home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9611 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-07-28  |  2.2 KB
  1. Path: sparky!uunet!caen!uvaarpa!gems.vcu.edu!fritz
  2. From: fritz@gems.vcu.edu (Fritz)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Do we know the integers? (was: You know, the integers)
  5. Message-ID: <1992Jul25.170447.57@gems.vcu.edu>
  6. Date: 25 Jul 92 17:04:47 -0400
  7. Organization: Medical College of Virginia
  8. Lines: 38
  9.  
  10. Just to muddy the waters a bit, I will now proceed to demonstrate that
  11. the actual, genuine, accept-no-substitutes integers are non-standard :-).
  12.  
  13. We need to show that there is an integer   Z   such that all of the
  14. following are true:   0 < Z, 1 < Z, 2 < Z, ...   .
  15.  
  16. Let us say that an integer   n   is _effectively mentioned_ when someone
  17. has written it down precisely enough that a sufficiently motivated
  18. reader could, in principle, rewrite the integer in unary notation--as  
  19. 0   followed by   n   primes, for instance.  So the number   10^10^10^10
  20. is effectively mentioned (even though in practice nobody could make that
  21. many marks on a piece of paper).  Even the number   m   defined by
  22.  
  23.         m = 1   , if the continuum hypothesis is true
  24.         m = 0   , if the continuum hypothesis is false
  25.  
  26. is effectively mentioned, since both   0   and   1   are effectively
  27. mentioned--we don't know which of   0   or   1   is an effective mention
  28. of   m   , but we do know that one of them is.
  29.  
  30. However, given the limited supply of matter in the universe, there
  31. is a limit to the size of the formulae that we can write down, and
  32. consequently there are only finitely many integers that we could
  33. effectively mention.   Let us call an integer _huge_ if it is larger
  34. than every integer that could be effectively mentioned.  Let   Z   be
  35. the smallest huge integer.  Then   Z   has the desired property:   0 < Z  
  36. since   0   is effectively mentioned,   1 < Z   since   1   is
  37. effectively mentioned, and so forth.  To write a number as a numeral
  38. numeral is to effectively mention it:  thus every number which can be
  39. written as a numeral is less than   Z   .                             :-)
  40.  
  41.  
  42. Of course the argument above cheats by switching between possibility
  43. ``in principle'' and possibility in the real world (whatever that may
  44. be).
  45.  
  46.                  - Fritz    (fritz@ruby.vcu.edu,fritz@vcuvax.bitnet)
  47.                              Disclaimer: nothing I say represents my employer
  48.