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/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9664 < prev    next >
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Text File  |  1992-07-30  |  1.4 KB  |  34 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!centerline!noc.near.net!news.cs.brandeis.edu!binah.cc.brandeis.edu!PALAIS
  3. From: palais@binah.cc.brandeis.edu
  4. Subject: Re: HELP. TEST FOR EXTREMA IN f(x,y,z)
  5. Message-ID: <1992Jul30.144053.28402@news.cs.brandeis.edu>
  6. Sender: news@news.cs.brandeis.edu (USENET News System)
  7. Reply-To: palais@binah.cc.brandeis.edu
  8. Organization: Brandeis University
  9. References: <1992Jul29.010542.8650@eng.ufl.edu>,<a_rubin.712451081@dn66>
  10. Date: Thu, 30 Jul 1992 14:40:53 GMT
  11. Lines: 21
  12.  
  13. Armando Barre asked                                                     
  14.  
  15. >My question is :
  16.  
  17. >IS THERE SUCH A TEST FOR EXTREMA IN A FUNCTION OF 3 VARIABLES :f(x,y,z) ?
  18.  
  19. Actually there is; someone else will have to provide a reference, but:
  20.  
  21. (i) f(a,b) is a local maximum if the Hessian is negative definite
  22. (ii) f(a,b) is a local minimum if the Hessian is positive definite
  23. (iii) f(a,b) is a local minimum if the Hessian is indefinite.
  24.  
  25. Arthur Rubin answered: 
  26.  
  27.    I think Arthur meant to say saddle point for case (iii) (but one must
  28. assume that the Hessian matrix is non-singular). The same result is true 
  29. in any dimension (and even in Hilbert space). The best reference is to any 
  30. proof of the "Morse-Lemma", which says that after a change of variables the 
  31. function locally is equal to a constant (its value at the critical point) 
  32. plus the quadratic function given bythe Hessian. (See Lang's "Differentiable 
  33. Manifolds" for the Hilbert space proof.)
  34.