home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9521 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-07-25  |  2.2 KB
  1. Path: sparky!uunet!stanford.edu!rutgers!princeton!phoenix.Princeton.EDU!amlogan
  2. From: amlogan@phoenix.Princeton.EDU (Adam M. Logan)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: High Order Undulation Seeds and Binary Undulants
  5. Message-ID: <1992Jul24.171121.17030@Princeton.EDU>
  6. Date: 24 Jul 92 17:11:21 GMT
  7. References: <9207241316.AA14033@ucbvax.Berkeley.EDU>
  8. Sender: news@Princeton.EDU (USENET News System)
  9. Organization: Princeton University
  10. Lines: 32
  11. Originator: news@ernie.Princeton.EDU
  12. Nntp-Posting-Host: phoenix.princeton.edu
  13.  
  14. In article <9207241316.AA14033@ucbvax.Berkeley.EDU> cliff@watson.ibm.com ("Cliff Pickover") writes:
  15. >"Binary undulants" are numbers of the form 2**N that undulate
  16. >(alternate) the digits 1 and 0 in their decimal expansion.
  17. >
  18. >For example, 2**[9]49 is the "highest quality" binary undulant so far
  19. >discovered because it has the undulating sequence 101010 in it:
  20. >
  21. >2**949 = [...?]
  22. >4758454107128905800953799994079681792420032645310062268978469949811010102913
  23. [...]>Here N = 949 is called an undulation seed of order 6, since it
  24. >gives rise to a 6-digit undulation pattern of adjacent 1's and 0's.
  25. >
  26. >Are undulation seeds of higher order easily found using either
  27. >mathematical prowess or computation power?
  28.  
  29. Interesting problem...I'll try the "mathematical prowess".  In fact, I'll 
  30. restrict myself to finding powers of 2 that start with adjacent,
  31. alternating 1's and 0's.  Let a_n be the n-digit number 10101..., and let
  32. b_n = log_10 (a_n), c_n = log_10 (a_n + 1).  Of course, a necessary and
  33. sufficient condition that 2^k start with a_n is that the fractional part
  34. of log_10 (2^k) be at least that of b_n and less than that of c_n.  But
  35. log_10 (2^k) = k log_10 (2), and it is known (since log_10 (2) is
  36. irrational) that this sequence is uniformly distributed mod 1, asymptotic-
  37. ally the proportion of powers starting in a_n is c_n - b_n, which, in fact,
  38. for decent-size a_n (say >= 10) is about 1/(a_n ln 10).  Of course, 
  39. similar results hold for other bases, and thjis works for any
  40. old digit string, not just a_n.  A more sophisticated analysis
  41. could look for patterns within the number, of course, but this is good 
  42. enough to show existence.  As for finding them, compute the logs to high 
  43. enough precision, etc.
  44.  
  45. Adam
  46.