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|00000e40| 6f 6e 7d 0d 0a 24 5c 6e | 61 62 6c 61 20 66 28 78 |on}..$\n|abla f(x|
|00000e50| 2c 79 2c 7a 29 3d 5c 6c | 65 66 74 28 20 79 7a 2c |,y,z)=\l|eft( yz,|
|00000e60| 78 7a 2c 78 79 5c 72 69 | 67 68 74 29 20 5c 2c 24 |xz,xy\ri|ght) \,$|
|00000e70| 0d 0a 5c 65 6e 64 7b 71 | 75 6f 74 61 74 69 6f 6e |..\end{q|uotation|
|00000e80| 7d 0d 0a 0d 0a 24 5c 73 | 74 72 75 74 20 24 0d 0a |}....$\s|trut $..|
|00000e90| 0d 0a 53 69 6e 63 65 20 | 67 72 61 64 69 65 6e 74 |..Since |gradient|
|00000ea0| 73 20 63 61 6e 20 62 65 | 20 63 61 6c 63 75 6c 61 |s can be| calcula|
|00000eb0| 74 65 64 20 66 6f 72 20 | 73 63 61 6c 61 72 20 66 |ted for |scalar f|
|00000ec0| 75 6e 63 74 69 6f 6e 73 | 20 6f 66 20 24 6e 24 20 |unctions| of $n$ |
|00000ed0| 61 72 62 69 74 72 61 72 | 79 0d 0a 76 61 72 69 61 |arbitrar|y..varia|
|00000ee0| 62 6c 65 73 2c 20 74 68 | 65 20 67 72 61 64 69 65 |bles, th|e gradie|
|00000ef0| 6e 74 20 6f 70 65 72 61 | 74 6f 72 20 75 73 65 73 |nt opera|tor uses|
|00000f00| 20 5c 65 6d 70 68 7b 61 | 6c 6c 7d 20 74 68 65 20 | \emph{a|ll} the |
|00000f10| 76 61 72 69 61 62 6c 65 | 73 20 74 68 61 74 20 61 |variable|s that a|
|00000f20| 70 70 65 61 72 0d 0a 69 | 6e 20 74 68 65 20 66 75 |ppear..i|n the fu|
|00000f30| 6e 63 74 69 6f 6e 2c 20 | 61 73 73 75 6d 69 6e 67 |nction, |assuming|
|00000f40| 20 74 68 61 74 20 74 68 | 65 20 76 61 72 69 61 62 | that th|e variab|
|00000f50| 6c 65 73 20 61 72 65 20 | 6f 72 64 65 72 65 64 20 |les are |ordered |
|00000f60| 6c 65 78 69 63 6f 67 72 | 61 70 68 69 63 61 6c 6c |lexicogr|aphicall|
|00000f70| 79 2e 0d 0a 46 6f 72 20 | 74 68 69 73 20 72 65 61 |y...For |this rea|
|00000f80| 73 6f 6e 2c 20 79 6f 75 | 20 6d 61 79 20 68 61 76 |son, you| may hav|
|00000f90| 65 20 74 6f 20 65 64 69 | 74 20 74 68 65 20 72 65 |e to edi|t the re|
|00000fa0| 73 75 6c 74 20 69 66 20 | 79 6f 75 20 61 72 65 20 |sult if |you are |
|00000fb0| 72 65 70 72 65 73 65 6e | 74 69 6e 67 0d 0a 61 72 |represen|ting..ar|
|00000fc0| 62 69 74 72 61 72 79 20 | 63 6f 6e 73 74 61 6e 74 |bitrary |constant|
|00000fd0| 73 20 77 69 74 68 20 6c | 65 74 74 65 72 73 2e 20 |s with l|etters. |
|00000fe0| 49 6e 20 74 68 65 20 66 | 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 |In the f|ollowing|
|00000ff0| 20 65 78 61 6d 70 6c 65 | 2c 20 69 66 20 24 63 24 | example|, if $c$|
|00001000| 20 69 73 20 61 0d 0a 63 | 6f 6e 73 74 61 6e 74 20 | is a..c|onstant |
|00001010| 70 61 72 61 6d 65 74 65 | 72 2c 20 74 61 6b 65 20 |paramete|r, take |
|00001020| 74 68 65 20 61 6e 73 77 | 65 72 0d 0a 0d 0a 5c 62 |the answ|er....\b|
|00001030| 65 67 69 6e 7b 71 75 6f | 74 65 7d 0d 0a 24 5c 62 |egin{quo|te}..$\b|
|00001040| 6c 61 63 6b 74 72 69 61 | 6e 67 6c 65 72 69 67 68 |lacktria|nglerigh|
|00001050| 74 20 24 20 5c 74 65 78 | 74 73 66 7b 45 76 61 6c |t $ \tex|tsf{Eval|
|00001060| 75 61 74 65 7d 0d 0a 5c | 65 6e 64 7b 71 75 6f 74 |uate}..\|end{quot|
|00001070| 65 7d 0d 0a 0d 0a 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 71 75 6f |e}....\b|egin{quo|
|00001080| 74 61 74 69 6f 6e 7d 0d | 0a 24 5c 6e 61 62 6c 61 |tation}.|.$\nabla|
|00001090| 20 5c 6c 65 66 74 28 20 | 63 75 76 2b 76 5e 7b 32 | \left( |cuv+v^{2|
|000010a0| 7d 77 5c 72 69 67 68 74 | 29 20 3d 5c 6c 65 66 74 |}w\right|) =\left|
|000010b0| 28 20 75 76 2c 63 76 2c | 63 75 2b 32 76 77 2c 76 |( uv,cv,|cu+2vw,v|
|000010c0| 5e 7b 32 7d 5c 72 69 67 | 68 74 29 20 24 0d 0a 5c |^{2}\rig|ht) $..\|
|000010d0| 65 6e 64 7b 71 75 6f 74 | 61 74 69 6f 6e 7d 0d 0a |end{quot|ation}..|
|000010e0| 0d 0a 24 5c 73 74 72 75 | 74 20 24 0d 0a 0d 0a 61 |..$\stru|t $....a|
|000010f0| 6e 64 20 64 65 6c 65 74 | 65 20 74 68 65 20 66 69 |nd delet|e the fi|
|00001100| 72 73 74 20 65 6e 74 72 | 79 20 74 6f 20 67 65 74 |rst entr|y to get|
|00001110| 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 67 | 69 6e 7b 71 75 6f 74 61 |....\beg|in{quota|
|00001120| 74 69 6f 6e 7d 0d 0a 24 | 5c 6e 61 62 6c 61 20 5c |tion}..$|\nabla \|
|00001130| 6c 65 66 74 28 20 63 75 | 76 2b 76 5e 7b 32 7d 77 |left( cu|v+v^{2}w|
|00001140| 5c 72 69 67 68 74 29 20 | 3d 5c 6c 65 66 74 28 20 |\right) |=\left( |
|00001150| 63 76 2c 63 75 2b 32 76 | 77 2c 76 5e 7b 32 7d 5c |cv,cu+2v|w,v^{2}\|
|00001160| 72 69 67 68 74 29 20 5c | 2c 24 0d 0a 5c 65 6e 64 |right) \|,$..\end|
|00001170| 7b 71 75 6f 74 61 74 69 | 6f 6e 7d 0d 0a 0d 0a 24 |{quotati|on}....$|
|00001180| 5c 73 74 72 75 74 20 24 | 0d 0a 0d 0a 49 6e 20 74 |\strut $|....In t|
|00001190| 68 65 20 70 72 65 63 65 | 64 69 6e 67 20 65 78 61 |he prece|ding exa|
|000011a0| 6d 70 6c 65 2c 20 77 65 | 20 72 65 67 61 72 64 65 |mple, we| regarde|
|000011b0| 64 20 61 20 66 75 6e 63 | 74 69 6f 6e 20 6f 66 20 |d a func|tion of |
|000011c0| 66 6f 75 72 20 76 61 72 | 69 61 62 6c 65 73 20 61 |four var|iables a|
|000011d0| 73 20 61 0d 0a 66 75 6e | 63 74 69 6f 6e 20 6f 66 |s a..fun|ction of|
|000011e0| 20 74 68 72 65 65 20 76 | 61 72 69 61 62 6c 65 73 | three v|ariables|
|000011f0| 20 62 79 20 74 72 65 61 | 74 69 6e 67 20 6f 6e 65 | by trea|ting one|
|00001200| 20 6f 66 20 74 68 65 20 | 6c 65 74 74 65 72 73 20 | of the |letters |
|00001210| 61 73 20 61 20 63 6f 6e | 73 74 61 6e 74 0d 0a 70 |as a con|stant..p|
|00001220| 61 72 61 6d 65 74 65 72 | 2e 20 59 6f 75 20 63 61 |arameter|. You ca|
|00001230| 6e 20 61 6c 73 6f 20 72 | 65 67 61 72 64 20 61 20 |n also r|egard a |
|00001240| 66 75 6e 63 74 69 6f 6e | 20 6f 66 20 74 77 6f 20 |function| of two |
|00001250| 76 61 72 69 61 62 6c 65 | 73 20 61 73 20 61 20 66 |variable|s as a f|
|00001260| 75 6e 63 74 69 6f 6e 20 | 6f 66 0d 0a 74 68 72 65 |unction |of..thre|
|00001270| 65 20 76 61 72 69 61 62 | 6c 65 73 2e 20 49 6e 20 |e variab|les. In |
|00001280| 74 68 65 20 66 6f 6c 6c | 6f 77 69 6e 67 20 65 78 |the foll|owing ex|
|00001290| 61 6d 70 6c 65 2c 20 77 | 65 20 72 65 67 61 72 64 |ample, w|e regard|
|000012a0| 20 24 5c 6e 61 62 6c 61 | 20 78 79 24 20 61 73 20 | $\nabla| xy$ as |
|000012b0| 74 68 65 0d 0a 76 61 6c | 75 65 20 6f 66 20 61 20 |the..val|ue of a |
|000012c0| 66 75 6e 63 74 69 6f 6e | 20 6f 66 20 74 68 72 65 |function| of thre|
|000012d0| 65 20 76 61 72 69 61 62 | 6c 65 73 2e 0d 0a 0d 0a |e variab|les.....|
|000012e0| 5c 62 65 67 69 6e 7b 71 | 75 6f 74 65 7d 0d 0a 24 |\begin{q|uote}..$|
|000012f0| 5c 62 6c 61 63 6b 74 72 | 69 61 6e 67 6c 65 72 69 |\blacktr|iangleri|
|00001300| 67 68 74 20 24 20 54 6f | 20 66 69 6e 64 20 74 68 |ght $ To| find th|
|00001310| 65 20 67 72 61 64 69 65 | 6e 74 20 66 6f 72 20 24 |e gradie|nt for $|
|00001320| 66 28 78 2c 79 2c 7a 29 | 3d 5c 6e 61 62 6c 61 20 |f(x,y,z)|=\nabla |
|00001330| 78 79 24 0d 0a 5c 65 6e | 64 7b 71 75 6f 74 65 7d |xy$..\en|d{quote}|
|00001340| 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 67 | 69 6e 7b 65 6e 75 6d 65 |....\beg|in{enume|
|00001350| 72 61 74 65 7d 0d 0a 5c | 69 74 65 6d 5b 31 2e 5d |rate}..\|item[1.]|
|00001360| 20 20 4c 65 61 76 65 20 | 74 68 65 20 69 6e 73 65 |  Leave |the inse|
|00001370| 72 74 69 6f 6e 20 70 6f | 69 6e 74 20 69 6e 20 74 |rtion po|int in t|
|00001380| 68 65 20 65 78 70 72 65 | 73 73 69 6f 6e 20 24 5c |he expre|ssion $\|
|00001390| 6e 61 62 6c 61 20 78 79 | 24 2e 0d 0a 0d 0a 5c 69 |nabla xy|$.....\i|
|000013a0| 74 65 6d 5b 32 2e 5d 20 | 20 41 70 70 6c 79 20 5c |tem[2.] | Apply \|
|000013b0| 74 65 78 74 73 66 7b 45 | 76 61 6c 75 61 74 65 7d |textsf{E|valuate}|
|000013c0| 2e 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 69 74 65 6d |.....\be|gin{item|
|000013d0| 69 7a 65 7d 0d 0a 5c 69 | 74 65 6d 20 20 24 5c 6e |ize}..\i|tem  $\n|
|000013e0| 61 62 6c 61 20 78 79 3d | 5c 6c 65 66 74 28 20 79 |abla xy=|\left( y|
|000013f0| 2c 78 5c 72 69 67 68 74 | 29 20 24 0d 0a 5c 65 6e |,x\right|) $..\en|
|00001400| 64 7b 69 74 65 6d 69 7a | 65 7d 0d 0a 0d 0a 5c 69 |d{itemiz|e}....\i|
|00001410| 74 65 6d 5b 33 2e 5d 20 | 20 50 6c 61 63 65 20 74 |tem[3.] | Place t|
|00001420| 68 65 20 69 6e 73 65 72 | 74 69 6f 6e 20 70 6f 69 |he inser|tion poi|
|00001430| 6e 74 20 61 66 74 65 72 | 20 74 68 65 20 24 78 24 |nt after| the $x$|
|00001440| 20 61 6e 64 20 65 6e 74 | 65 72 20 7a 65 72 6f 20 | and ent|er zero |
|00001450| 61 73 20 74 68 65 0d 0a | 74 68 69 72 64 20 63 6f |as the..|third co|
|00001460| 6f 72 64 69 6e 61 74 65 | 2e 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 |ordinate|.....\be|
|00001470| 67 69 6e 7b 69 74 65 6d | 69 7a 65 7d 0d 0a 5c 69 |gin{item|ize}..\i|
|00001480| 74 65 6d 20 20 24 5c 6e | 61 62 6c 61 20 78 79 3d |tem  $\n|abla xy=|
|00001490| 5c 6c 65 66 74 28 20 79 | 2c 78 2c 30 5c 72 69 67 |\left( y|,x,0\rig|
|000014a0| 68 74 29 20 5c 2c 5c 6d | 65 64 73 6b 69 70 20 24 |ht) \,\m|edskip $|
|000014b0| 0d 0a 5c 65 6e 64 7b 69 | 74 65 6d 69 7a 65 7d 0d |..\end{i|temize}.|
|000014c0| 0a 5c 65 6e 64 7b 65 6e | 75 6d 65 72 61 74 65 7d |.\end{en|umerate}|
|000014d0| 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 67 | 69 6e 7b 71 75 6f 74 61 |....\beg|in{quota|
|000014e0| 74 69 6f 6e 7d 0d 0a 5c | 65 6d 70 68 7b 4e 6f 74 |tion}..\|emph{Not|
|000014f0| 65 5c 71 75 61 64 20 7d | 49 6e 20 70 68 79 73 69 |e\quad }|In physi|
|00001500| 63 73 2c 20 24 66 24 20 | 72 65 70 72 65 73 65 6e |cs, $f$ |represen|
|00001510| 74 73 20 70 6f 74 65 6e | 74 69 61 6c 20 65 6e 65 |ts poten|tial ene|
|00001520| 72 67 79 2c 20 61 6e 64 | 20 24 5c 6e 61 62 6c 61 |rgy, and| $\nabla|
|00001530| 20 66 24 0d 0a 72 65 70 | 72 65 73 65 6e 74 73 20 | f$..rep|resents |
|00001540| 66 6f 72 63 65 2e 0d 0a | 5c 65 6e 64 7b 71 75 6f |force...|\end{quo|
|00001550| 74 61 74 69 6f 6e 7d 0d | 0a 0d 0a 5c 73 74 72 75 |tation}.|...\stru|
|00001560| 74 0d 0a 0d 0a 5c 73 75 | 62 73 65 63 74 69 6f 6e |t....\su|bsection|
|00001570| 7b 5c 20 44 69 76 65 72 | 67 65 6e 63 65 5c 6c 61 |{\ Diver|gence\la|
|00001580| 62 65 6c 7b 44 69 76 65 | 72 67 65 6e 63 65 7d 7d |bel{Dive|rgence}}|
|00001590| 0d 0a 0d 0a 41 20 76 65 | 63 74 6f 72 20 66 69 65 |....A ve|ctor fie|
|000015a0| 6c 64 20 69 73 20 61 20 | 76 65 63 74 6f 72 2d 76 |ld is a |vector-v|
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|000015c0| 49 66 20 24 46 28 78 2c | 79 2c 7a 29 3d 5c 6c 65 |If $F(x,|y,z)=\le|
|000015d0| 66 74 5b 0d 0a 70 28 78 | 2c 79 2c 7a 29 2c 71 28 |ft[..p(x|,y,z),q(|
|000015e0| 78 2c 79 2c 7a 29 2c 72 | 28 78 2c 79 2c 7a 29 5c |x,y,z),r|(x,y,z)\|
|000015f0| 72 69 67 68 74 5d 20 24 | 20 69 73 20 61 20 76 65 |right] $| is a ve|
|00001600| 63 74 6f 72 20 66 69 65 | 6c 64 2c 20 74 68 65 6e |ctor fie|ld, then|
|00001610| 20 74 68 65 20 73 63 61 | 6c 61 72 20 0d 0a 5c 5b | the sca|lar ..\[|
|00001620| 0d 0a 5c 6e 61 62 6c 61 | 20 5c 63 64 6f 74 20 46 |..\nabla| \cdot F|
|00001630| 3d 25 0d 0a 5c 66 72 61 | 63 7b 5c 70 61 72 74 69 |=%..\fra|c{\parti|
|00001640| 61 6c 20 70 7d 7b 5c 70 | 61 72 74 69 61 6c 20 78 |al p}{\p|artial x|
|00001650| 7d 5c 6c 65 66 74 28 20 | 61 2c 62 2c 63 5c 72 69 |}\left( |a,b,c\ri|
|00001660| 67 68 74 29 20 2b 5c 66 | 72 61 63 7b 5c 70 61 72 |ght) +\f|rac{\par|
|00001670| 74 69 61 6c 20 71 7d 7b | 5c 70 61 72 74 69 61 6c |tial q}{|\partial|
|00001680| 0d 0a 79 7d 5c 6c 65 66 | 74 28 20 61 2c 62 2c 63 |..y}\lef|t( a,b,c|
|00001690| 5c 72 69 67 68 74 29 20 | 2b 5c 66 72 61 63 7b 5c |\right) |+\frac{\|
|000016a0| 70 61 72 74 69 61 6c 20 | 72 7d 7b 5c 70 61 72 74 |partial |r}{\part|
|000016b0| 69 61 6c 20 7a 7d 5c 6c | 65 66 74 28 20 61 2c 62 |ial z}\l|eft( a,b|
|000016c0| 2c 63 5c 72 69 67 68 74 | 29 20 0d 0a 5c 5d 0d 0a |,c\right|) ..\]..|
|000016d0| 69 73 20 74 68 65 20 0d | 0a 5c 69 6e 64 65 78 7b |is the .|.\index{|
|000016e0| 44 69 76 65 72 67 65 6e | 63 65 40 44 69 76 65 72 |Divergen|ce@Diver|
|000016f0| 67 65 6e 63 65 7d 5c 74 | 65 78 74 73 6c 7b 64 69 |gence}\t|extsl{di|
|00001700| 76 65 72 67 65 6e 63 65 | 7d 20 6f 66 20 24 46 24 |vergence|} of $F$|
|00001710| 20 61 74 20 74 68 65 20 | 70 6f 69 6e 74 20 24 5c | at the |point $\|
|00001720| 6c 65 66 74 28 0d 0a 61 | 2c 62 2c 63 5c 72 69 67 |left(..a|,b,c\rig|
|00001730| 68 74 29 20 24 2e 20 54 | 68 65 20 64 6f 74 20 70 |ht) $. T|he dot p|
|00001740| 72 6f 64 75 63 74 20 6e | 6f 74 61 74 69 6f 6e 20 |roduct n|otation |
|00001750| 69 73 20 75 73 65 64 20 | 62 65 63 61 75 73 65 20 |is used |because |
|00001760| 74 68 65 20 73 79 6d 62 | 6f 6c 20 24 5c 6e 61 62 |the symb|ol $\nab|
|00001770| 6c 61 20 24 0d 0a 63 61 | 6e 20 62 65 20 74 68 6f |la $..ca|n be tho|
|00001780| 75 67 68 74 20 6f 66 20 | 61 73 20 74 68 65 20 76 |ught of |as the v|
|00001790| 65 63 74 6f 72 20 6f 70 | 65 72 61 74 6f 72 20 24 |ector op|erator $|
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|000017b0| 0a 5c 66 72 61 63 7b 5c | 70 61 72 74 69 61 6c 20 |.\frac{\|partial |
|000017c0| 7d 7b 5c 70 61 72 74 69 | 61 6c 20 78 7d 2c 5c 66 |}{\parti|al x},\f|
|000017d0| 72 61 63 7b 5c 70 61 72 | 74 69 61 6c 20 7d 7b 5c |rac{\par|tial }{\|
|000017e0| 70 61 72 74 69 61 6c 20 | 79 7d 2c 5c 66 72 61 63 |partial |y},\frac|
|000017f0| 7b 5c 70 61 72 74 69 61 | 6c 20 7d 7b 25 0d 0a 5c |{\partia|l }{%..\|
|00001800| 70 61 72 74 69 61 6c 20 | 7a 7d 5c 72 69 67 68 74 |partial |z}\right|
|00001810| 29 20 24 2e 20 54 68 65 | 20 64 65 66 61 75 6c 74 |) $. The| default|
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|00001830| 6c 64 20 76 61 72 69 61 | 62 6c 65 73 20 61 72 65 |ld varia|bles are|
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|00001850| 24 7a 24 2c 20 69 6e 20 | 74 68 61 74 20 6f 72 64 |$z$, in |that ord|
|00001860| 65 72 2e 20 49 66 20 79 | 6f 75 20 77 69 73 68 20 |er. If y|ou wish |
|00001870| 74 6f 20 6c 61 62 65 6c | 20 74 68 65 20 66 69 65 |to label| the fie|
|00001880| 6c 64 20 76 61 72 69 61 | 62 6c 65 73 0d 0a 64 69 |ld varia|bles..di|
|00001890| 66 66 65 72 65 6e 74 6c | 79 2c 20 72 65 73 65 74 |fferentl|y, reset|
|000018a0| 20 74 68 65 20 64 65 66 | 61 75 6c 74 20 77 69 74 | the def|ault wit|
|000018b0| 68 20 5c 74 65 78 74 73 | 66 7b 53 65 74 20 42 61 |h \texts|f{Set Ba|
|000018c0| 73 69 73 20 56 61 72 69 | 61 62 6c 65 73 7d 5c 6c |sis Vari|ables}\l|
|000018d0| 61 62 65 6c 25 0d 0a 7b | 42 61 73 69 73 20 76 61 |abel%..{|Basis va|
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|000018f0| 6e 64 65 78 7b 42 61 73 | 69 73 20 76 61 72 69 61 |ndex{Bas|is varia|
|00001900| 62 6c 65 73 7d 20 74 68 | 65 20 5c 74 65 78 74 73 |bles} th|e \texts|
|00001910| 66 7b 56 65 63 74 6f 72 | 20 43 61 6c 63 75 6c 75 |f{Vector| Calculu|
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|00001930| 6f 72 20 74 68 65 20 66 | 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 |or the f|ollowing|
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|00001970| 6f 20 64 65 66 69 6e 65 | 0d 0a 74 68 65 20 66 6f |o define|..the fo|
|00001980| 6c 6c 6f 77 69 6e 67 20 | 76 65 63 74 6f 72 20 66 |llowing |vector f|
|00001990| 69 65 6c 64 73 2e 20 0d | 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b |ields. .|.\begin{|
|000019a0| 65 71 6e 61 72 72 61 79 | 2a 7d 0d 0a 46 20 26 3d |eqnarray|*}..F &=|
|000019b0| 26 5b 79 7a 2c 32 78 7a | 2c 78 79 5d 25 0d 0a 5c |&[yz,2xz|,xy]%..\|
|000019c0| 74 65 78 74 7b 5c 71 71 | 75 61 64 20 5c 71 71 75 |text{\qq|uad \qqu|
|000019d0| 61 64 20 5c 20 7d 47 3d | 28 78 7a 2c 32 79 7a 2c |ad \ }G=|(xz,2yz,|
|000019e0| 7a 5e 7b 32 7d 29 5c 71 | 71 75 61 64 20 5c 5c 0d |z^{2})\q|quad \\.|
|000019f0| 0a 48 20 26 3d 26 5c 2c | 5c 6c 65 66 74 5b 20 0d |.H &=&\,|\left[ .|
|00001a00| 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b | 61 72 72 61 79 7d 7b 63 |.\begin{|array}{c|
|00001a10| 63 63 7d 0d 0a 79 7a 20 | 26 20 32 78 7a 20 26 20 |cc}..yz |& 2xz & |
|00001a20| 78 79 0d 0a 5c 65 6e 64 | 7b 61 72 72 61 79 7d 0d |xy..\end|{array}.|
|00001a30| 0a 5c 72 69 67 68 74 5d | 20 5c 74 65 78 74 7b 5c |.\right]| \text{\|
|00001a40| 71 71 75 61 64 20 7d 4a | 3d 5c 6c 65 66 74 28 20 |qquad }J|=\left( |
|00001a50| 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e | 7b 61 72 72 61 79 7d 7b |..\begin|{array}{|
|00001a60| 63 7d 0d 0a 78 5e 7b 32 | 7d 20 5c 5c 20 0d 0a 78 |c}..x^{2|} \\ ..x|
|00001a70| 79 20 5c 5c 20 0d 0a 32 | 78 7a 0d 0a 5c 65 6e 64 |y \\ ..2|xz..\end|
|00001a80| 7b 61 72 72 61 79 7d 0d | 0a 5c 72 69 67 68 74 29 |{array}.|.\right)|
|00001a90| 0d 0a 5c 65 6e 64 7b 65 | 71 6e 61 72 72 61 79 2a |..\end{e|qnarray*|
|00001aa0| 7d 0d 0a 77 68 65 72 65 | 20 24 46 24 20 61 6e 64 |}..where| $F$ and|
|00001ab0| 20 24 47 24 20 61 72 65 | 20 72 65 70 72 65 73 65 | $G$ are| represe|
|00001ac0| 6e 74 65 64 20 61 73 20 | 24 33 24 2d 74 75 70 6c |nted as |$3$-tupl|
|00001ad0| 65 73 2c 20 24 48 24 20 | 69 73 20 72 65 70 72 65 |es, $H$ |is repre|
|00001ae0| 73 65 6e 74 65 64 20 61 | 73 20 61 20 24 25 0d 0a |sented a|s a $%..|
|00001af0| 31 5c 74 69 6d 65 73 20 | 33 24 20 6d 61 74 72 69 |1\times |3$ matri|
|00001b00| 78 2c 20 61 6e 64 20 24 | 4a 24 20 61 73 20 61 20 |x, and $|J$ as a |
|00001b10| 24 33 5c 74 69 6d 65 73 | 20 31 24 20 6d 61 74 72 |$3\times| 1$ matr|
|00001b20| 69 78 2e 20 43 6f 6d 70 | 75 74 65 20 64 69 76 65 |ix. Comp|ute dive|
|00001b30| 72 67 65 6e 63 65 20 77 | 69 74 68 20 0d 0a 5c 74 |rgence w|ith ..\t|
|00001b40| 65 78 74 73 66 7b 45 76 | 61 6c 75 61 74 65 7d 2e |extsf{Ev|aluate}.|
|00001b50| 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 67 | 69 6e 7b 71 75 6f 74 65 |....\beg|in{quote|
|00001b60| 7d 0d 0a 24 5c 62 6c 61 | 63 6b 74 72 69 61 6e 67 |}..$\bla|cktriang|
|00001b70| 6c 65 72 69 67 68 74 20 | 24 20 5c 74 65 78 74 73 |leright |$ \texts|
|00001b80| 66 7b 45 76 61 6c 75 61 | 74 65 7d 0d 0a 5c 65 6e |f{Evalua|te}..\en|
|00001b90| 64 7b 71 75 6f 74 65 7d | 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 67 |d{quote}|....\beg|
|00001ba0| 69 6e 7b 71 75 6f 74 61 | 74 69 6f 6e 7d 0d 0a 24 |in{quota|tion}..$|
|00001bb0| 5c 6e 61 62 6c 61 20 5c | 63 64 6f 74 20 46 3d 5c |\nabla \|cdot F=\|
|00001bc0| 2c 30 24 0d 0a 0d 0a 24 | 5c 6e 61 62 6c 61 20 5c |,0$....$|\nabla \|
|00001bd0| 63 64 6f 74 20 47 3d 5c | 2c 35 7a 24 0d 0a 0d 0a |cdot G=\|,5z$....|
|00001be0| 24 5c 6e 61 62 6c 61 20 | 5c 63 64 6f 74 20 28 78 |$\nabla |\cdot (x|
|00001bf0| 7a 2c 32 79 7a 2c 7a 5e | 7b 32 7d 29 3d 5c 2c 35 |z,2yz,z^|{2})=\,5|
|00001c00| 7a 24 0d 0a 0d 0a 24 5c | 6e 61 62 6c 61 20 5c 63 |z$....$\|nabla \c|
|00001c10| 64 6f 74 20 28 78 79 2c | 78 2c 30 29 3d 5c 2c 79 |dot (xy,|x,0)=\,y|
|00001c20| 24 0d 0a 0d 0a 24 5c 6e | 61 62 6c 61 20 5c 63 64 |$....$\n|abla \cd|
|00001c30| 6f 74 20 48 3d 30 24 0d | 0a 0d 0a 24 5c 6e 61 62 |ot H=0$.|...$\nab|
|00001c40| 6c 61 20 5c 63 64 6f 74 | 20 4a 3d 35 78 24 0d 0a |la \cdot| J=5x$..|
|00001c50| 0d 0a 24 5c 6e 61 62 6c | 61 20 5c 63 64 6f 74 20 |..$\nabl|a \cdot |
|00001c60| 5c 6c 65 66 74 28 20 61 | 2c 62 2c 63 5c 72 69 67 |\left( a|,b,c\rig|
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|00001c80| 6c 61 20 5c 63 64 6f 74 | 20 5c 6c 65 66 74 5b 20 |la \cdot| \left[ |
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|000023c0| 20 78 7d 2c 5c 66 72 61 | 63 7b 5c 70 61 72 74 69 | x},\fra|c{\parti|
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|00002420| 72 61 63 7b 5c 70 61 72 | 74 69 61 6c 20 5e 7b 32 |rac{\par|tial ^{2|
|00002430| 7d 66 7d 7b 5c 70 61 72 | 74 69 61 6c 20 78 5e 7b |}f}{\par|tial x^{|
|00002440| 32 7d 7d 2b 5c 66 72 61 | 63 7b 5c 70 61 72 74 69 |2}}+\fra|c{\parti|
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|00002470| 61 63 7b 5c 70 61 72 74 | 69 61 6c 20 5e 7b 32 7d |ac{\part|ial ^{2}|
|00002480| 66 7d 7b 5c 70 61 72 74 | 69 61 6c 20 7a 5e 7b 32 |f}{\part|ial z^{2|
|00002490| 7d 7d 0d 0a 5c 65 6e 64 | 7b 65 71 6e 61 72 72 61 |}}..\end|{eqnarra|
|000024a0| 79 2a 7d 0d 0a 54 68 65 | 20 64 65 66 61 75 6c 74 |y*}..The| default|
|000024b0| 20 69 73 20 74 68 61 74 | 20 74 68 65 20 66 69 65 | is that| the fie|
|000024c0| 6c 64 20 76 61 72 69 61 | 62 6c 65 73 20 61 72 65 |ld varia|bles are|
|000024d0| 20 24 78 24 2c 20 24 79 | 24 2c 20 61 6e 64 20 24 | $x$, $y|$, and $|
|000024e0| 7a 24 2c 20 69 6e 20 74 | 68 61 74 0d 0a 6f 72 64 |z$, in t|hat..ord|
|000024f0| 65 72 2e 20 49 66 20 79 | 6f 75 20 77 69 73 68 20 |er. If y|ou wish |
|00002500| 74 6f 20 6c 61 62 65 6c | 20 74 68 65 20 66 69 65 |to label| the fie|
|00002510| 6c 64 20 76 61 72 69 61 | 62 6c 65 73 20 64 69 66 |ld varia|bles dif|
|00002520| 66 65 72 65 6e 74 6c 79 | 2c 20 72 65 73 65 74 20 |ferently|, reset |
|00002530| 74 68 65 0d 0a 64 65 66 | 61 75 6c 74 20 77 69 74 |the..def|ault wit|
|00002540| 68 20 5c 74 65 78 74 73 | 66 7b 53 65 74 20 42 61 |h \texts|f{Set Ba|
|00002550| 73 69 73 20 56 61 72 69 | 61 62 6c 65 73 7d 20 6f |sis Vari|ables} o|
|00002560| 6e 20 74 68 65 20 5c 74 | 65 78 74 73 66 7b 56 65 |n the \t|extsf{Ve|
|00002570| 63 74 6f 72 20 43 61 6c | 63 75 6c 75 73 7d 0d 0a |ctor Cal|culus}..|
|00002580| 73 75 62 6d 65 6e 75 2e | 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 67 |submenu.|....\beg|
|00002590| 69 6e 7b 71 75 6f 74 65 | 7d 0d 0a 24 5c 62 6c 61 |in{quote|}..$\bla|
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|000025b0| 24 20 5c 74 65 78 74 73 | 66 7b 45 76 61 6c 75 61 |$ \texts|f{Evalua|
|000025c0| 74 65 7d 0d 0a 5c 65 6e | 64 7b 71 75 6f 74 65 7d |te}..\en|d{quote}|
|000025d0| 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 67 | 69 6e 7b 71 75 6f 74 61 |....\beg|in{quota|
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|00002610| 3d 32 2b 31 32 7a 24 0d | 0a 0d 0a 24 5c 6e 61 62 |=2+12z$.|...$\nab|
|00002620| 6c 61 20 5c 6c 65 66 74 | 28 20 78 2b 79 5e 7b 32 |la \left|( x+y^{2|
|00002630| 7d 2b 32 7a 5e 7b 33 7d | 5c 72 69 67 68 74 29 20 |}+2z^{3}|\right) |
|00002640| 3d 5c 6c 65 66 74 28 20 | 31 2c 32 79 2c 36 7a 5e |=\left( |1,2y,6z^|
|00002650| 7b 32 7d 5c 72 69 67 68 | 74 29 20 24 0d 0a 0d 0a |{2}\righ|t) $....|
|00002660| 24 5c 6e 61 62 6c 61 20 | 5c 63 64 6f 74 20 5c 6e |$\nabla |\cdot \n|
|00002670| 61 62 6c 61 20 5c 6c 65 | 66 74 28 20 78 2b 79 5e |abla \le|ft( x+y^|
|00002680| 7b 32 7d 2b 32 7a 5e 7b | 33 7d 5c 72 69 67 68 74 |{2}+2z^{|3}\right|
|00002690| 29 20 3d 32 2b 31 32 7a | 24 0d 0a 5c 65 6e 64 7b |) =2+12z|$..\end{|
|000026a0| 71 75 6f 74 61 74 69 6f | 6e 7d 0d 0a 0d 0a 24 5c |quotatio|n}....$\|
|000026b0| 73 74 72 75 74 20 24 0d | 0a 0d 0a 5c 73 75 62 73 |strut $.|...\subs|
|000026c0| 65 63 74 69 6f 6e 7b 5c | 20 44 69 72 65 63 74 69 |ection{\| Directi|
|000026d0| 6f 6e 61 6c 20 44 65 72 | 69 76 61 74 69 76 65 73 |onal Der|ivatives|
|000026e0| 5c 6c 61 62 65 6c 7b 44 | 69 72 65 63 74 69 6f 6e |\label{D|irection|
|000026f0| 61 6c 20 64 65 72 69 76 | 61 74 69 76 65 7d 7d 0d |al deriv|ative}}.|
|00002700| 0a 0d 0a 54 68 65 20 0d | 0a 5c 69 6e 64 65 78 7b |...The .|.\index{|
|00002710| 44 69 72 65 63 74 69 6f | 6e 61 6c 20 64 65 72 69 |Directio|nal deri|
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|00002740| 65 78 74 73 6c 7b 64 69 | 72 65 63 74 69 6f 6e 61 |extsl{di|rectiona|
|00002750| 6c 0d 0a 64 65 72 69 76 | 61 74 69 76 65 7d 20 6f |l..deriv|ative} o|
|00002760| 66 20 61 20 66 75 6e 63 | 74 69 6f 6e 20 24 66 24 |f a func|tion $f$|
|00002770| 20 61 74 20 74 68 65 20 | 70 6f 69 6e 74 20 24 5c | at the |point $\|
|00002780| 6c 65 66 74 28 20 61 2c | 62 2c 63 5c 72 69 67 68 |left( a,|b,c\righ|
|00002790| 74 29 20 24 20 69 6e 20 | 74 68 65 0d 0a 64 69 72 |t) $ in |the..dir|
|000027a0| 65 63 74 69 6f 6e 20 24 | 5c 6d 61 74 68 62 66 7b |ection $|\mathbf{|
|000027b0| 75 7d 3d 5c 6c 65 66 74 | 28 20 75 5f 7b 31 7d 2c |u}=\left|( u_{1},|
|000027c0| 75 5f 7b 32 7d 2c 75 5f | 7b 33 7d 5c 72 69 67 68 |u_{2},u_|{3}\righ|
|000027d0| 74 29 20 24 20 69 73 20 | 67 69 76 65 6e 20 62 79 |t) $ is |given by|
|000027e0| 20 74 68 65 0d 0a 69 6e | 6e 65 72 20 70 72 6f 64 | the..in|ner prod|
|000027f0| 75 63 74 20 6f 66 20 24 | 5c 6e 61 62 6c 61 20 66 |uct of $|\nabla f|
|00002800| 24 20 61 6e 64 20 24 5c | 6d 61 74 68 62 66 7b 75 |$ and $\|mathbf{u|
|00002810| 7d 24 20 61 74 20 74 68 | 65 20 70 6f 69 6e 74 20 |}$ at th|e point |
|00002820| 24 5c 6c 65 66 74 28 0d | 0a 61 2c 62 2c 63 5c 72 |$\left(.|.a,b,c\r|
|00002830| 69 67 68 74 29 20 24 2e | 20 54 68 61 74 20 69 73 |ight) $.| That is|
|00002840| 2c 20 66 6f 72 20 61 20 | 76 65 63 74 6f 72 20 24 |, for a |vector $|
|00002850| 5c 6d 61 74 68 62 66 7b | 75 7d 24 20 6f 66 20 75 |\mathbf{|u}$ of u|
|00002860| 6e 69 74 20 6c 65 6e 67 | 74 68 20 61 6e 64 20 61 |nit leng|th and a|
|00002870| 0d 0a 73 63 61 6c 61 72 | 20 66 75 6e 63 74 69 6f |..scalar| functio|
|00002880| 6e 20 24 66 24 2c 20 0d | 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b |n $f$, .|.\begin{|
|00002890| 65 71 6e 61 72 72 61 79 | 2a 7d 0d 0a 44 5f 7b 5c |eqnarray|*}..D_{\|
|000028a0| 6d 61 74 68 62 66 7b 75 | 7d 7d 66 5c 6c 65 66 74 |mathbf{u|}}f\left|
|000028b0| 28 20 61 2c 62 2c 63 5c | 72 69 67 68 74 29 20 26 |( a,b,c\|right) &|
|000028c0| 3d 26 5c 6e 61 62 6c 61 | 20 66 5c 6c 65 66 74 28 |=&\nabla| f\left(|
|000028d0| 20 61 2c 62 2c 63 5c 72 | 69 67 68 74 29 20 5c 63 | a,b,c\r|ight) \c|
|000028e0| 64 6f 74 20 0d 0a 5c 6d | 61 74 68 62 66 7b 75 7d |dot ..\m|athbf{u}|
|000028f0| 20 5c 5c 0d 0a 26 3d 26 | 25 0d 0a 5c 66 72 61 63 | \\..&=&|%..\frac|
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|00002930| 7d 2b 5c 66 72 61 63 7b | 5c 70 61 72 74 69 61 6c |}+\frac{|\partial|
|00002940| 20 66 7d 7b 25 0d 0a 5c | 70 61 72 74 69 61 6c 20 | f}{%..\|partial |
|00002950| 79 7d 5c 6c 65 66 74 28 | 20 61 2c 62 2c 63 5c 72 |y}\left(| a,b,c\r|
|00002960| 69 67 68 74 29 20 75 5f | 7b 32 7d 2b 5c 66 72 61 |ight) u_|{2}+\fra|
|00002970| 63 7b 5c 70 61 72 74 69 | 61 6c 20 66 7d 7b 5c 70 |c{\parti|al f}{\p|
|00002980| 61 72 74 69 61 6c 20 7a | 7d 5c 6c 65 66 74 28 0d |artial z|}\left(.|
|00002990| 0a 61 2c 62 2c 63 5c 72 | 69 67 68 74 29 20 75 5f |.a,b,c\r|ight) u_|
|000029a0| 7b 33 7d 0d 0a 5c 65 6e | 64 7b 65 71 6e 61 72 72 |{3}..\en|d{eqnarr|
|000029b0| 61 79 2a 7d 0d 0a 5c 6d | 65 64 73 6b 69 70 0d 0a |ay*}..\m|edskip..|
|000029c0| 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e | 7b 71 75 6f 74 65 7d 0d |..\begin|{quote}.|
|000029d0| 0a 24 5c 62 6c 61 63 6b | 74 72 69 61 6e 67 6c 65 |.$\black|triangle|
|000029e0| 72 69 67 68 74 20 24 20 | 54 6f 20 63 6f 6d 70 75 |right $ |To compu|
|000029f0| 74 65 20 74 68 65 20 64 | 69 72 65 63 74 69 6f 6e |te the d|irection|
|00002a00| 61 6c 20 64 65 72 69 76 | 61 74 69 76 65 20 6f 66 |al deriv|ative of|
|00002a10| 20 24 25 0d 0a 66 28 78 | 2c 79 2c 7a 29 3d 78 79 | $%..f(x|,y,z)=xy|
|00002a20| 7a 20 24 20 69 6e 20 74 | 68 65 20 64 69 72 65 63 |z $ in t|he direc|
|00002a30| 74 69 6f 6e 20 0d 0a 5c | 5b 0d 0a 5c 6d 61 74 68 |tion ..\|[..\math|
|00002a40| 62 66 7b 75 7d 3d 5c 6c | 65 66 74 28 20 5c 63 6f |bf{u}=\l|eft( \co|
|00002a50| 73 20 5c 66 72 61 63 7b | 5c 70 69 20 7d 7b 38 7d |s \frac{|\pi }{8}|
|00002a60| 5c 73 69 6e 20 5c 66 72 | 61 63 7b 5c 70 69 20 7d |\sin \fr|ac{\pi }|
|00002a70| 7b 39 7d 2c 5c 73 69 6e | 20 5c 66 72 61 63 7b 5c |{9},\sin| \frac{\|
|00002a80| 70 69 20 7d 7b 38 7d 25 | 0d 0a 5c 73 69 6e 20 5c |pi }{8}%|..\sin \|
|00002a90| 66 72 61 63 7b 5c 70 69 | 20 7d 7b 39 7d 2c 5c 63 |frac{\pi| }{9},\c|
|00002aa0| 6f 73 20 5c 66 72 61 63 | 7b 5c 70 69 20 7d 7b 39 |os \frac|{\pi }{9|
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