home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Multimedia Geometry / geometry-3.5.iso / GEOMETRY / CHAPTER1.6Y < prev    next >
Text File  |  1995-04-21  |  7KB  |  242 lines
  1. à 1.6èDefïitions å Axioms for Angles
  2. äèPlease answer ê followïg questions about angular
  3. measurement.
  4. â
  5.  
  6. èè The measure ç an angle is represented uniquely by exactly one 
  7. èè real number b, called its degree measure, with 0 ≤ b ≤ 180.
  8. éS1 We will see that ê process ç measurïg angles is similar ë
  9. ê process ç measurïg segments.èThus, ï ê material that follows,
  10. ê defïitions å axioms for angles will be similar ë ê defïitions
  11. å axioms for segments.
  12. è An angle like a poït, segment, ray, lïe, or plane ia a geometric 
  13. figure.èThey are all collections ç poïts.èA ray is a collection ç
  14. poïts, å an angle is ê union ç two rays.
  15.  
  16. Defïition 1.6.1èANGLE:èAn angle is ê union ç two rays that share 
  17. a common endpoït.
  18.  
  19. è The rays ç an angle are called ê sides ç ê angle, å ê com-
  20. mon endpoït is called ê vertex ç ê angle.èWe will use ê nota-
  21. tion m ╬ABC ë mean ê measure ç ╬ABC.
  22. èèèèèèèèèèèèèèèèèèè In this figure, ê sides ç ê
  23. èèèèèèèèèèèèèèèèèèè angle are ┤╕ å ┤▓,å ê ver-
  24. èèèèèèèèèèèèèèèèèèè tex is B.èThis angle can be re-
  25. èèèèèèèèèèèèèèèèèèè presented by ê symbols ╬ABC or
  26. èèèèèèèèèèèèèèèèèèè ╬CBA.èThe letter at ê vertex 
  27. @fig1601.BMP,65,280,147,74èèèèèè is written ï ê middle.èSome-
  28. times when êre is no confusion, ê angle can be called ╬B or╬3.
  29. è Angles can be measured ï degrees.èIf ê circle is divided ïë 360
  30. equal parts, ên each one ç ê parts is called a degree.èA protrac-
  31. ër can be used ë approximate ê measure ç an angle ï degrees.è
  32. è You are encouraged at this time ë go ë ê measurement feature ï
  33. this program ë practice measurïg angles ï degrees.
  34.  
  35. Defïition 1.6.2èCONGRUENT ANGLES:èTwo angles are congruent if êy 
  36. have ê same measure.
  37.  
  38. è In measurïg angles, we probably made ê same assumptions that we
  39. made for segments.èWe probably assumed that ê measurement ç an angle
  40. is unique, å that if you place ê ïitial side ç ê angle hori-
  41. zontal, êre is a unique degree measure at ê termïal side ç ê 
  42. angle on ê protracër. 
  43. è The followïg axioms provide this assurance.
  44.  
  45. Axiom 10:èThe measure ç an angle is represented uniquely by exactly 
  46. one real number called its degree measure.
  47.  
  48. Axiom 11:èIf you place a protracër on an angle with ê ïitial side at
  49. zero degrees, ên êre is a unique degree measure at ê termïal side
  50. ç ê angle.
  51.  
  52. è An axiom allows us ë add two angle measures ëgeêr ë get ëtal
  53. measure.
  54.  
  55. Axiom 12:èIf poït P is ïterior ë ╬ABC, ên ê measure ç ╬ABP plus
  56. ê measure ç ╬PBC equals ê measure ç ╬ABC.
  57.  
  58. Defïition 1.6.3èANGLE BISECTOR:èAn angle bisecër is a ray ïterior 
  59. ë ╬ABC that divides ê angle ïë two angles with equal measures.
  60.  
  61. Axiom 13:èThe angle bisecër ç a given angle is unique.
  62.  
  63. è You are encouraged at this time ë go ë ê "construction feature" ç 
  64. this program å practice constructions (3) å (4).èConstruction (3)
  65. ïvolves constructïg an angle congruent ë a given angle, å construc-
  66. tion (4) ïvolves constructïg an angle bisecër ç a given angle.
  67. è Sometimes it is necessary ë measure angles with great precision.è
  68. For this purpose, ê degree is divided ïë 60 equal parts called mï-
  69. utes, å one mïute is divided ïë 60 equal parts called seconds.èFor
  70. example, 35°20'42" is read 35 degrees, 20 mïutes, å 42 seconds.
  71.  1
  72. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèè If m╬DEC = 60° å m╬CEB = 60°,è
  73. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèè fïd m╬DEB. 
  74.  
  75. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèA)è120°èèèè B)è5°èèèèèèèèèèè
  76.  
  77. @FIG1602.BMP,35,40,147,74èèèèèèèèè C)è85°èèèèèD)èNone 
  78. ü
  79.  
  80.  
  81. èèèèèèèèèè m╬DEC + m╬CEB = 60° + 60° = 120°
  82. Ç A
  83.  2
  84. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèIf m╬AEC = 120° å m╬BEC = 60°,è
  85. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèfïd m╬AEB. 
  86.  
  87. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèA)è80°èèèèèB) 75°èèèèèèèèèèè
  88.  
  89. @FIG1602.BMP,35,40,147,74èèèèèèèèè C)è60°èèèèèD)èNone 
  90. ü
  91.  
  92.  
  93. èèèèèèèèèèèm╬AEC - m╬BEC = 120° - 60° = 60°
  94. Ç C
  95.  3
  96. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè Fïd m╬AEB + m╬BEC + m╬CED,è 
  97. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè if ░┴ is a lïe. 
  98.  
  99. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèA) 130°èèèèèB) 180°èèèèèèèèèèè
  100.  
  101. @FIG1602.BMP,35,40,147,74èèèèèèèèè C)è240°èèèè D)èNone 
  102. ü
  103.  
  104.  
  105. èèèèèèèèèè m╬AEB + m╬BEC + m╬CED = 180°
  106. Ç B
  107.  4
  108. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè Give anoêr name for ╬2.è 
  109. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  110.  
  111. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèA) ╬BECèèèèèB) ╬AECèèèèèèèèèèè
  112.  
  113. @FIG1602.BMP,35,40,147,74èèèèèèèèè C) ╬BEPèèèèèD) None 
  114. ü
  115.  
  116.  
  117. èèèèèèèèèèèèèèèèè╬BEC
  118. Ç A
  119.  5
  120. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèName two angles with ║╡ as a side.è 
  121. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  122.  
  123. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèè A) ╬AEC,╬CEPèèèB) ╬BEC, ╬BEDèèèèèèèèèèè
  124.  
  125. @FIG1602.BMP,35,40,147,74èèèèèèèèC) ╬CED,╬PEDèèèD)èNone 
  126. ü
  127.  
  128.  
  129. è There are many angles with ║╡ as a side.èAnswer B has two ç êm.
  130. Ç B
  131.  6
  132. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèIf ║╡ is ê bisecër ç ╬AEC,è 
  133. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèwhat is true ç ╬3 å ╬2?èè 
  134.  
  135. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè A) ╬3 ≥ ╬2èèèB) ╬3 ≤ ╬2èèèèèèèèèèè
  136.  
  137. @FIG1602.BMP,35,40,147,74èèèèèèèèèC) ╬3 = ╬2èèèD)èNone 
  138. ü
  139.  
  140.  
  141. èèèèèèèèèèèèèèèè╬3 = ╬2
  142. Ç C
  143.  7
  144. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè Is ║└ ê bisecër ç ╬CED?è 
  145. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  146.  
  147. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè A) YesèèèB) Noèèèèèèèèèèè
  148.  
  149. @FIG1602.BMP,35,40,147,74èèèèèèèèèèèC) Not enough ïformationèèè 
  150. ü
  151.  
  152.  
  153. èèèèèèèèèèèèNot enough ïformation.
  154. Ç C
  155.  8
  156. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèm╬3 + m╬2 = m╬______.è 
  157. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  158.  
  159. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèA) m╬BEPèèèB)èm╬AECèèèèèèèèèèè 
  160.  
  161. @FIG1602.BMP,35,40,147,74èèèèèèèèèèè C) m╬PEDèèèD)èNone 
  162. ü
  163.  
  164.  
  165. èèèèèèèèèèèèèèm╬3 + m╬2 = m╬AEC
  166. Ç B
  167.  9
  168. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè m╬BED - m╬PED = m╬______.è 
  169. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  170.  
  171. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèA) m╬BEPèèèB)èm╬CEPèèèèèèèèèèè 
  172.  
  173. @FIG1602.BMP,35,40,147,74èèèèèèèèèèè C) m╬AEBèèèD)èNone 
  174. ü
  175.  
  176.  
  177. èèèèèèèèèèèèè m╬BED - m╬PED = m╬BEP
  178. Ç A
  179.  10
  180. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè m╬AEB = 60°, m╬BEC = 60°, åè
  181. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè m╬AEP = 150°, fïd m╬CEP.èèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  182.  
  183. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèA) 30°èèèB)è20°èèèèèèèèèèè 
  184.  
  185. @FIG1602.BMP,35,40,147,74èèèèèèèèèèèè C) 25°èèèD)èNone 
  186. ü
  187.  
  188.  
  189. èèèèèèèèèèèèè150° - (60° + 60°) = 30°
  190. Ç A
  191.  11
  192.  
  193. èè An angle is ê union ç two rays that share a common _________.èèè
  194. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  195. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  196. èèA)èSegmentèèèè B)èRayèèèè C)èEndpoïtèèèè D)èNoneèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  197. ü
  198.  
  199.  
  200. èèèèèèèèèèèèèèèèEndpoït
  201. Ç C
  202.  12
  203.  
  204. The common endpoït ç two rays that form an angle is called ê ______.èèè
  205. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  206. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  207. èèè A)èVertexèèèèB)èRaysèèèèC)èSidesèèèèD)èNoneèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  208. ü
  209.  
  210.  
  211. èèèèèèèèèèèèèèèèèVertex
  212. Ç A
  213.  13
  214.  
  215. èèèèè Two angles are congruent if êy have ê same ______.èèè
  216. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  217. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  218. èèèèA)èVertexèèè B)èSidesèèè C)èMeasureèèè D)èNoneèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  219. ü
  220.  
  221.  
  222. èèèèèèèèèèèèèèèè Measure
  223. Ç C
  224.  14
  225.  
  226. If a ray divides an angle ïë two equal angles, it is called a _______.èèè
  227. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  228. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  229. è A)èVertexèèè B)èBisecërèèèC)èTermïal sideèèèD)èNoneèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  230. ü
  231.  
  232.  
  233. èèèèèèèèèèèèèèèè Bisecër
  234. Ç B
  235.  
  236.  
  237.  
  238.  
  239.  
  240.  
  241.  
  242.