home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Trigonometry / ProOneSoftware-Trigonometry-Win31.iso / trig / chapter4.5r < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1995-04-10  |  3.5 KB  |  150 lines
  1.  148 
  2. à 4.5ïDouble and Half-Angle Identities
  3.  
  4. äïPlease use the Double and Half-Angle Identities to answer
  5. êêthe following questions.
  6. â
  7. êë Prove the identity, sin 2x ∙ sec xï=ï2∙sin x
  8.  
  9.  
  10. è Proof:ïsin 2x ∙ sec xï=ï2∙sin x ∙ cos x ∙ 1/cos xï=ï2∙sin x
  11. éSïIn the last section, we looked at the Addition Identities.
  12. While they will be helpful in some situations in later math courses,
  13. the Double and Half-Angle Identities will be needed frequently in
  14. differentiation and integration of trigonometric expressions in cal-
  15. culus and differential equations.ïThey are listed below.
  16. êêêèDouble-Angle Identities
  17. êêë 1)ïsin 2xï=ï2∙sin x ∙ cos x
  18.  
  19. #êêë 2)ïcos 2xï=ïcosìx - sinìx
  20. #êêêêè =ï2∙cosìx - 1
  21. #êêêêè =ï1 - 2∙sinìx
  22.  
  23. #êêë 3)ïtan 2xï=ï2∙tan x/(1 - tanìx)
  24.  
  25. êêêè Half-Angle Identities
  26. #êêè ┌─────────────êêêï┌─────────────
  27. #4)ïcos x/2ï=ï± á(1 + cos x)/2ë5)ïsin x/2ï=ï± á(1 - cos x)/2
  28.  
  29. ê 6)ïtan x/2ï=ï(1 -cos x)/sin xï=ïsin x/(1 + cos x)
  30.  
  31. è Each of the double-angle identities can be proven by expressing 2x
  32. as x + x, and using the addition identities.ïFor example, sin 2xï=
  33. sin (x + x)ï=ïsin x ∙ cos x + cos x ∙ sin xï=ï2∙sin x ∙ cos x.ïIt
  34. is possible to prove the half-angle formulas by solving for the sin or
  35. #cos in the double-angle formulas.ïFor example, cos 2xï=ï1 - 2∙sinìx.
  36. #êêêè2∙sinìxï=ï1 - cos 2x
  37. #êêêèsinìxï=ï(1 - cos 2x)/2
  38. #êêêêê ┌──────────────
  39. #êêêèsin xï=ï± á(1 - cos 2x)/2
  40. è To prove the identity, sin 2x ∙ sec xï=ï2∙sin x, you can substi-
  41. tute the double-angle formula for sin 2x into the left side of the equa-
  42. tion.
  43. ë sin 2x ∙ sec xï=ï2∙sin x ∙ cos x ∙ 1/cos xï=ï2∙sin x
  44.  1ê Use a double-angle identity to evaluate
  45. #êêêê2∙così15° - 1
  46.  
  47. êë A)ï1/2êêêêB)ï√3/2
  48.  
  49. êë C)ï2êêêêïD)ïå of ç
  50. ü
  51. #êêêècos 2xï=ï2∙cosìx - 1
  52.  
  53. #êêêècos 30°ï=ï2∙così15° - 1
  54.  
  55. #êêêè√3/2ï=ï2∙così15° - 1
  56. Ç B
  57.  2ê Use a double-angle identity to evaluate
  58. êêêè2∙sin 22.5° ∙ cos 22.5°
  59.  
  60. êë A)ï1êêêêïB)ï√2
  61.  
  62. êë C)ï1/√2êêêë D)ïå of ç
  63. ü
  64. êêêèsin 2xï=ï2∙sin x ∙cos x
  65.  
  66. êêêèsin 45°ï=ï2∙sin 22.5° ∙ cos 22.5°
  67.  
  68. êêêè1/√2ï=ï2∙sin 22.5° ∙ cos 22.5°
  69. Ç C
  70.  3ê Use a double-angle identity to evaluate
  71. #êêêè2∙tan π/8/(1 - tanìπ/8)
  72.  
  73. êë A)ï1êêêêïB)ï1/√2
  74.  
  75. êë C)ï√3/2êêêë D)ïå of ç
  76. ü
  77. #êêêètan 2xï=ï2∙tan x/(1 - tanìx)
  78.  
  79. #êêêètan π/4ï=ï2∙tan π/8/(1 - tanìπ/8)
  80.  
  81. #êêêè1ï=ï2∙tan π/8/(1 - tanìπ/8)
  82. Ç A
  83.  4ê Use a half-angle identity to evaluate
  84. #êêêë ┌───────────────
  85. #êêêë á(1 - cos 60°)/2
  86. êë A)ï√3/2êêêë B)ï1/√2
  87.  
  88. êë C)ï1/2êêêêD)ïå of ç
  89. #üêêêêï┌─────────────
  90. #êêêèsin x/2ï=ïá(1 - cos x)/2
  91. #êêêêê ┌───────────────
  92. #êêêèsin 30°ï=ïá(1 - cos 60°)/2
  93. #êêêêè ┌───────────────
  94. #êêêè1/2ï=ïá(1 - cos 60°)/2
  95. Ç C
  96.  5ê Use a half-angle identity to evaluate
  97.  
  98. êêêè (1 - cos 120°)/sin 120°
  99. êë A)ï√3êêêê B)ï√3/2
  100.  
  101. êë C)ï1/2êêêêD)ïå of ç
  102. ü
  103. êêêètan x/2ï=ï(1 - cos x)/sin x
  104.  
  105. êêêètan 60°ï=ï(1 - cos 120°)/sin 120°
  106.  
  107. êêêè√3ï=ï(1 - cos 120°)/sin 120°
  108. Ç A
  109.  6ë Prove one of the following is an identity.
  110.  
  111. #ëcosìx - sinìxêêêë sinì2x
  112. # A)ï─────────────ï=ï2∙cot 2xê B)ï──────────ï=ï2∙sinìx
  113. ësin x ∙ cos xêêêè 1 - cos 2x
  114.  
  115. êêêè C)ïå of ç
  116. ü
  117. #êêêê cosìx - sinìx
  118. #êêêê ─────────────
  119. êêêê sin x ∙ cos x
  120.  
  121. êêêêè cos 2x
  122. #êêêè=è ────────────
  123. êêêê 1/2 ∙ sin 2x
  124.  
  125. êêêè=è 2∙cot 2x
  126. Ç A
  127.  7ë Prove one of the following is an identity.
  128.  
  129. êêêêêêë2
  130. # A)ïcosÅx - sinÅxï=ïsin 2xêèB)ï──────────ï=ïsecìx
  131. êêêêêê 1 + cos 2x
  132.  
  133. êêêè C)ïå of ç
  134. ü
  135. êêêêë 2
  136. #êêêê ───────────
  137. êêêê 1 +ïcos 2x
  138.  
  139. êêêêê2
  140. #êêêè=è ──────────────
  141. #êêêê 1 + 1 - 2∙sinìx
  142.  
  143. êêêêë 2
  144. #êêêè=è ─────────────
  145. #êêêê 2(1 - sinìx)
  146. #êêêè=è 1/cosìx
  147. #êêêè=è secìx
  148. Ç B
  149.  
  150.