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/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9583 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-07-27  |  1.8 KB
  1. Path: sparky!uunet!munnari.oz.au!comp.vuw.ac.nz!canterbury.ac.nz!math!wft
  2. Newsgroups: sci.math
  3. Subject: Re: random triangles
  4. Message-ID: <1992Jul28.131046.6090@csc.canterbury.ac.nz>
  5. From: wft@math.canterbury.ac.nz (Bill Taylor)
  6. Date: 28 Jul 92 13:10:42 +1200
  7. References: <BrvLF2.7q@watserv1.waterloo.edu>
  8. Distribution: world
  9. Organization: Department of Mathematics, University of Canterbury
  10. Keywords: asymptotics, acute triangles
  11. Nntp-Posting-Host: math.canterbury.ac.nz
  12. Lines: 33
  13.  
  14. >    What is the probability that a random triangle is acute  
  15.  
  16. I think this problem might have appeared here before. It is more elegant to
  17. formalize the concept of a random triangle in R^2 , as that formed by three
  18. lines whose angles are independemtly chosen from uniform[0,2pi].
  19.  
  20. This determines the (distribution of the) shape and orientation of the triangle
  21. completely, (the size being irrelevant to the question at hand).
  22.  
  23. Then,  WOLOG, we can consider one of the 3 sides to be horizontal,
  24.  and   WOLOG the 2nd side to have angle t (anticlockwise from x-axis) to be
  25.                    uniform[ 0 , pi/2 ],
  26.  
  27.  and   the 3rd side to have angle  w  (anticlockwise from x-axis) to be
  28.                    uniform[ 0 , pi ].
  29.  
  30. Then   P(acute | t) = P( w in [ pi/2 , pi/2 + t ]
  31.                     = t/pi
  32.  
  33.                           / pi/2
  34.                           |
  35. thus   P(acute) =  (2/pi)*| (t/pi) dw  = 1/4  .
  36.                           |
  37.                           / 0
  38.  
  39.  
  40. There is also a quick slick way of getting this answer:-  by considering that
  41. the angles of the 2nd and 3rd lines (given the first is horizontal) must be
  42. oppositely inclined, (prob 1/2) ; and given this, the angle between them can
  43. only be half of the range of possibilities, to ensure acuteness.
  44. Again giving  P(acute) = 1/4 .
  45. ---------------------------------------------
  46. Bill Taylor         wft@math.canterbury.ac.nz
  47.