home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ ftp.pasteur.org/FAQ/ / ftp-pasteur-org-FAQ.zip / FAQ / sci-math-faq / surfaceSphere < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1995-11-20  |  2.2 KB  |  64 lines
  1. Newsgroups: sci.math,sci.answers,news.answers
  2. Path: senator-bedfellow.mit.edu!bloom-beacon.mit.edu!paperboy.osf.org!bone.think.com!blanket.mitre.org!agate!howland.reston.ans.net!spool.mu.edu!torn!watserv3.uwaterloo.ca!undergrad.math.uwaterloo.ca!neumann.uwaterloo.ca!alopez-o
  3. From: alopez-o@neumann.uwaterloo.ca (Alex Lopez-Ortiz)
  4. Subject: sci.math FAQ: Surface Area of Sphere
  5. Summary: Part 35 of many, New version,
  6. Originator: alopez-o@neumann.uwaterloo.ca
  7. Message-ID: <DI76nI.EC1@undergrad.math.uwaterloo.ca>
  8. Sender: news@undergrad.math.uwaterloo.ca (news spool owner)
  9. Approved: news-answers-request@MIT.Edu
  10. Date: Fri, 17 Nov 1995 17:16:30 GMT
  11. Expires: Fri, 8 Dec 1995 09:55:55 GMT
  12. Reply-To: alopez-o@neumann.uwaterloo.ca
  13. Nntp-Posting-Host: neumann.uwaterloo.ca
  14. Organization: University of Waterloo
  15. Followup-To: sci.math
  16. Lines: 45
  17. Xref: senator-bedfellow.mit.edu sci.math:124753 sci.answers:3468 news.answers:58011
  18.  
  19.  
  20. Archive-Name: sci-math-faq/surfaceSphere
  21. Last-modified: December 8, 1994
  22. Version: 6.2
  23.  
  24.  
  25.  
  26.  
  27. Formula for the Surface Area of a sphere in Euclidean N -Space
  28.  
  29.  
  30.  
  31.    This is equivalent to the volume of the N -1 solid which comprises the
  32.    boundary of an N -Sphere.
  33.  
  34.    The volume of a ball is the easiest formula to remember: It's r^N
  35.    (pi^(N/2))/((N/2)!) . The only hard part is taking the factorial of a
  36.    half-integer. The real definition is that x! = Gamma (x + 1) , but if
  37.    you want a formula, it's:
  38.  
  39.    (1/2 + n)! = sqrt(pi) ((2n + 2)!)/((n + 1)!4^(n + 1)) To get the
  40.    surface area, you just differentiate to get N (pi^(N/2))/((N/2)!)r^(N
  41.    - 1) .
  42.  
  43.    There is a clever way to obtain this formula using Gaussian integrals.
  44.    First, we note that the integral over the line of e^(-x^2) is sqrt(pi)
  45.    . Therefore the integral over N -space of e^(-x_1^2 - x_2^2 - ... -
  46.    x_N^2) is sqrt(pi)^n . Now we change to spherical coordinates. We get
  47.    the integral from 0 to infinity of Vr^(N - 1)e^(-r^2) , where V is the
  48.    surface volume of a sphere. Integrate by parts repeatedly to get the
  49.    desired formula.
  50.  
  51.    It is possible to derive the volume of the sphere from ``first
  52.    principles''.
  53.  
  54.  
  55.      _________________________________________________________________
  56.  
  57.  
  58.  
  59.     alopez-o@barrow.uwaterloo.ca
  60.     Tue Apr 04 17:26:57 EDT 1995
  61.    
  62.    
  63.    
  64.