home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ ftp.pasteur.org/FAQ/ / ftp-pasteur-org-FAQ.zip / FAQ / sci-math-faq / specialnumbers / fxtofxeqx < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1995-11-18  |  2.4 KB  |  74 lines
  1. Newsgroups: sci.math,sci.answers,news.answers
  2. Path: senator-bedfellow.mit.edu!bloom-beacon.mit.edu!spool.mu.edu!torn!watserv3.uwaterloo.ca!undergrad.math.uwaterloo.ca!neumann.uwaterloo.ca!alopez-o
  3. From: alopez-o@neumann.uwaterloo.ca (Alex Lopez-Ortiz)
  4. Subject: sci.math FAQ: f(x)^f(x)=x
  5. Summary: Part 17 of many, New version,
  6. Originator: alopez-o@neumann.uwaterloo.ca
  7. Message-ID: <DI76L8.J8r@undergrad.math.uwaterloo.ca>
  8. Sender: news@undergrad.math.uwaterloo.ca (news spool owner)
  9. Approved: news-answers-request@MIT.Edu
  10. Date: Fri, 17 Nov 1995 17:15:08 GMT
  11. Expires: Fri, 8 Dec 1995 09:55:55 GMT
  12. Reply-To: alopez-o@neumann.uwaterloo.ca
  13. Nntp-Posting-Host: neumann.uwaterloo.ca
  14. Organization: University of Waterloo
  15. Followup-To: sci.math
  16. Lines: 55
  17. Xref: senator-bedfellow.mit.edu sci.math:124391 sci.answers:3425 news.answers:57826
  18.  
  19.  
  20. Archive-Name: sci-math-faq/specialnumbers/fxtofxeqx
  21. Last-modified: December 8, 1994
  22. Version: 6.2
  23.  
  24.  
  25.  
  26. Name for f(x)^(f(x)) = x
  27.  
  28.  
  29.  
  30.    Solving for f one finds a ``continued fraction"-like answer
  31.  
  32.  
  33.  
  34.  
  35.  
  36.  
  37.  
  38.    This question has been repeated here from time to time over the years,
  39.    and no one seems to have heard of any published work on it, nor a
  40.    published name for it. It's not an analytic function.
  41.  
  42.    The ``continued fraction" form for its numeric solution is highly
  43.    unstable in the region of its minimum at 1/e (because the graph is
  44.    quite flat there yet logarithmic approximation oscillates wildly),
  45.    although it converges fairly quickly elsewhere. To compute its value
  46.    near 1/e , use the bisection method which gives good results.
  47.    Bisection in other regions converges much more slowly than the
  48.    logarithmic continued fraction form, so a hybrid of the two seems
  49.    suitable. Note that it's dual valued for the reals (and many valued
  50.    complex for negative reals).
  51.  
  52.    A similar function is a built-in function in MAPLE called W(x) or
  53.    Lambert's W function. MAPLE considers a solution in terms of W(x) as a
  54.    closed form (like the erf function). W is defined as W(x)e^(W(x)) = x
  55.    .
  56.  
  57.    Notice that f(x) = exp(W(log(x))) is the solution to f(x)^f(x) = x
  58.  
  59.    An extensive treatise on the known facts of Lambert's W function is
  60.    available for anonymous ftp at dragon.uwaterloo.ca at
  61.    /cs-archive/CS-93-03/W.ps.Z.
  62.  
  63.  
  64.  
  65.  
  66.      _________________________________________________________________
  67.  
  68.  
  69.  
  70.     alopez-o@barrow.uwaterloo.ca
  71.     Tue Apr 04 17:26:57 EDT 1995
  72.  
  73.  
  74.