home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ ftp.pasteur.org/FAQ/ / ftp-pasteur-org-FAQ.zip / FAQ / sci-math-faq / specialnumbers / eulerFormula < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1995-11-18  |  6.3 KB  |  172 lines
  1. Newsgroups: sci.math,sci.answers,news.answers
  2. Path: senator-bedfellow.mit.edu!bloom-beacon.mit.edu!spool.mu.edu!torn!watserv3.uwaterloo.ca!undergrad.math.uwaterloo.ca!neumann.uwaterloo.ca!alopez-o
  3. From: alopez-o@neumann.uwaterloo.ca (Alex Lopez-Ortiz)
  4. Subject: sci.math FAQ: e^(i Pi) = -1 Euler's formula
  5. Summary: Part 14 of many, New version,
  6. Originator: alopez-o@neumann.uwaterloo.ca
  7. Message-ID: <DI76Ks.FF5@undergrad.math.uwaterloo.ca>
  8. Sender: news@undergrad.math.uwaterloo.ca (news spool owner)
  9. Approved: news-answers-request@MIT.Edu
  10. Date: Fri, 17 Nov 1995 17:14:52 GMT
  11. Expires: Fri, 8 Dec 1995 09:55:55 GMT
  12. Reply-To: alopez-o@neumann.uwaterloo.ca
  13. Nntp-Posting-Host: neumann.uwaterloo.ca
  14. Organization: University of Waterloo
  15. Followup-To: sci.math
  16. Lines: 153
  17. Xref: senator-bedfellow.mit.edu sci.math:124388 sci.answers:3422 news.answers:57823
  18.  
  19.  
  20. Archive-Name: sci-math-faq/specialnumbers/eulerFormula
  21. Last-modified: December 8, 1994
  22. Version: 6.2
  23.  
  24.  
  25. Euler's formula: e^(i pi) = -1
  26.  
  27.  
  28.  
  29.    The definition and domain of exponentiation has been changed several
  30.    times. The original operation x^y was only defined when y was a
  31.    positive integer. The domain of the operation of exponentation has
  32.    been extended, not so much because the original definition made sense
  33.    in the extended domain, but because there were (almost) unique ways to
  34.    extend exponentation which preserved many of what seemed to be the
  35.    ``important" properties of the original operation. So in part, these
  36.    definitions are only convention, motivated by reasons of aesthetics
  37.    and utility.
  38.  
  39.    The original definition of exponentiation is, of course, that x^y = x
  40.    *x * ... * x, where x is multiplied by itself y times. This is only a
  41.    reasonable definition for y = 1, 2, 3, ... (It could be argued that it
  42.    is reasonable when y = 0 , but that issue is taken up in a different
  43.    part of the FAQ). This operation has a number of properties, including
  44.  
  45.  
  46.     1. x^1 = x
  47.     2. For any x , n , m , x^n x^m = x^(n + m) .
  48.     3. If x is positive, then x^n is positive.
  49.  
  50.        Now, we can try to see how far we can extend the domain of
  51.        exponentiation so that the above properties (and others) still
  52.        hold. This naturally leads to defining the operation x^y on the
  53.        domain x positive real; y rational, by setting x^(p/q) = the
  54.        q^(th) root of x^p . This operation agrees with the original
  55.        definition of exponentiation on their common domain, and also
  56.        satisfies (1), (2) and (3). In fact, it is the unique operation on
  57.        this domain that does so. This operation also has some other
  58.        properties:
  59.  
  60.     4. If x > 1 , then x^y is an increasing function of y .
  61.     5. If 0 < x < 1 , then x^y is a decreasing function of y .
  62.  
  63.        Again, we can again see how far we can extend the domain of
  64.        exponentiation while still preserving properties (1)-(5). This
  65.        leads naturally to the following definition of x^y on the domain x
  66.        positive real; y real:
  67.  
  68.        If x > 1 , x^y is defined to be sup_q { x^q } , where q runs over
  69.        all rationals less than or equal to y .
  70.  
  71.        If x < 1 , x^y is defined to be inf_q { x^q } , where q runs over
  72.        all rationals less than or equal to y .
  73.  
  74.        If x = 1 , x^y is defined to be 1 .
  75.  
  76.        Again, this operation satisfies (1)-(5), and is in fact the only
  77.        operation on this domain to do so.
  78.  
  79.        The next extension is somewhat more complicated. As can be proved
  80.        using the methods of calculus or combinatorics, if we define e to
  81.        be the number
  82.  
  83.        e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... = 2.71828...
  84.  
  85.        it turns out that for every real number x ,
  86.  
  87.     6. e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + ...
  88.  
  89.        e^x is also denoted exp(x) . (This series always converges
  90.        regardless of the value of x ).
  91.  
  92.        One can also define an operation ln(x) on the positive reals,
  93.        which is the inverse of the operation of exponentiation by e. In
  94.        other words, exp(ln(x)) = x for all positive x . Moreover,
  95.  
  96.     7. If x is positive, then x^y = exp(y ln(x)) . Because of this, the
  97.        natural extension of exponentiation to complex exponents, seems to
  98.        be to define
  99.  
  100.        exp(z) = 1 + z/1! + z^2/2! + z^3/3! + ...
  101.  
  102.        for all complex z (not just the reals, as before), and to define
  103.  
  104.        x^z = exp(z ln(x))
  105.  
  106.        when x is a positive real and z is complex.
  107.  
  108.        This is the only operation x^y on the domain x positive real, y
  109.        complex which satisfies all of (1)-(7). Because of this and other
  110.        reasons, it is accepted as the modern definition of
  111.        exponentiation.
  112.  
  113.        From the identities
  114.  
  115.        sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...
  116.  
  117.        cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...
  118.  
  119.        which are the Taylor series expansion of the trigonometric sine
  120.        and cosine functions respectively. From this, one sees that, for
  121.        any real x,
  122.  
  123.     8. exp(ix) = cos x + i sin x.
  124.  
  125.        Thus, we get Euler's famous formula
  126.  
  127.        e^(pi i) = -1
  128.  
  129.        and
  130.  
  131.        e^(2 pi i) = e^0 = 1.
  132.  
  133.        One can also obtain the classical addition formulae for sine and
  134.        cosine from (8) and (1).
  135.  
  136.  
  137.  
  138.    All of the above extensions have been restricted to a positive real
  139.    for the base. When the base x is not a positive real, it is not as
  140.    clear-cut how to extend the definition of exponentiation. For example,
  141.    (-1)^(1/2) could well be i or -i, (-1)^(1/3) could be -1 , 1/2 +
  142.    sqrt(3)i/2 , or 1/2 - sqrt(3)i/2 , and so on. Some values of x and y
  143.    give infinitely many candidates for x^y , all equally plausible. And
  144.    of course x = 0 has its own special problems. These problems can all
  145.    be traced to the fact that the exp function is not injective on the
  146.    complex plane, so that ln is not well defined outside the real line.
  147.    There are ways around these difficulties (defining branches of the
  148.    logarithm, for example), but we shall not go into this here.
  149.  
  150.    The operation of exponentiation has also been extended to other
  151.    systems like matrices and operators. The key is to define an
  152.    exponential function by (6) and work from there. [Some reference on
  153.    operator calculus and/or advanced linear algebra?]
  154.  
  155.  
  156.  
  157.    References
  158.  
  159.    Complex Analysis. Ahlfors, Lars V. McGraw-Hill, 1953.
  160.  
  161.  
  162.  
  163.  
  164.      _________________________________________________________________
  165.  
  166.  
  167.  
  168.     alopez-o@barrow.uwaterloo.ca
  169.     Tue Apr 04 17:26:57 EDT 1995
  170.  
  171.  
  172.