home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9384 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-07-21  |  2.5 KB
  1. Path: sparky!uunet!dtix!darwin.sura.net!jvnc.net!princeton!phoenix.Princeton.EDU!carabalo
  2. From: carabalo@phoenix.Princeton.EDU (David G. Caraballo)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Choice and Measurability
  5. Message-ID: <1992Jul21.183209.8629@Princeton.EDU>
  6. Date: 21 Jul 92 18:32:09 GMT
  7. Sender: news@Princeton.EDU (USENET News System)
  8. Organization: Princeton University Mathematics Department
  9. Lines: 41
  10. Originator: news@ernie.Princeton.EDU
  11. Nntp-Posting-Host: phoenix.princeton.edu
  12.  
  13. In article  <1992Jul20.171849.17294@Princeton.EDU> I wrote
  14.  
  15. > Let M be the axiom  "All subsets of R^n are measurable".  Then the 
  16. > following is true:
  17. > M is consistent with ZF and Countable Choice, but not with ZF and  
  18. > AC.   Does someone have a reference?
  19.  
  20. I have been given a reference that supports this claim.  I will include 
  21. it later in this post.  
  22.  
  23. In article  <ARA.92Jul20200638@camelot.ai.mit.edu>  Allan Adler wrote
  24.  
  25. > David Carabalo believes that Solovay proved that the nonexistence of
  26. > nonmeasurable sets is consistent with ZF+DC.
  27.  
  28. For the record, David Caraballo believes no such thing.  The assumption 
  29. that there exists an inaccessible cardinal is essential here, as Shelah 
  30. proved.  I wrote "Countable Choice", not DC ("Dependent Choice").  I believe 
  31. it was Bernays (Is this the correct attribution?) who proved that 
  32. AC => DC => Countable Choice.  Consistency with ZF+DC is, of course, much 
  33. more useful (DC allows us to prove all sorts of useful results, such as 
  34. "The union of a countable number of countable sets is countable.").  
  35.  
  36. The relevant result that actually appears in Solovay's paper mentions 
  37. DC, not Countable Choice.  The complete reference, by the way, is
  38. Annals of Math, 92; 1970, pp. 1-56.   However, consider the following 
  39. reference which someone sent to me in response to my post:  
  40.  
  41. "Solovay in 1964 proved that the assertion 'all sets are Lebesgue
  42. measurable' is consistent with ZF and a restricted version of choice.
  43. This restricted version of choice, called the countable axiom of choice,
  44. asserts that every countable set of non-empty sets has a choice function."
  45.                          Malitz, _Introduction to Mathematical Logic_, p.49
  46.  
  47. I had something similar in my own notes (which is why I posted something to 
  48. this effect -- included above).  I am not prepared to disregard my notes 
  49. (and now, the above reference) without seeing an actual proof that my claim 
  50. "M is consistent with ZF and Countable Choice" is false.  If someone has a 
  51. proof, I would love to see it.  Thank you.  
  52.  
  53. David G. Caraballo
  54.