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/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9603 < prev    next >
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Internet Message Format  |  1992-07-28  |  2.1 KB
  1. Path: sparky!uunet!ogicse!das-news.harvard.edu!das-news!smith
  2. From: smith@gramian.harvard.edu (Steven Smith)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: The Trigonometry of Small Geodesic Triangles
  5. Message-ID: <SMITH.92Jul28165339@gramian.harvard.edu>
  6. Date: 28 Jul 92 21:53:39 GMT
  7. Article-I.D.: gramian.SMITH.92Jul28165339
  8. Sender: usenet@das.harvard.edu (Network News)
  9. Distribution: sci.math
  10. Organization: Harvard Robotics Lab, Harvard University
  11. Lines: 38
  12.  
  13. Let M be an n-dimensional Riemannian manifold with Riemannian
  14. structure g, c a point in M, and N_c a normal neighborhood of c which
  15. is a normal neighborhood of each of its points.  Let p,q be points in
  16. N_c.  Then cpq is a triangle in N_c whose angles are C, P, Q, and
  17. whose sides are geodesics of length x = d(c,p), y = d(c,q), and z =
  18. d(p,q).
  19.  
  20. If the triangle cpq is small, what can be said about the relationships
  21. between its angles and sides?
  22.  
  23. There is a very complete classical treatment of this question in
  24. Forsyth's _Intrinsic Geometry of Ideal Space_ (MacMillan, 1935).
  25. Forsyth derives the second order approximation of Gauss's formula
  26.  
  27.                       1
  28.      C + P + Q - PI = - x y K sin C
  29.                       2
  30.  
  31. where K is the sectional curvature of M at c along the section
  32. generated by the directions of the geodesics cp and cq at c.  Also,
  33. there appears the third order (inclusive) approximation of the law of
  34. cosines
  35.                                    1 (             2 2   2      )
  36.           (  2    2               )- (     1      x y sin C     )
  37.      z  = ( x  + y  - 2 x y cos C )2 ( 1 - - K ---------------- )
  38.           (                       )  (     6    2  2            )
  39.                                      (         x +y - 2xy cos C )
  40.  
  41. As I said, Forsyth's treatment is (of course) very classical (!!!).  I
  42. suppose I could translate it into modern language, but life is short.
  43. Could anyone point me toward a modern treatment of this subject?
  44.  
  45. I know that comparison theory (a la Cheeger), Toponogov's Theorem, and
  46. Cartan's treatment of Riemannian manifolds of nonpositive curvature
  47. all provide some beautiful global inequalities, but I am hoping to
  48. find pointers to sharper approximations.
  49.  
  50. Steven Smith
  51.