home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9382 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-07-21  |  2.9 KB
  1. Path: sparky!uunet!dtix!darwin.sura.net!mips!think.com!news!columbus
  2. From: columbus@strident.think.com (Michael Weiss)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: You know, the integers (Or: how do we know anything?)
  5. Message-ID: <COLUMBUS.92Jul21155511@strident.think.com>
  6. Date: 21 Jul 92 19:55:11 GMT
  7. References: <1992Jul21.132554.152734@ns1.cc.lehigh.edu>
  8.     <1992Jul21.163533.15492@galois.mit.edu>
  9. Organization: Thinking Machines Corporation, Cambridge MA, USA
  10. Lines: 47
  11. NNTP-Posting-Host: strident.think.com
  12. In-reply-to: jbaez@zermelo.mit.edu's message of 21 Jul 92 16:35:33 GMT
  13.  
  14. In article <1992Jul21.163533.15492@galois.mit.edu> jbaez@zermelo.mit.edu
  15. (John C. Baez) writes: 
  16.  
  17.    [discussion of impossibility of proving the consistency of ZF omitted]
  18.  
  19.    I used to crave certainty and this sort of thing bugged me.  Now I'm
  20.    fairly used to it -- as well as the fact (which once seemed disturbing)
  21.    that no r.e. set of axioms about the integers will have a unique model
  22.    up to elementary equivalence, and NO set of axioms about the integers
  23.    will have a unique model up to isomorphism.   It irritates Torkel when I
  24.    say that this means we're not quite sure what the "real" integers ARE.
  25.    I think the sense in which I mean this was most clearly indicated by my
  26.    game show in which one tried to figure out which mathematician was using
  27.    the real integers and which two were fakes.
  28.  
  29. Well... you presumably believe that there are nonstandard models of Peano
  30. arithmetic (say) because you accept the sort of set-theoretic reasoning
  31. used to establish the Compactness theorem of first order logic.
  32.  
  33. You may say you interpret this reasoning in a purely formal
  34. sense, as another game played on the checkerboard of ZFC.  Or you may
  35. prefer a more hedonistic interpretation, where the symbols simply
  36. transcribe a symphony we hear directly with our mathematical ears.
  37.  
  38. Either way, I assume you would accept the following two theorems
  39. of ZFC on the same philosophical level:
  40.  
  41.     (1) For any consistent extension T of Peano arithmetic, there are
  42.         non-isomorphic models of T-- i.e., nonstandard models exist.
  43.  
  44.     (2) There are models of Peano arithmetic that can be imbedded in any
  45.         model of Peano arithmetic, and any two such models are
  46.         isomorphic. 
  47.  
  48. If I wanted to dot all the i's, I would define a category of models of PA
  49. and state the imbedding and isomorphism properties "canonically", but since
  50. we're among friends, I won't bother.
  51.  
  52. While the proof of (2) is trivial, I consider it quite adequate
  53. justification for talking about the Real Integers.  We can single out a
  54. minimal model of Peano arithmetic, and this model is unique up to
  55. isomorphism in a natural way.  What more could one ask for?
  56.  
  57. Of course, stepping "outside the system", one can see that the model isn't
  58. *really* unique.  But if you can do enough set theory to construct
  59. nonstandard models, you can tell which are the honest-to-Kronecker
  60. integers, and which are the fakes.
  61.