home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9705 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-07-30  |  1.9 KB  |  47 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!usc!sdd.hp.com!ux1.cso.uiuc.edu!news.cso.uiuc.edu!dbradley
  3. From: dbradley@symcom.math.uiuc.edu (David Bradley)
  4. Subject: Fractional Integral Problem
  5. Message-ID: <Bs7wup.IAp@news.cso.uiuc.edu>
  6. Sender: usenet@news.cso.uiuc.edu (Net Noise owner)
  7. Organization: Math Dept., University of Illinois at Urbana/Champaign
  8. Date: Thu, 30 Jul 1992 19:59:12 GMT
  9. Lines: 36
  10.  
  11. Can anyone suggest some techniques for dealing with the following
  12. function involving a fractional integral?
  13.                          oo
  14.                         /   -u   b-1       -a
  15. Let F(a,b,z) = GAMMA(a) |  e    u    (1+zu)   du,  Re(a)>0, Re(b)>0,
  16.                         / 
  17.                        0
  18.  
  19. and complex z not on the negative real axis.  I have reason to believe
  20. the above is symmetric in a and b, but have no rigorous proof. 
  21.  
  22. It's easy to show that the z-derivatives of S(a,b,z) := F(a,b,z)-F(b,a,z)
  23. all vanish at 0, but it appears F(a,b,z) is not analytic at z=0, so I 
  24. can't equate S(a,b,z) with its Maclaurin series.
  25.  
  26. The transformations v=zt, z=1/w give
  27.  
  28.                   oo       y     
  29.             a+b  /   -wy  /       a-1  b-1      -a
  30. F(a,b,z) = w     |  e     |  (y-v)    v    (1+v)   dv dy,
  31.                  /        /     
  32.                 0        0
  33.  
  34. so it would be enough to show the inner integral is symmetric in a and
  35. b for each y>0.  I can do this for 0<y<1 by expanding (1+v)^(-a), so
  36. that the inner integral becomes an infinite sum of Beta functions
  37. multiplied by suitable Gamma functions to make everything symmetric in
  38. a and b.  Unfortunately, this idea doesn't seem to carry over when y>1.
  39.  
  40. Any suggestions would be appreciated.  I suppose I should add that this is
  41. not an assigned problem except insofar as I assigned it to myself.  The
  42. integral arises in a proof for a continued fraction expansion for the
  43. incomplete Gamma function.  Reference: H.S. Wall, Analytic Theory of
  44. Continued Fractions.
  45.  
  46. -D.M.Bradley
  47.