home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9554 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-07-25  |  2.7 KB
  1. Path: sparky!uunet!ogicse!das-news.harvard.edu!cantaloupe.srv.cs.cmu.edu!SHERLOCK.PC.CS.CMU.EDU!trm
  2. From: trm+@CS.CMU.EDU (Thomas Mathies)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Percolation on the Plane
  5. Message-ID: <1992Jul26.043942.272572@cs.cmu.edu>
  6. Date: 26 Jul 92 04:39:42 GMT
  7. Article-I.D.: cs.1992Jul26.043942.272572
  8. References: <1992Jul2.185624.24633@nas.nasa.gov> <1992Jul08.210324.179972@cs.cmu.edu> <CHALCRAFT.92Jul10104635@laurel.uk.tele.nokia.fi>
  9. Organization: Carnegie Mellon University
  10. Lines: 46
  11. Nntp-Posting-Host: sherlock.pc.cs.cmu.edu
  12.  
  13. In article <CHALCRAFT.92Jul10104635@laurel.uk.tele.nokia.fi>, chalcraft@uk.tele.nokia.fi (Adam Chalcraft) writes:
  14. ...
  15. >For tilings where four or more pieces can meet, it would be nice to know
  16. >which results still hold.
  17. ...
  18.  
  19. For a tiling with squares this is a site percolation problem. Each square is colored
  20. white with probability p and black otherwise. For what values of p does there exist
  21. an infinite contiguous set of white squares (with prob. 1)?
  22.  
  23. Consider two types of adjacency when the plane is tiled with squares:
  24.   1) Nearest neighbor rule (each square has four neighbors); and
  25.   2) Next-nearest neighbor rule (each square has eight neighbors).
  26.  
  27. Using the nearest neighbor rule, the critical probability is about 0.59275
  28. according to Stauffer [1] (p. 17). There are three regions of interest:
  29.     0       <= p <  0.40725  --> infinite contiguous set of black squares
  30.     0.40725 <= p <= 0.59275  --> no infinite contiguous set of either color
  31.     0.59275 <  p <= 1        --> infinite contiguous set of white squares
  32.  
  33. I just got a paper [2] on the next-nearest case which gives the critical probability
  34. as 0.391. Again there are three regions of interest (with the middle one differing
  35. from above):
  36.     0     <= p <= 0.391  --> infinite contiguous set of black squares
  37.     0.391 <  p <  0.609  --> infinite contiguous sets of each color
  38.     0.609 <= p <= 1      --> infinite contiguous set of white squares
  39.  
  40. Notes:
  41.   1) The values for the critical probabilities were obtained by computer simulation
  42.      and extrapolation.
  43.   2) I've arranged the inequalities based on a statement by Grimmet [3] (p. 164)
  44.      that no infinite contiguous set exists at the critical probability.
  45.  
  46. References:
  47.  
  48. 1. D. Stauffer, INTRODUCTION TO PERCOLATION THEORY, Taylor and Francis, 1985.
  49. 2. Shaohua Qu, K.L. Yao, and Boming Yu, "Study of the two-dimensional next-nearest-
  50.    neighbor percolation model," CHINESE PHYSICS, vol. 11 #4, Oct-Dec 1991,
  51.    pp 806-811.
  52. 3. G. Grimmett, PERCOLATION, Springer-Verlag, 1989.
  53.  
  54. ------------
  55. Tom Mathies <mathies@cs.cmu.edu>
  56. "If tofu adds years to your life, they probably wouldn't be the best years."
  57.                 -- Garrison Keillor
  58. ------------------------
  59.