. >>problem as interesting as I did when I first solved it.
  21. >>
  22. >>                sin(tan x)    -    tan(sin x)
  23. >>    lim  ----------------------------------  = ???
  24. >>    x->0 arcsin(arctan x) - arctan(arcsin x)
  25. > 
  26. >I don't know how they sould have done this 100 years ago.  One direct
  27. >approach is to expand both numerator and denominator in Taylor series
  28. >about x=0 and compare leading terms.  Since we're doing this today instead
  29. >of 100 years ago, we can obtain the Taylor expansions instantaneously using
  30. >a symbolic manipulation package.  We find that both numerator and denominator
  31. >are -x^7/30+O(x^9), so the limit equals 1.  This also suggests that you
  32. >*don't* want to find this limit using the L'Hospital rule, especially if
  33. >you have to do all the derivatives by hand!
  34. > 
  35. >--Noam D. Elkies (elkies@zariski.harvard.edu)
  36. >  Dept. of Mathematics, Harvard University
  37.  
  38. Indeed.  The fact that the limit is 1 suggests that we could have simplied 
  39. the problem by taken the sin of the denominator.  Since z/sin(z) goes to 1 
  40. as z goes to zero, we could proceed as follows.  Let z1 be the numerator in 
  41. the above.  Let z2 be the denominator.   Find the limit of z1/sin(z2) as x 
  42. goes to zero. This should be 1.  In any case, the limit of z1/z2 will be 
  43. limit (z1/sin(z2) ) limit(sin(z2)/z2).
  44.  
  45.  
  46. rose@fsu1.cc.fsu.edu          To be sure I see your response, use e-mail.
  47. -----------------------------------------------------------------------
  48. Be of good cheer, for it is much more fun than being depressed.
  49.