home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9628 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-07-29  |  3.0 KB  |  128 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!elroy.jpl.nasa.gov!nntp-server.caltech.edu!cxxh
  3. From: cxxh@cco.caltech.edu (Chris H. Hall)
  4. Subject: Game theory/Optimization question
  5. Message-ID: <1992Jul29.154337.20895@cco.caltech.edu>
  6. Keywords: game
  7. Sender: news@cco.caltech.edu
  8. Nntp-Posting-Host: chairie
  9. Organization: California Institute of Technology, Pasadena
  10. Date: Wed, 29 Jul 1992 15:43:37 GMT
  11. Lines: 115
  12.  
  13.  
  14.  
  15.    The game tree...
  16.  
  17.                        E4
  18.                        V4
  19.                       /W4
  20.                   P24/
  21.                     /
  22.                 E2 /
  23.                 V2<
  24.                /W2 \
  25.               /     \
  26.           P12/    P25\
  27.             /         \E5
  28.            /           V5
  29.        E1 /            W5
  30.        V1<
  31.        W1 \            E6
  32.            \           V6
  33.             \         /W6
  34.           P13\    P36/
  35.               \     /
  36.                \E3 /
  37.                 V3<
  38.                 W3 \
  39.                     \
  40.                   P37\
  41.                       \E7
  42.                        V7
  43.                        W7
  44.  
  45.    En = Expectation (in % of wager) at branch point n.    n = 1, ... ,7
  46.    Vn = Variance at branch point n.
  47.    Wn = Wager placed at branch point n.
  48.   Pnm = Probability of going from n to m.
  49.            P12 + P13 = 1
  50.                 .
  51.                 .
  52.            P36 + P37 = 1
  53.  
  54.    Note: Expectations can be negative.
  55.  
  56.  
  57.   The game is the sequential game tree given above and is
  58.   repeated over and over.  The problem is to determine
  59.   W1...W7 with the following constraints.
  60.  
  61.      1. Minimize risk of ruin.
  62.  
  63.      2. All wagers must be > 0.
  64.  
  65.      3. Wagers cannot differ by more than a factor
  66.         of 2 between branches. Thus,
  67.       
  68.         .5*W2 <= W1 <= 2*W2
  69.         .5*W3 <= W1 <= 2*W3
  70.  
  71.         .5*W1 <= W2 <= 2*W1
  72.         .5*W4 <= W2 <= 2*W4
  73.         .5*W5 <= W2 <= 2*W5
  74.                  .
  75.                  .
  76.         .5*W3 <= W7 <= 2*W3
  77.  
  78.  
  79.    Risk of Ruin:
  80.  
  81.                       B + Et*x
  82.               RoR = ------------
  83.                     (Vt*x)^1/2
  84.  
  85.      RoR = Risk of ruin measured in standard of deviations
  86.            from the mean.
  87.  
  88.        B = Bankroll (constant)
  89.  
  90.       Et = Expectation (in % of bankroll) of the entire game tree.
  91.  
  92.       Vt = Variance of the entire game tree.
  93.  
  94.        x = The number of wagers when RoR is minimized.
  95.  
  96.  
  97.    With a little work, it can be shown that...
  98.  
  99.                     B
  100.               x = ----
  101.                    Et
  102.  
  103.    Thus,
  104.                    B + Et*(B/Et)
  105.             RoR = ---------------
  106.                   (Vt*(B/Et))^1/2
  107.  
  108.                      (B*Et)^1/2
  109.                 = 2*(------)
  110.                      ( Vt )
  111.  
  112.    So, my real question is how does one maximize the ratio (Et/Vt)
  113.    given the constraints above?
  114.  
  115.    
  116.    The method is more important than the answer to the above example; it
  117.    was only used to hopefully give a clearer picture.
  118.  
  119.    If the answer is too long or complicated to post, or is so trivial
  120.    that it is taught is Math 101, a reference would be appreciated.
  121.  
  122.    Also, if I have left something vague or unclear, please email me
  123.    and I will try and clear it up.
  124.  
  125.    Thanks,
  126.    Chris Hall
  127.  
  128.