home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9462 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-07-23  |  2.4 KB
  1. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!cs.utexas.edu!sun-barr!ames!purdue!mentor.cc.purdue.edu!pop.stat.purdue.edu!hrubin
  2. From: hrubin@pop.stat.purdue.edu (Herman Rubin)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Roots Of Integer Poly's
  5. Summary: What is the question?
  6. Message-ID: <54890@mentor.cc.purdue.edu>
  7. Date: 23 Jul 92 17:50:12 GMT
  8. References: <4547@balrog.ctron.com> <1992Jul21.172356.3167@ucsvc.ucs.unimelb.edu.au> <1992Jul23.113837.3173@ucsvc.ucs.unimelb.edu.au>
  9. Sender: news@mentor.cc.purdue.edu
  10. Organization: Purdue University Statistics Department
  11. Lines: 50
  12.  
  13. In article <1992Jul23.113837.3173@ucsvc.ucs.unimelb.edu.au> u7023595@ucsvc.ucs.unimelb.edu.au writes:
  14. >>In article <1992Jul21.172356.3167@ucsvc.ucs.unimelb.edu.au>, 
  15. >>u7023595@ucsvc.ucs.unimelb.edu.au writes:
  16. >>>In article <4547@balrog.ctron.com>, wilson@ctron.com (David Wilson) writes:
  17.  
  18. >>>>I wonder if any one out there knows anything on the following.
  19.  
  20. >>>>Let F(x) be a monic polynomial with integer coeff's of degree n.
  21. >>>>Let F(x) have roots   \alpha_{1}, ... , \alpha_{n}  is there a
  22. >>>>constant C depending only on n such that
  23.  
  24. >>>>       | \alpha_{j} - \alpha_{i} | >= C
  25.  
  26. >>>>For all i,j. Ie the roots cannot be too close together.
  27. >>>>This is trivially true for n=1 or n=2 but what about general n ?
  28.  
  29. >>> [Stuff deleted]
  30.  
  31.  
  32. >> WLOG assume the monic polynomial is irreducible over the rationals as 
  33. >> this is the interesting case.
  34. >I meant the maximum of the absolute values of 
  35. >  |\alpha_j - \alpha_i|  for all i,j.
  36. >Then one has C=\sqrt(3), etc. as in my previous posting. If one is interested
  37. >in the minimum of these absolute values then no such C exists but that is
  38. >another question. 
  39.  
  40.  
  41. But that was the original question.  Consider the following example:
  42.  
  43.     x^3 - A*x^2 + 1 = 0.
  44.  
  45. Since every rational root is 1 or -1, this is irreducible if A is not 0 or 2.
  46. Let 1/A = v^2.  Then for v small, the equation, written in the form
  47.  
  48.     x^2 = v^2 + v^2 * x^3,
  49.  
  50. has a solution which is given by a convergent power series in v.  This
  51. series is
  52.  
  53.     x = v + v^4/2 + (5/8)*v^7 + ... .
  54.  
  55. Thus, the sums for the positive square root v and the negative square root
  56. are both roots of the equation, and they differ by  2*v + (5/4)*v^7 + ...
  57. Clearly, this can be made arbitrarily small.
  58. -- 
  59. Herman Rubin, Dept. of Statistics, Purdue Univ., West Lafayette IN47907-1399
  60. Phone: (317)494-6054
  61. hrubin@pop.stat.purdue.edu (Internet, bitnet)  
  62. {purdue,pur-ee}!pop.stat!hrubin(UUCP)
  63.