home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Trigonometry / ProOneSoftware-Trigonometry-Win31.iso / trig / chapter4.6r < prev    next >
Text File  |  1995-04-09  |  4KB  |  175 lines
  1.  173 
  2. à 4.6ïProduct and Sum Identities
  3.  
  4. äïPlease use the Product or Sum Identities to answer the
  5. êêfollowing questions.
  6. âè Evaluate sin 5π/12 + sin π/12 by using a Sum Identity.
  7.  
  8. êësin A + sin Bï=ï2∙sin (A + B)/2 ∙ cos (A - B)/2
  9.  
  10.  sin 5π/12 + sin π/12ï=ï2∙sin (5π/12 + π/12)/2 ∙ cos (5π/12 - π/12)/2
  11.  
  12. êï=ï2∙sin π/4 ∙ cos π/6ï=ï2∙ 1/√2 ∙ √3/2ï=ï√3/√2
  13. éSïThere are some additional identities that are useful on a few
  14. occasions in later math courses.ïThey are the product-to-sum identities
  15. and the sum-to-product identities.ïThese formulas can be derived by
  16. adding or subtracting the Addition Identities.ïFor example, you can
  17. add the formulas for cos (A + B) and cos (A - B).
  18.  cos (A + B) + cos (A - B)ï=ïcos A∙cos B - sin A∙sin B + cos A∙cos B +
  19. sin A∙sin Bï=ï2∙cos A∙cos B.ïThus, solving for cos A∙cos B,
  20. êë cos A∙cos Bï=ï1/2∙[cos (A + B) + cos (A - B)].
  21. The complete list of sum-to-product and product-to-sum identities are
  22. listed below.
  23. êêêïSum-to-Product Identities
  24.  
  25. êè1)ïsin A + sin Bï=ï2∙sin (A + B)/2 ∙ cos (A - B)/2
  26.  
  27. êè2)ïsin A - sin Bï=ï2∙cos (A + B)/2 ∙ sin (A - B)/2
  28.  
  29. êè3)ïcos A + cos Bï=ï2∙cos (A + B)/2 ∙ cos (A - B)/2
  30.  
  31. êè4)ïcos A - cos Bï=ï-2∙sin (A + B)/2 ∙ sin (A - B)/2
  32.  
  33. êêêïProduct-to-Sum Identities
  34.  
  35. êè5)ïsin A∙cos Aï=ï1/2[sin (A + B) + sin (A - B)]
  36.  
  37. êè6)ïcos A∙cos Bï=ï1/2[sin (A + B) - sin (A - B)]
  38.  
  39. êè7)ïsin A∙sin Bï=ï1/2[cos (A - B) - cos (A + B)]
  40.  
  41. êè8)ïcos A∙cos Bï=ï1/2[cos (A + B) + cos (A - B)]
  42.  
  43. Also included here are the Cofunction Identities and the Opposite-Angle
  44. Identities.
  45. èCofunction IdentitiesêêïOpposite-Angle Identities
  46. 9)ïcos (π/2 - x)ï=ïsin xêë 12)ïcos (-x)ï=ïcos x
  47. 10)ïsin (π/2 - x)ï=ïcos xêë13)ïsin (-x)ï=ï-sin x
  48. 11)ïtan (π/2 - x)ï=ïcot xêë14)ïtan (-x)ï=ï-tan x
  49.  
  50.  1êUse a sum-to-product identity to evaluate
  51. êêêë sin 105° - sin 15°
  52.  
  53. êê A)ï2êêêëB)ï1/√2
  54.  
  55. êê C)ï√3/2êêêïD)ïå of ç
  56. ü
  57. êë sin 105° - sin 15°ï=ï2∙cos 120°/2 ∙ sin 90°/2
  58.  
  59. êêêêë= 2∙cos 60° ∙ sin 45°
  60.  
  61. êêêêë=ï2∙ 1/2 ∙1/√2
  62.  
  63. êêêêë=ï1/√2
  64. Ç B
  65.  2êUse a sum-to-product identity to evaluate
  66. êêêë sin 165° + sin 75°
  67.  
  68. êê A)ï1/2êêêèB)ï√3
  69.  
  70. êê C)ï√3/√2êêê D)ïå of ç
  71. ü
  72. êë sin 165° + sin 75°ï=ï2∙sin 240°/2 ∙ cos 90°/2
  73.  
  74. êêêêë= 2∙sin 120° ∙ cos 45°
  75.  
  76. êêêêë=ï2∙ √3/2 ∙1/√2
  77.  
  78. êêêêë=ï√3/√2
  79. Ç C
  80.  3êUse a sum-to-product identity to evaluate
  81. êêêë cos 5π/12 + cos π/12
  82.  
  83. êê A)ï√3/√2êêê B)ï√3
  84.  
  85. êê C)ï1/2êêêèD)ïå of ç
  86. ü
  87. êë cos 5π/12 + cos π/12ï=ï2∙cos 6π/12/2 ∙ cos 4π/12/2
  88.  
  89. êêêêë= 2∙cos π/4 ∙ cos π/6
  90.  
  91. êêêêë=ï2∙ 1/√2 ∙√3/2
  92.  
  93. êêêêë=ï√3/√2
  94. Ç A
  95.  4êUse a sum-to-product identity to evaluate
  96. êêêë cos 42° - cos 28°
  97.  
  98. êê A)ï.2781êêê B)ï√3
  99.  
  100. êê C)ï.1398êêê D)ïå of ç
  101. ü
  102. êë cos 42° - cos 28°ï=ï-2∙sin 70°/2 ∙ sin 14°/2
  103.  
  104. êêêêë= 2∙sin 35° ∙ sin 7°
  105.  
  106. êêêêë≈ï2∙(.5736)∙(.1219)
  107.  
  108. êêêêë≈ï.1398
  109. Ç C
  110.  5êUse a product-to-sum identity to evaluate
  111. êêêë cos 3π/8 ∙ cos π/8
  112.  
  113. êê A)ï1/√2êêêïB)ï√2/4
  114.  
  115. êê C)ï1/√3êêêïD)ïå of ç
  116. ü
  117. êë cos 3π/8 ∙ cos π/8ï=ï1/2[cos 4π/8 + cos 2π/8]
  118.  
  119. êêêêë= 1/2[cos π/2 + cos π/4]
  120.  
  121. êêêêë=ï1/2[ 0 + 1/√2]
  122.  
  123. êêêêë=ï1/2√2ï=ï√2/4
  124. Ç B
  125.  6êUse a product-to-sum identity to evaluate
  126. êêêë sin 55° ∙ cos 35°
  127.  
  128. êê A)ï.2897êêê B)ï.1823
  129.  
  130. êê C)ï.6710êêê D)ïå of ç
  131. ü
  132. êë sin 55° ∙ cos 35°ï=ï1/2[sin 90° + sin 20°]
  133.  
  134. êêêêë≈ 1/2[ 1 + .3420]
  135.  
  136. êêêêë≈ï.6710
  137. Ç C
  138.  7ê Prove one of the following is an identity.
  139.  
  140. êë A)ï2∙cos 3x/2 ∙ sin x/2ï=ïsin 2x - sin x
  141.  
  142. êë B)ïcsc x - tan x/2ï=ïsec x
  143.  
  144. êë C)ïå of ç
  145. ü
  146.  
  147. êêêè2∙cos 3x/2 ∙ sin x/2
  148.  
  149. êêë=è 2∙cos (2x + x)/2 ∙ sin (2x - x)/2
  150.  
  151. êêë=è sin 2x - sin x
  152. Ç A
  153.  8ê Prove one of the following is an identity.
  154.  
  155. #êë A)ï(sin 5x + sin 3x)/(cos 5x + cos 3x)ï=ïsinì4x
  156.  
  157. êë B)ï(cos 3x - cos x)/(sin x - sin 3x)ï=ïtan 2x
  158.  
  159. êë C)ïå of ç
  160. üêêè cos 3x - cos x
  161. #êêêè──────────────
  162. êêêèsin x - sin 3x
  163.  
  164. êêêè-2∙sin 4x/2 ∙ sin 2x/2
  165. #êêë=è ──────────────────────
  166. êêêè2∙cos 4x/2 ∙ sin 2x/2
  167.  
  168. êêêèsin 2x
  169. #êêë=è ──────
  170. êêêècos 2x
  171.  
  172. êêë=è tan 2x
  173. Ç B
  174.  
  175.