/ Class of 2001 / ClassOf2001.iso / Scinotebook / scinoteb / help / dm9-1.tex

< prev

next >

MacOS 8.1

Win98

DOS

browse contents

view JSON data

view as text

+--------+-------------------------+-------------------------+--------+--------+
|00000000| 25 25 20 54 68 69 73 20 | 64 6f 63 75 6d 65 6e 74 |%% This |document|
|00000010| 20 63 72 65 61 74 65 64 | 20 62 79 20 53 63 69 65 | created| by Scie|
|00000020| 6e 74 69 66 69 63 20 4e | 6f 74 65 62 6f 6f 6b 20 |ntific N|otebook |
|00000030| 28 52 29 20 56 65 72 73 | 69 6f 6e 20 33 2e 30 0d |(R) Vers|ion 3.0.|
|00000040| 0a 0d 0a 0d 0a 5c 64 6f | 63 75 6d 65 6e 74 63 6c |.....\do|cumentcl|
|00000050| 61 73 73 5b 31 32 70 74 | 2c 74 68 6d 73 61 5d 7b |ass[12pt|,thmsa]{|
|00000060| 61 72 74 69 63 6c 65 7d | 0d 0a 5c 75 73 65 70 61 |article}|..\usepa|
|00000070| 63 6b 61 67 65 7b 61 6d | 73 73 79 6d 62 7d 0d 0a |ckage{am|ssymb}..|
|00000080| 0d 0a 25 25 25 25 25 25 | 25 25 25 25 25 25 25 25 |..%%%%%%|%%%%%%%%|
|00000090| 25 25 25 25 25 25 25 25 | 25 25 25 25 25 25 25 25 |%%%%%%%%|%%%%%%%%|
|000000a0| 25 25 25 25 25 25 25 25 | 25 25 25 25 25 25 25 25 |%%%%%%%%|%%%%%%%%|
|000000b0| 25 25 25 25 25 25 25 25 | 25 25 25 25 25 25 25 25 |%%%%%%%%|%%%%%%%%|
|000000c0| 25 25 25 25 25 25 25 25 | 25 25 25 25 25 25 25 25 |%%%%%%%%|%%%%%%%%|
|000000d0| 25 25 25 25 25 25 25 25 | 25 25 25 25 25 25 25 25 |%%%%%%%%|%%%%%%%%|
|000000e0| 25 25 25 25 25 25 0d 0a | 5c 75 73 65 70 61 63 6b |%%%%%%..|\usepack|
|000000f0| 61 67 65 7b 6d 61 6b 65 | 69 64 78 7d 0d 0a 5c 75 |age{make|idx}..\u|
|00000100| 73 65 70 61 63 6b 61 67 | 65 7b 73 77 32 30 6a 61 |sepackag|e{sw20ja|
|00000110| 72 74 7d 0d 0a 0d 0a 25 | 54 43 49 44 41 54 41 7b |rt}....%|TCIDATA{|
|00000120| 54 43 49 73 74 79 6c 65 | 3d 61 72 74 69 63 6c 65 |TCIstyle|=article|
|00000130| 2f 61 72 74 34 2e 6c 61 | 74 2c 6a 61 72 74 2c 73 |/art4.la|t,jart,s|
|00000140| 77 32 30 6a 61 72 74 7d | 0d 0a 0d 0a 25 54 43 49 |w20jart}|....%TCI|
|00000150| 44 41 54 41 7b 3c 4d 45 | 54 41 20 4e 41 4d 45 3d |DATA{<ME|TA NAME=|
|00000160| 22 56 69 65 77 53 65 74 | 74 69 6e 67 73 22 20 43 |"ViewSet|tings" C|
|00000170| 4f 4e 54 45 4e 54 3d 22 | 33 31 22 3e 7d 0d 0a 25 |ONTENT="|31">}..%|
|00000180| 54 43 49 44 41 54 41 7b | 3c 4d 45 54 41 20 4e 41 |TCIDATA{|<META NA|
|00000190| 4d 45 3d 22 47 72 61 70 | 68 69 63 73 53 61 76 65 |ME="Grap|hicsSave|
|000001a0| 22 20 43 4f 4e 54 45 4e | 54 3d 22 33 32 22 3e 7d |" CONTEN|T="32">}|
|000001b0| 0d 0a 25 54 43 49 44 41 | 54 41 7b 3c 4d 45 54 41 |..%TCIDA|TA{<META|
|000001c0| 20 4e 41 4d 45 3d 22 54 | 69 74 6c 65 22 20 43 4f | NAME="T|itle" CO|
|000001d0| 4e 54 45 4e 54 3d 22 56 | 65 63 74 6f 72 20 43 61 |NTENT="V|ector Ca|
|000001e0| 6c 63 75 6c 75 73 22 3e | 7d 0d 0a 25 54 43 49 44 |lculus">|}..%TCID|
|000001f0| 41 54 41 7b 43 72 65 61 | 74 65 64 3d 4d 6f 6e 20 |ATA{Crea|ted=Mon |
|00000200| 41 75 67 20 31 39 20 31 | 34 3a 35 32 3a 32 34 20 |Aug 19 1|4:52:24 |
|00000210| 31 39 39 36 7d 0d 0a 25 | 54 43 49 44 41 54 41 7b |1996}..%|TCIDATA{|
|00000220| 4c 61 73 74 52 65 76 69 | 73 65 64 3d 54 68 75 20 |LastRevi|sed=Thu |
|00000230| 46 65 62 20 31 33 20 31 | 37 3a 31 31 3a 31 36 20 |Feb 13 1|7:11:16 |
|00000240| 31 39 39 37 7d 0d 0a 25 | 54 43 49 44 41 54 41 7b |1997}..%|TCIDATA{|
|00000250| 4c 61 6e 67 75 61 67 65 | 3d 41 6d 65 72 69 63 61 |Language|=America|
|00000260| 6e 20 45 6e 67 6c 69 73 | 68 7d 0d 0a 25 54 43 49 |n Englis|h}..%TCI|
|00000270| 44 41 54 41 7b 43 53 54 | 46 69 6c 65 3d 4d 61 74 |DATA{CST|File=Mat|
|00000280| 68 48 65 6c 70 2e 63 73 | 74 7d 0d 0a 25 54 43 49 |hHelp.cs|t}..%TCI|
|00000290| 44 41 54 41 7b 3c 4c 49 | 4e 4b 20 52 45 4c 3d 22 |DATA{<LI|NK REL="|
|000002a0| 62 65 67 69 6e 22 20 48 | 52 45 46 3d 22 44 4d 39 |begin" H|REF="DM9|
|000002b0| 2d 31 2e 74 65 78 22 3e | 7d 0d 0a 25 54 43 49 44 |-1.tex">|}..%TCID|
|000002c0| 41 54 41 7b 3c 4c 49 4e | 4b 20 52 45 4c 3d 22 63 |ATA{<LIN|K REL="c|
|000002d0| 6f 6e 74 65 6e 74 73 22 | 20 48 52 45 46 3d 22 44 |ontents"| HREF="D|
|000002e0| 4d 30 2d 30 2e 74 65 78 | 22 3e 7d 0d 0a 25 54 43 |M0-0.tex|">}..%TC|
|000002f0| 49 44 41 54 41 7b 3c 4c | 49 4e 4b 20 52 45 4c 3d |IDATA{<L|INK REL=|
|00000300| 22 65 6e 64 22 20 48 52 | 45 46 3d 22 44 4d 39 2d |"end" HR|EF="DM9-|
|00000310| 37 2e 74 65 78 22 3e 7d | 0d 0a 25 54 43 49 44 41 |7.tex">}|..%TCIDA|
|00000320| 54 41 7b 3c 4c 49 4e 4b | 20 52 45 4c 3d 22 69 6e |TA{<LINK| REL="in|
|00000330| 64 65 78 22 20 48 52 45 | 46 3d 22 44 4d 49 6e 64 |dex" HRE|F="DMInd|
|00000340| 65 78 2e 74 65 78 22 3e | 7d 0d 0a 25 54 43 49 44 |ex.tex">|}..%TCID|
|00000350| 41 54 41 7b 3c 4c 49 4e | 4b 20 52 45 4c 3d 22 6e |ATA{<LIN|K REL="n|
|00000360| 65 78 74 22 20 48 52 45 | 46 3d 22 44 4d 39 2d 32 |ext" HRE|F="DM9-2|
|00000370| 2e 74 65 78 22 3e 7d 0d | 0a 25 54 43 49 44 41 54 |.tex">}.|.%TCIDAT|
|00000380| 41 7b 3c 4c 49 4e 4b 20 | 52 45 4c 3d 22 70 61 72 |A{<LINK |REL="par|
|00000390| 65 6e 74 22 20 48 52 45 | 46 3d 22 44 4d 39 2e 74 |ent" HRE|F="DM9.t|
|000003a0| 65 78 22 3e 7d 0d 0a 25 | 54 43 49 44 41 54 41 7b |ex">}..%|TCIDATA{|
|000003b0| 3c 4c 49 4e 4b 20 52 45 | 4c 3d 22 70 72 65 76 69 |<LINK RE|L="previ|
|000003c0| 6f 75 73 22 20 48 52 45 | 46 3d 22 44 4d 38 2d 39 |ous" HRE|F="DM8-9|
|000003d0| 2e 74 65 78 22 3e 7d 0d | 0a 25 54 43 49 44 41 54 |.tex">}.|.%TCIDAT|
|000003e0| 41 7b 3c 4c 49 4e 4b 20 | 52 45 4c 3d 22 74 6f 70 |A{<LINK |REL="top|
|000003f0| 22 20 48 52 45 46 3d 22 | 44 4d 30 2d 30 2e 74 65 |" HREF="|DM0-0.te|
|00000400| 78 22 3e 7d 0d 0a 0d 0a | 5c 69 6e 70 75 74 7b 74 |x">}....|\input{t|
|00000410| 63 69 6c 61 74 65 78 7d | 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e |cilatex}|..\begin|
|00000420| 7b 64 6f 63 75 6d 65 6e | 74 7d 0d 0a 0d 0a 0d 0a |{documen|t}......|
|00000430| 5c 73 65 63 74 69 6f 6e | 7b 56 65 63 74 6f 72 20 |\section|{Vector |
|00000440| 43 61 6c 63 75 6c 75 73 | 5c 6c 61 62 65 6c 7b 56 |Calculus|\label{V|
|00000450| 65 63 74 6f 72 73 7d 7d | 0d 0a 0d 0a 49 6e 20 74 |ectors}}|....In t|
|00000460| 68 69 73 20 63 68 61 70 | 74 65 72 2c 20 77 65 20 |his chap|ter, we |
|00000470| 69 6e 74 72 6f 64 75 63 | 65 20 76 65 63 74 6f 72 |introduc|e vector|
|00000480| 73 20 61 6e 64 20 74 68 | 65 20 75 73 65 20 6f 66 |s and th|e use of|
|00000490| 20 76 65 63 74 6f 72 73 | 20 69 6e 20 63 61 6c 63 | vectors| in calc|
|000004a0| 75 6c 75 73 2e 0d 0a 0d | 0a 5c 73 75 62 73 65 63 |ulus....|.\subsec|
|000004b0| 74 69 6f 6e 7b 5c 20 4e | 6f 74 61 74 69 6f 6e 20 |tion{\ N|otation |
|000004c0| 66 6f 72 20 56 65 63 74 | 6f 72 73 7d 0d 0a 0d 0a |for Vect|ors}....|
|000004d0| 5c 6c 61 62 65 6c 7b 56 | 65 63 74 6f 72 7d 20 0d |\label{V|ector} .|
|000004e0| 0a 5c 69 6e 64 65 78 7b | 56 65 63 74 6f 72 40 56 |.\index{|Vector@V|
|000004f0| 65 63 74 6f 72 7d 59 6f | 75 20 63 61 6e 20 65 6e |ector}Yo|u can en|
|00000500| 74 65 72 20 76 65 63 74 | 6f 72 73 20 69 6e 20 5c |ter vect|ors in \|
|00000510| 74 65 78 74 73 6c 7b 53 | 63 69 65 6e 74 69 66 69 |textsl{S|cientifi|
|00000520| 63 20 4e 6f 74 65 62 6f | 6f 6b 7d 0d 0a 69 6e 20 |c Notebo|ok}..in |
|00000530| 61 6e 79 20 6f 6e 65 20 | 6f 66 20 74 68 65 20 66 |any one |of the f|
|00000540| 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 | 20 77 61 79 73 2e 0d 0a |ollowing| ways...|
|00000550| 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e | 7b 69 74 65 6d 69 7a 65 |..\begin|{itemize|
|00000560| 7d 0d 0a 5c 69 74 65 6d | 20 20 24 31 24 20 24 5c |}..\item|  $1$ $\|
|00000570| 74 69 6d 65 73 20 24 20 | 24 6e 24 20 6d 61 74 72 |times $ |$n$ matr|
|00000580| 69 63 65 73 3a 20 24 5c | 6c 65 66 74 5b 20 0d 0a |ices: $\|left[ ..|
|00000590| 5c 62 65 67 69 6e 7b 61 | 72 72 61 79 7d 7b 63 63 |\begin{a|rray}{cc|
|000005a0| 63 7d 0d 0a 31 20 26 20 | 32 20 26 20 33 0d 0a 5c |c}..1 & |2 & 3..\|
|000005b0| 65 6e 64 7b 61 72 72 61 | 79 7d 0d 0a 5c 72 69 67 |end{arra|y}..\rig|
|000005c0| 68 74 5d 20 24 2c 20 24 | 5c 6c 65 66 74 5b 20 0d |ht] $, $|\left[ .|
|000005d0| 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b | 61 72 72 61 79 7d 7b 63 |.\begin{|array}{c|
|000005e0| 63 63 63 63 63 7d 0d 0a | 35 20 26 20 2d 31 20 26 |ccccc}..|5 & -1 &|
|000005f0| 20 33 20 26 20 31 37 20 | 26 20 2d 38 20 26 20 32 | 3 & 17 |& -8 & 2|
|00000600| 0d 0a 5c 65 6e 64 7b 61 | 72 72 61 79 7d 0d 0a 5c |..\end{a|rray}..\|
|00000610| 72 69 67 68 74 5d 20 24 | 2c 20 24 5c 6c 65 66 74 |right] $|, $\left|
|00000620| 5b 20 0d 0a 5c 62 65 67 | 69 6e 7b 61 72 72 61 79 |[ ..\beg|in{array|
|00000630| 7d 7b 63 63 63 63 7d 0d | 0a 78 5f 7b 31 7d 20 26 |}{cccc}.|.x_{1} &|
|00000640| 20 78 5f 7b 32 7d 20 26 | 20 78 5f 7b 33 7d 20 26 | x_{2} &| x_{3} &|
|00000650| 20 78 5f 7b 34 7d 0d 0a | 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 | x_{4}..|\end{arr|
|00000660| 61 79 7d 0d 0a 5c 72 69 | 67 68 74 5d 20 24 0d 0a |ay}..\ri|ght] $..|
|00000670| 0d 0a 5c 69 74 65 6d 20 | 20 24 6e 5c 74 69 6d 65 |..\item | $n\time|
|00000680| 73 20 31 24 20 6d 61 74 | 72 69 63 65 73 3a 20 24 |s 1$ mat|rices: $|
|00000690| 5c 6c 65 66 74 5b 20 0d | 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b |\left[ .|.\begin{|
|000006a0| 61 72 72 61 79 7d 7b 72 | 7d 0d 0a 31 20 5c 5c 20 |array}{r|}..1 \\ |
|000006b0| 0d 0a 30 20 5c 5c 20 0d | 0a 2d 31 0d 0a 5c 65 6e |..0 \\ .|.-1..\en|
|000006c0| 64 7b 61 72 72 61 79 7d | 0d 0a 5c 72 69 67 68 74 |d{array}|..\right|
|000006d0| 5d 20 24 2c 20 24 5c 6c | 65 66 74 5b 20 0d 0a 5c |] $, $\l|eft[ ..\|
|000006e0| 62 65 67 69 6e 7b 61 72 | 72 61 79 7d 7b 63 7d 0d |begin{ar|ray}{c}.|
|000006f0| 0a 33 35 20 5c 5c 20 0d | 0a 2d 34 0d 0a 5c 65 6e |.35 \\ .|.-4..\en|
|00000700| 64 7b 61 72 72 61 79 7d | 0d 0a 5c 72 69 67 68 74 |d{array}|..\right|
|00000710| 5d 20 24 2c 20 24 5c 6c | 65 66 74 28 20 0d 0a 5c |] $, $\l|eft( ..\|
|00000720| 62 65 67 69 6e 7b 61 72 | 72 61 79 7d 7b 63 7d 0d |begin{ar|ray}{c}.|
|00000730| 0a 78 5f 7b 31 7d 20 5c | 5c 20 0d 0a 78 5f 7b 32 |.x_{1} \|\ ..x_{2|
|00000740| 7d 0d 0a 5c 65 6e 64 7b | 61 72 72 61 79 7d 0d 0a |}..\end{|array}..|
|00000750| 5c 72 69 67 68 74 29 20 | 24 0d 0a 0d 0a 5c 69 74 |\right) |$....\it|
|00000760| 65 6d 20 20 24 6e 24 2d | 74 75 70 6c 65 73 20 77 |em  $n$-|tuples w|
|00000770| 69 74 68 69 6e 20 70 61 | 72 65 6e 74 68 65 73 65 |ithin pa|renthese|
|00000780| 73 20 6f 72 20 62 72 61 | 63 6b 65 74 73 3a 20 24 |s or bra|ckets: $|
|00000790| 28 32 2c 2d 31 2c 30 29 | 24 2c 20 24 5c 6c 65 66 |(2,-1,0)|$, $\lef|
|000007a0| 74 28 0d 0a 78 5f 7b 31 | 7d 2c 78 5f 7b 32 7d 2c |t(..x_{1|},x_{2},|
|000007b0| 78 5f 7b 33 7d 5c 72 69 | 67 68 74 29 20 24 2c 20 |x_{3}\ri|ght) $, |
|000007c0| 24 5c 6c 62 72 61 63 6b | 20 33 2c 32 2c 31 5c 72 |$\lbrack| 3,2,1\r|
|000007d0| 62 72 61 63 6b 20 24 2c | 20 24 5c 6c 65 66 74 5b |brack $,| $\left[|
|000007e0| 0d 0a 78 5f 7b 31 7d 2c | 78 5f 7b 32 7d 2c 78 5f |..x_{1},|x_{2},x_|
|000007f0| 7b 33 7d 5c 72 69 67 68 | 74 5d 20 24 0d 0a 5c 65 |{3}\righ|t] $..\e|
|00000800| 6e 64 7b 69 74 65 6d 69 | 7a 65 7d 0d 0a 0d 0a 5c |nd{itemi|ze}....\|
|00000810| 73 74 72 75 74 0d 0a 0d | 0a 54 68 69 73 20 66 6c |strut...|.This fl|
|00000820| 65 78 69 62 69 6c 69 74 | 79 20 61 6c 6c 6f 77 73 |exibilit|y allows|
|00000830| 20 79 6f 75 20 74 6f 20 | 75 73 65 20 74 68 65 20 | you to |use the |
|00000840| 6f 75 74 70 75 74 20 6f | 66 20 70 72 65 76 69 6f |output o|f previo|
|00000850| 75 73 20 77 6f 72 6b 20 | 61 73 20 69 6e 70 75 74 |us work |as input|
|00000860| 2c 0d 0a 77 69 74 68 6f | 75 74 20 75 6e 64 75 65 |,..witho|ut undue|
|00000870| 20 77 6f 72 72 79 20 61 | 62 6f 75 74 20 74 68 65 | worry a|bout the|
|00000880| 20 73 68 61 70 65 20 6f | 66 20 74 68 65 20 6f 75 | shape o|f the ou|
|00000890| 74 70 75 74 2e 20 46 6f | 72 20 70 75 72 70 6f 73 |tput. Fo|r purpos|
|000008a0| 65 73 20 6f 66 20 63 6c | 65 61 72 0d 0a 65 78 70 |es of cl|ear..exp|
|000008b0| 6f 73 69 74 69 6f 6e 2c | 20 79 6f 75 20 77 69 6c |osition,| you wil|
|000008c0| 6c 20 66 69 6e 64 20 69 | 74 20 70 72 65 66 65 72 |l find i|t prefer|
|000008d0| 61 62 6c 65 20 74 6f 20 | 75 73 65 20 63 6f 6e 73 |able to |use cons|
|000008e0| 69 73 74 65 6e 74 20 6e | 6f 74 61 74 69 6f 6e 2e |istent n|otation.|
|000008f0| 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 67 | 69 6e 7b 71 75 6f 74 65 |....\beg|in{quote|
|00000900| 7d 0d 0a 24 5c 62 6c 61 | 63 6b 74 72 69 61 6e 67 |}..$\bla|cktriang|
|00000910| 6c 65 72 69 67 68 74 20 | 24 20 54 6f 20 63 72 65 |leright |$ To cre|
|00000920| 61 74 65 20 61 20 76 65 | 63 74 6f 72 20 69 6e 20 |ate a ve|ctor in |
|00000930| 6d 61 74 72 69 78 20 66 | 6f 72 6d 0d 0a 5c 65 6e |matrix f|orm..\en|
|00000940| 64 7b 71 75 6f 74 65 7d | 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 67 |d{quote}|....\beg|
|00000950| 69 6e 7b 65 6e 75 6d 65 | 72 61 74 65 7d 0d 0a 5c |in{enume|rate}..\|
|00000960| 69 74 65 6d 5b 31 2e 5d | 20 20 43 6c 69 63 6b 25 |item[1.]|  Click%|
|00000970| 0d 0a 5c 46 52 41 4d 45 | 7b 69 74 62 70 46 7d 7b |..\FRAME|{itbpF}{|
|00000980| 30 2e 33 30 30 39 69 6e | 7d 7b 30 2e 33 30 30 39 |0.3009in|}{0.3009|
|00000990| 69 6e 7d 7b 30 2e 30 37 | 30 31 69 6e 7d 7b 7d 7b |in}{0.07|01in}{}{|
|000009a0| 7d 7b 6d 61 74 72 69 78 | 2e 77 6d 66 7d 7b 5c 73 |}{matrix|.wmf}{\s|
|000009b0| 70 65 63 69 61 6c 25 0d | 0a 7b 6c 61 6e 67 75 61 |pecial%.|.{langua|
|000009c0| 67 65 20 22 53 63 69 65 | 6e 74 69 66 69 63 20 57 |ge "Scie|ntific W|
|000009d0| 6f 72 64 22 3b 74 79 70 | 65 20 22 47 52 41 50 48 |ord";typ|e "GRAPH|
|000009e0| 49 43 22 3b 64 69 73 70 | 6c 61 79 20 22 50 49 43 |IC";disp|lay "PIC|
|000009f0| 54 22 3b 76 61 6c 69 64 | 5f 66 69 6c 65 0d 0a 22 |T";valid|_file.."|
|00000a00| 46 22 3b 77 69 64 74 68 | 20 30 2e 33 30 30 39 69 |F";width| 0.3009i|
|00000a10| 6e 3b 68 65 69 67 68 74 | 20 30 2e 33 30 30 39 69 |n;height| 0.3009i|
|00000a20| 6e 3b 64 65 70 74 68 20 | 30 2e 30 37 30 31 69 6e |n;depth |0.0701in|
|00000a30| 3b 6f 72 69 67 69 6e 61 | 6c 2d 77 69 64 74 68 0d |;origina|l-width.|
|00000a40| 0a 31 37 2e 38 31 32 35 | 70 74 3b 6f 72 69 67 69 |.17.8125|pt;origi|
|00000a50| 6e 61 6c 2d 68 65 69 67 | 68 74 20 31 36 2e 39 33 |nal-heig|ht 16.93|
|00000a60| 37 35 70 74 3b 63 72 6f | 70 6c 65 66 74 20 22 30 |75pt;cro|pleft "0|
|00000a70| 22 3b 63 72 6f 70 74 6f | 70 20 22 31 22 3b 63 72 |";cropto|p "1";cr|
|00000a80| 6f 70 72 69 67 68 74 0d | 0a 22 31 22 3b 63 72 6f |opright.|."1";cro|
|00000a90| 70 62 6f 74 74 6f 6d 20 | 22 30 22 3b 66 69 6c 65 |pbottom |"0";file|
|00000aa0| 6e 61 6d 65 20 27 4d 61 | 74 72 69 78 2e 77 6d 66 |name 'Ma|trix.wmf|
|00000ab0| 27 3b 66 69 6c 65 2d 70 | 72 6f 70 65 72 74 69 65 |';file-p|ropertie|
|00000ac0| 73 20 22 58 4e 50 45 55 | 22 3b 7d 7d 20 6f 72 0d |s "XNPEU|";}} or.|
|00000ad0| 0a 63 68 6f 6f 73 65 20 | 5c 74 65 78 74 73 66 7b |.choose |\textsf{|
|00000ae0| 49 6e 73 65 72 74 20 2b | 20 4d 61 74 72 69 78 2e |Insert +| Matrix.|
|00000af0| 7d 0d 0a 0d 0a 5c 69 74 | 65 6d 5b 32 2e 5d 20 20 |}....\it|em[2.]  |
|00000b00| 53 65 74 20 74 68 65 20 | 6e 75 6d 62 65 72 20 6f |Set the |number o|
|00000b10| 66 20 72 6f 77 73 20 28 | 6f 72 20 63 6f 6c 75 6d |f rows (|or colum|
|00000b20| 6e 73 29 20 74 6f 20 24 | 31 24 20 61 6e 64 20 74 |ns) to $|1$ and t|
|00000b30| 68 65 20 6f 74 68 65 72 | 20 6e 75 6d 62 65 72 0d |he other| number.|
|00000b40| 0a 74 6f 20 74 68 65 20 | 64 69 6d 65 6e 73 69 6f |.to the |dimensio|
|00000b50| 6e 20 79 6f 75 20 77 69 | 73 68 2e 0d 0a 0d 0a 5c |n you wi|sh.....\|
|00000b60| 69 74 65 6d 5b 33 2e 5d | 20 20 45 6e 74 65 72 20 |item[3.]|  Enter |
|00000b70| 74 68 65 20 76 61 6c 75 | 65 73 20 66 6f 72 20 74 |the valu|es for t|
|00000b80| 68 65 20 63 6f 6d 70 6f | 6e 65 6e 74 73 20 69 6e |he compo|nents in|
|00000b90| 20 74 68 65 20 69 6e 70 | 75 74 20 62 6f 78 65 73 | the inp|ut boxes|
|00000ba0| 2e 5c 6d 65 64 73 6b 69 | 70 0d 0a 5c 65 6e 64 7b |.\medski|p..\end{|
|00000bb0| 65 6e 75 6d 65 72 61 74 | 65 7d 0d 0a 0d 0a 5c 73 |enumerat|e}....\s|
|00000bc0| 75 62 73 65 63 74 69 6f | 6e 7b 5c 20 56 65 63 74 |ubsectio|n{\ Vect|
|00000bd0| 6f 72 20 53 75 6d 73 5c | 6c 61 62 65 6c 7b 56 65 |or Sums\|label{Ve|
|00000be0| 63 74 6f 72 20 73 75 6d | 73 7d 7d 0d 0a 0d 0a 5c |ctor sum|s}}....\|
|00000bf0| 62 65 67 69 6e 7b 71 75 | 6f 74 65 7d 0d 0a 24 5c |begin{qu|ote}..$\|
|00000c00| 62 6c 61 63 6b 74 72 69 | 61 6e 67 6c 65 72 69 67 |blacktri|anglerig|
|00000c10| 68 74 20 24 20 54 6f 20 | 65 76 61 6c 75 61 74 65 |ht $ To |evaluate|
|00000c20| 20 61 20 76 65 63 74 6f | 72 20 65 78 70 72 65 73 | a vecto|r expres|
|00000c30| 73 69 6f 6e 0d 0a 5c 65 | 6e 64 7b 71 75 6f 74 65 |sion..\e|nd{quote|
|00000c40| 7d 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 65 6e 75 6d |}....\be|gin{enum|
|00000c50| 65 72 61 74 65 7d 0d 0a | 5c 69 74 65 6d 5b 31 2e |erate}..|\item[1.|
|00000c60| 5d 20 20 54 79 70 65 20 | 74 68 65 20 65 78 70 72 |]  Type |the expr|
|00000c70| 65 73 73 69 6f 6e 20 69 | 6e 20 6d 61 74 68 65 6d |ession i|n mathem|
|00000c80| 61 74 69 63 73 20 6d 6f | 64 65 0d 0a 0d 0a 5c 69 |atics mo|de....\i|
|00000c90| 74 65 6d 5b 32 2e 5d 20 | 20 43 68 6f 6f 73 65 20 |tem[2.] | Choose |
|00000ca0| 5c 74 65 78 74 73 66 7b | 45 76 61 6c 75 61 74 65 |\textsf{|Evaluate|
|00000cb0| 7d 2e 0d 0a 5c 65 6e 64 | 7b 65 6e 75 6d 65 72 61 |}...\end|{enumera|
|00000cc0| 74 65 7d 0d 0a 0d 0a 24 | 5c 62 6c 61 63 6b 74 72 |te}....$|\blacktr|
|00000cd0| 69 61 6e 67 6c 65 72 69 | 67 68 74 20 24 20 5c 74 |iangleri|ght $ \t|
|00000ce0| 65 78 74 73 66 7b 45 76 | 61 6c 75 61 74 65 7d 0d |extsf{Ev|aluate}.|
|00000cf0| 0a 0d 0a 5c 62 65 67 69 | 6e 7b 71 75 6f 74 61 74 |...\begi|n{quotat|
|00000d00| 69 6f 6e 7d 0d 0a 24 5c | 6c 65 66 74 28 20 78 5f |ion}..$\|left( x_|
|00000d10| 7b 31 7d 2c 78 5f 7b 32 | 7d 2c 78 5f 7b 33 7d 5c |{1},x_{2|},x_{3}\|
|00000d20| 72 69 67 68 74 29 20 2b | 5c 6c 65 66 74 28 20 79 |right) +|\left( y|
|00000d30| 5f 7b 31 7d 2c 79 5f 7b | 32 7d 2c 79 5f 7b 33 7d |_{1},y_{|2},y_{3}|
|00000d40| 5c 72 69 67 68 74 29 0d | 0a 3d 5c 61 6c 6c 6f 77 |\right).|.=\allow|
|00000d50| 62 72 65 61 6b 20 5c 6c | 65 66 74 28 20 78 5f 7b |break \l|eft( x_{|
|00000d60| 31 7d 2b 79 5f 7b 31 7d | 2c 78 5f 7b 32 7d 2b 79 |1}+y_{1}|,x_{2}+y|
|00000d70| 5f 7b 32 7d 2c 78 5f 7b | 33 7d 2b 79 5f 7b 33 7d |_{2},x_{|3}+y_{3}|
|00000d80| 5c 72 69 67 68 74 29 20 | 5c 6d 65 64 73 6b 69 70 |\right) |\medskip|
|00000d90| 20 24 0d 0a 0d 0a 24 28 | 32 2c 2d 31 2c 30 29 2b | $....$(|2,-1,0)+|
|00000da0| 28 32 2c 33 2c 2d 35 29 | 3d 5c 61 6c 6c 6f 77 62 |(2,3,-5)|=\allowb|
|00000db0| 72 65 61 6b 20 5c 6c 65 | 66 74 28 20 34 2c 32 2c |reak \le|ft( 4,2,|
|00000dc0| 2d 35 5c 72 69 67 68 74 | 29 20 5c 6d 65 64 73 6b |-5\right|) \medsk|
|00000dd0| 69 70 20 24 0d 0a 0d 0a | 24 5c 6c 65 66 74 5b 20 |ip $....|$\left[ |
|00000de0| 31 2c 32 2c 33 2c 34 2e | 33 5c 72 69 67 68 74 5d |1,2,3,4.|3\right]|
|00000df0| 20 2d 5c 6c 65 66 74 5b | 20 33 2c 2d 35 2e 31 2c | -\left[| 3,-5.1,|
|00000e00| 36 2c 30 5c 72 69 67 68 | 74 5d 20 3d 5c 61 6c 6c |6,0\righ|t] =\all|
|00000e10| 6f 77 62 72 65 61 6b 20 | 5c 6c 65 66 74 5b 0d 0a |owbreak |\left[..|
|00000e20| 2d 32 2c 37 2e 5c 2c 31 | 2c 2d 33 2c 34 2e 5c 2c |-2,7.\,1|,-3,4.\,|
|00000e30| 33 5c 72 69 67 68 74 5d | 20 5c 6d 65 64 73 6b 69 |3\right]| \medski|
|00000e40| 70 20 24 0d 0a 0d 0a 24 | 5c 6c 65 66 74 28 20 0d |p $....$|\left( .|
|00000e50| 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b | 61 72 72 61 79 7d 7b 63 |.\begin{|array}{c|
|00000e60| 7d 0d 0a 61 20 5c 5c 20 | 0d 0a 62 0d 0a 5c 65 6e |}..a \\ |..b..\en|
|00000e70| 64 7b 61 72 72 61 79 7d | 0d 0a 5c 72 69 67 68 74 |d{array}|..\right|
|00000e80| 29 20 2b 5c 6c 65 66 74 | 28 20 0d 0a 5c 62 65 67 |) +\left|( ..\beg|
|00000e90| 69 6e 7b 61 72 72 61 79 | 7d 7b 63 7d 0d 0a 63 20 |in{array|}{c}..c |
|00000ea0| 5c 5c 20 0d 0a 64 0d 0a | 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 |\\ ..d..|\end{arr|
|00000eb0| 61 79 7d 0d 0a 5c 72 69 | 67 68 74 29 20 3d 5c 61 |ay}..\ri|ght) =\a|
|00000ec0| 6c 6c 6f 77 62 72 65 61 | 6b 20 5c 6c 65 66 74 28 |llowbrea|k \left(|
|00000ed0| 20 0d 0a 5c 62 65 67 69 | 6e 7b 61 72 72 61 79 7d | ..\begi|n{array}|
|00000ee0| 7b 63 7d 0d 0a 61 2b 63 | 20 5c 5c 20 0d 0a 62 2b |{c}..a+c| \\ ..b+|
|00000ef0| 64 0d 0a 5c 65 6e 64 7b | 61 72 72 61 79 7d 0d 0a |d..\end{|array}..|
|00000f00| 5c 72 69 67 68 74 29 20 | 5c 6d 65 64 73 6b 69 70 |\right) |\medskip|
|00000f10| 20 24 0d 0a 0d 0a 24 5c | 6c 65 66 74 5b 20 0d 0a | $....$\|left[ ..|
|00000f20| 5c 62 65 67 69 6e 7b 61 | 72 72 61 79 7d 7b 63 7d |\begin{a|rray}{c}|
|00000f30| 0d 0a 31 20 5c 5c 20 0d | 0a 32 0d 0a 5c 65 6e 64 |..1 \\ .|.2..\end|
|00000f40| 7b 61 72 72 61 79 7d 0d | 0a 5c 72 69 67 68 74 5d |{array}.|.\right]|
|00000f50| 20 2d 5c 6c 65 66 74 5b | 20 0d 0a 5c 62 65 67 69 | -\left[| ..\begi|
|00000f60| 6e 7b 61 72 72 61 79 7d | 7b 63 7d 0d 0a 2d 33 20 |n{array}|{c}..-3 |
|00000f70| 5c 5c 20 0d 0a 31 0d 0a | 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 |\\ ..1..|\end{arr|
|00000f80| 61 79 7d 0d 0a 5c 72 69 | 67 68 74 5d 20 3d 5c 61 |ay}..\ri|ght] =\a|
|00000f90| 6c 6c 6f 77 62 72 65 61 | 6b 20 5c 6c 65 66 74 5b |llowbrea|k \left[|
|00000fa0| 20 0d 0a 5c 62 65 67 69 | 6e 7b 61 72 72 61 79 7d | ..\begi|n{array}|
|00000fb0| 7b 63 7d 0d 0a 34 20 5c | 5c 20 0d 0a 31 0d 0a 5c |{c}..4 \|\ ..1..\|
|00000fc0| 65 6e 64 7b 61 72 72 61 | 79 7d 0d 0a 5c 72 69 67 |end{arra|y}..\rig|
|00000fd0| 68 74 5d 20 5c 6d 65 64 | 73 6b 69 70 20 24 0d 0a |ht] \med|skip $..|
|00000fe0| 0d 0a 24 5c 6c 65 66 74 | 5b 20 0d 0a 5c 62 65 67 |..$\left|[ ..\beg|
|00000ff0| 69 6e 7b 61 72 72 61 79 | 7d 7b 63 63 7d 0d 0a 78 |in{array|}{cc}..x|
|00001000| 20 26 20 79 0d 0a 5c 65 | 6e 64 7b 61 72 72 61 79 | & y..\e|nd{array|
|00001010| 7d 0d 0a 5c 72 69 67 68 | 74 5d 20 2b 5c 6c 65 66 |}..\righ|t] +\lef|
|00001020| 74 5b 20 0d 0a 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 61 72 72 61 |t[ ..\be|gin{arra|
|00001030| 79 7d 7b 63 63 7d 0d 0a | 77 20 26 20 7a 0d 0a 5c |y}{cc}..|w & z..\|
|00001040| 65 6e 64 7b 61 72 72 61 | 79 7d 0d 0a 5c 72 69 67 |end{arra|y}..\rig|
|00001050| 68 74 5d 20 3d 5c 61 6c | 6c 6f 77 62 72 65 61 6b |ht] =\al|lowbreak|
|00001060| 20 5c 6c 65 66 74 5b 20 | 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e | \left[ |..\begin|
|00001070| 7b 61 72 72 61 79 7d 7b | 63 63 7d 0d 0a 78 2b 77 |{array}{|cc}..x+w|
|00001080| 20 26 20 79 2b 7a 0d 0a | 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 | & y+z..|\end{arr|
|00001090| 61 79 7d 0d 0a 5c 72 69 | 67 68 74 5d 20 5c 6d 65 |ay}..\ri|ght] \me|
|000010a0| 64 73 6b 69 70 20 24 0d | 0a 5c 65 6e 64 7b 71 75 |dskip $.|.\end{qu|
|000010b0| 6f 74 61 74 69 6f 6e 7d | 0d 0a 0d 0a 5c 73 74 72 |otation}|....\str|
|000010c0| 75 74 0d 0a 0d 0a 5c 73 | 75 62 73 65 63 74 69 6f |ut....\s|ubsectio|
|000010d0| 6e 7b 5c 20 44 6f 74 20 | 50 72 6f 64 75 63 74 20 |n{\ Dot |Product |
|000010e0| 0d 0a 5c 69 6e 64 65 78 | 7b 44 6f 74 20 70 72 6f |..\index|{Dot pro|
|000010f0| 64 75 63 74 40 44 6f 74 | 20 70 72 6f 64 75 63 74 |duct@Dot| product|
|00001100| 7d 5c 6c 61 62 65 6c 7b | 44 6f 74 20 70 72 6f 64 |}\label{|Dot prod|
|00001110| 75 63 74 7d 7d 0d 0a 0d | 0a 54 68 65 20 5c 65 6d |uct}}...|.The \em|
|00001120| 70 68 7b 64 6f 74 20 70 | 72 6f 64 75 63 74 7d 20 |ph{dot p|roduct} |
|00001130| 28 6f 72 20 5c 65 6d 70 | 68 7b 69 6e 6e 65 72 20 |(or \emp|h{inner |
|00001140| 70 72 6f 64 75 63 74 7d | 29 20 0d 0a 5c 69 6e 64 |product}|) ..\ind|
|00001150| 65 78 7b 49 6e 6e 65 72 | 20 70 72 6f 64 75 63 74 |ex{Inner| product|
|00001160| 40 49 6e 6e 65 72 20 70 | 72 6f 64 75 63 74 7d 5c |@Inner p|roduct}\|
|00001170| 6c 61 62 65 6c 7b 49 6e | 6e 65 72 20 70 72 6f 64 |label{In|ner prod|
|00001180| 75 63 74 7d 6f 66 20 74 | 77 6f 20 76 65 63 74 6f |uct}of t|wo vecto|
|00001190| 72 73 20 24 25 0d 0a 5c | 6c 65 66 74 28 20 61 5f |rs $%..\|left( a_|
|000011a0| 7b 31 7d 2c 61 5f 7b 32 | 7d 2c 2e 2e 2e 2c 61 5f |{1},a_{2|},...,a_|
|000011b0| 7b 6e 7d 5c 72 69 67 68 | 74 29 20 24 20 61 6e 64 |{n}\righ|t) $ and|
|000011c0| 20 24 5c 6c 65 66 74 28 | 0d 0a 62 5f 7b 31 7d 2c | $\left(|..b_{1},|
|000011d0| 62 5f 7b 32 7d 2c 2e 2e | 2e 2c 62 5f 7b 6e 7d 5c |b_{2},..|.,b_{n}\|
|000011e0| 72 69 67 68 74 29 20 24 | 20 69 73 20 64 65 66 69 |right) $| is defi|
|000011f0| 6e 65 64 20 62 79 20 0d | 0a 5c 5b 0d 0a 5c 6c 65 |ned by .|.\[..\le|
|00001200| 66 74 28 20 61 5f 7b 31 | 7d 2c 61 5f 7b 32 7d 2c |ft( a_{1|},a_{2},|
|00001210| 2e 2e 2e 2c 61 5f 7b 6e | 7d 5c 72 69 67 68 74 29 |...,a_{n|}\right)|
|00001220| 20 5c 63 64 6f 74 20 5c | 6c 65 66 74 28 0d 0a 62 | \cdot \|left(..b|
|00001230| 5f 7b 31 7d 2c 62 5f 7b | 32 7d 2c 2e 2e 2e 2c 62 |_{1},b_{|2},...,b|
|00001240| 5f 7b 6e 7d 5c 72 69 67 | 68 74 29 20 3d 61 5f 7b |_{n}\rig|ht) =a_{|
|00001250| 31 7d 62 5f 7b 31 7d 2b | 61 5f 7b 32 7d 62 5f 7b |1}b_{1}+|a_{2}b_{|
|00001260| 32 7d 2b 5c 63 64 6f 74 | 73 20 2b 61 5f 7b 6e 7d |2}+\cdot|s +a_{n}|
|00001270| 62 5f 7b 6e 7d 20 0d 0a | 5c 5d 0d 0a 54 68 65 20 |b_{n} ..|\]..The |
|00001280| 64 6f 74 20 69 73 20 61 | 76 61 69 6c 61 62 6c 65 |dot is a|vailable|
|00001290| 20 6f 6e 20 74 68 65 20 | 5c 74 65 78 74 73 66 7b | on the |\textsf{|
|000012a0| 43 6f 6d 6d 6f 6e 20 53 | 79 6d 62 6f 6c 73 7d 20 |Common S|ymbols} |
|000012b0| 74 6f 6f 6c 62 61 72 20 | 61 6e 64 20 69 6e 20 74 |toolbar |and in t|
|000012c0| 68 65 20 0d 0a 5c 74 65 | 78 74 73 66 7b 42 69 6e |he ..\te|xtsf{Bin|
|000012d0| 61 72 79 20 4f 70 65 72 | 61 74 69 6f 6e 73 7d 20 |ary Oper|ations} |
|000012e0| 64 72 6f 70 2d 64 6f 77 | 6e 20 70 61 6e 65 6c 20 |drop-dow|n panel |
|000012f0| 62 65 6c 6f 77 20 0d 0a | 5c 46 52 41 4d 45 7b 69 |below ..|\FRAME{i|
|00001300| 74 62 70 46 7d 7b 30 2e | 33 30 30 39 69 6e 7d 7b |tbpF}{0.|3009in}{|
|00001310| 30 2e 33 30 30 39 69 6e | 7d 7b 30 2e 30 37 30 31 |0.3009in|}{0.0701|
|00001320| 69 6e 7d 7b 7d 7b 7d 7b | 62 69 6e 6f 70 2e 77 6d |in}{}{}{|binop.wm|
|00001330| 66 7d 7b 5c 73 70 65 63 | 69 61 6c 7b 6c 61 6e 67 |f}{\spec|ial{lang|
|00001340| 75 61 67 65 0d 0a 22 53 | 63 69 65 6e 74 69 66 69 |uage.."S|cientifi|
|00001350| 63 20 57 6f 72 64 22 3b | 74 79 70 65 20 22 47 52 |c Word";|type "GR|
|00001360| 41 50 48 49 43 22 3b 64 | 69 73 70 6c 61 79 20 22 |APHIC";d|isplay "|
|00001370| 50 49 43 54 22 3b 76 61 | 6c 69 64 5f 66 69 6c 65 |PICT";va|lid_file|
|00001380| 20 22 46 22 3b 77 69 64 | 74 68 0d 0a 30 2e 33 30 | "F";wid|th..0.30|
|00001390| 30 39 69 6e 3b 68 65 69 | 67 68 74 20 30 2e 33 30 |09in;hei|ght 0.30|
|000013a0| 30 39 69 6e 3b 64 65 70 | 74 68 20 30 2e 30 37 30 |09in;dep|th 0.070|
|000013b0| 31 69 6e 3b 6f 72 69 67 | 69 6e 61 6c 2d 77 69 64 |1in;orig|inal-wid|
|000013c0| 74 68 0d 0a 32 34 2e 38 | 31 32 35 70 74 3b 6f 72 |th..24.8|125pt;or|
|000013d0| 69 67 69 6e 61 6c 2d 68 | 65 69 67 68 74 20 32 33 |iginal-h|eight 23|
|000013e0| 2e 33 31 32 35 70 74 3b | 63 72 6f 70 6c 65 66 74 |.3125pt;|cropleft|
|000013f0| 20 22 30 22 3b 63 72 6f | 70 74 6f 70 20 22 31 22 | "0";cro|ptop "1"|
|00001400| 3b 63 72 6f 70 72 69 67 | 68 74 0d 0a 22 31 22 3b |;croprig|ht.."1";|
|00001410| 63 72 6f 70 62 6f 74 74 | 6f 6d 20 22 30 22 3b 66 |cropbott|om "0";f|
|00001420| 69 6c 65 6e 61 6d 65 20 | 27 42 69 6e 6f 70 2e 77 |ilename |'Binop.w|
|00001430| 6d 66 27 3b 66 69 6c 65 | 2d 70 72 6f 70 65 72 74 |mf';file|-propert|
|00001440| 69 65 73 20 22 58 4e 50 | 45 55 22 3b 7d 7d 2e 0d |ies "XNP|EU";}}..|
|00001450| 0a 0d 0a 46 6f 72 20 74 | 68 65 20 66 6f 6c 6c 6f |...For t|he follo|
|00001460| 77 69 6e 67 20 65 78 61 | 6d 70 6c 65 73 20 6f 66 |wing exa|mples of|
|00001470| 20 64 6f 74 20 70 72 6f | 64 75 63 74 73 20 77 69 | dot pro|ducts wi|
|00001480| 74 68 20 24 6e 3d 33 24 | 2c 20 64 65 66 69 6e 65 |th $n=3$|, define|
|00001490| 0d 0a 0d 0a 5c 5b 0d 0a | 61 3d 5c 6c 65 66 74 5b |....\[..|a=\left[|
|000014a0| 20 0d 0a 5c 62 65 67 69 | 6e 7b 61 72 72 61 79 7d | ..\begi|n{array}|
|000014b0| 7b 63 63 63 7d 0d 0a 31 | 20 26 20 32 20 26 20 33 |{ccc}..1| & 2 & 3|
|000014c0| 0d 0a 5c 65 6e 64 7b 61 | 72 72 61 79 7d 0d 0a 5c |..\end{a|rray}..\|
|000014d0| 72 69 67 68 74 5d 20 5c | 74 65 78 74 7b 2c 20 7d |right] \|text{, }|
|000014e0| 62 3d 5c 6c 65 66 74 28 | 20 0d 0a 5c 62 65 67 69 |b=\left(| ..\begi|
|000014f0| 6e 7b 61 72 72 61 79 7d | 7b 72 7d 0d 0a 31 20 5c |n{array}|{r}..1 \|
|00001500| 5c 20 0d 0a 30 20 5c 5c | 20 0d 0a 2d 31 0d 0a 5c |\ ..0 \\| ..-1..\|
|00001510| 65 6e 64 7b 61 72 72 61 | 79 7d 0d 0a 5c 72 69 67 |end{arra|y}..\rig|
|00001520| 68 74 29 20 5c 74 65 78 | 74 7b 2c 20 7d 63 3d 5b |ht) \tex|t{, }c=[|
|00001530| 33 2c 32 2c 31 5d 5c 74 | 65 78 74 7b 2c 20 61 6e |3,2,1]\t|ext{, an|
|00001540| 64 20 7d 64 3d 28 32 2c | 2d 31 2c 30 29 20 0d 0a |d }d=(2,|-1,0) ..|
|00001550| 5c 5d 0d 0a 77 69 74 68 | 20 5c 74 65 78 74 73 66 |\]..with| \textsf|
|00001560| 7b 4e 65 77 20 44 65 66 | 69 6e 69 74 69 6f 6e 7d |{New Def|inition}|
|00001570| 20 66 72 6f 6d 20 74 68 | 65 20 5c 74 65 78 74 73 | from th|e \texts|
|00001580| 66 7b 44 65 66 69 6e 65 | 7d 20 73 75 62 6d 65 6e |f{Define|} submen|
|00001590| 75 2e 0d 0a 0d 0a 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 71 75 6f |u.....\b|egin{quo|
|000015a0| 74 65 7d 0d 0a 24 5c 62 | 6c 61 63 6b 74 72 69 61 |te}..$\b|lacktria|
|000015b0| 6e 67 6c 65 72 69 67 68 | 74 20 24 20 5c 74 65 78 |nglerigh|t $ \tex|
|000015c0| 74 73 66 7b 45 76 61 6c | 75 61 74 65 7d 0d 0a 5c |tsf{Eval|uate}..\|
|000015d0| 65 6e 64 7b 71 75 6f 74 | 65 7d 0d 0a 0d 0a 5c 62 |end{quot|e}....\b|
|000015e0| 65 67 69 6e 7b 71 75 6f | 74 61 74 69 6f 6e 7d 0d |egin{quo|tation}.|
|000015f0| 0a 24 5c 6c 65 66 74 28 | 20 75 2c 76 2c 77 5c 72 |.$\left(| u,v,w\r|
|00001600| 69 67 68 74 29 20 5c 63 | 64 6f 74 20 5c 6c 65 66 |ight) \c|dot \lef|
|00001610| 74 28 20 78 2c 79 2c 7a | 5c 72 69 67 68 74 29 20 |t( x,y,z|\right) |
|00001620| 3d 75 78 2b 76 79 2b 77 | 7a 24 0d 0a 0d 0a 24 28 |=ux+vy+w|z$....$(|
|00001630| 31 2c 32 2c 33 29 5c 63 | 64 6f 74 20 28 33 2c 32 |1,2,3)\c|dot (3,2|
|00001640| 2c 31 29 3d 31 30 24 0d | 0a 0d 0a 24 61 5c 63 64 |,1)=10$.|...$a\cd|
|00001650| 6f 74 20 63 3d 31 30 24 | 0d 0a 0d 0a 24 61 5c 63 |ot c=10$|....$a\c|
|00001660| 64 6f 74 20 62 3d 2d 32 | 24 0d 0a 0d 0a 24 63 5c |dot b=-2|$....$c\|
|00001670| 63 64 6f 74 20 64 3d 5c | 2c 34 5c 6d 65 64 73 6b |cdot d=\|,4\medsk|
|00001680| 69 70 20 24 0d 0a 5c 65 | 6e 64 7b 71 75 6f 74 61 |ip $..\e|nd{quota|
|00001690| 74 69 6f 6e 7d 0d 0a 0d | 0a 5c 73 75 62 73 65 63 |tion}...|.\subsec|
|000016a0| 74 69 6f 6e 7b 5c 20 43 | 72 6f 73 73 20 50 72 6f |tion{\ C|ross Pro|
|000016b0| 64 75 63 74 20 0d 0a 5c | 69 6e 64 65 78 7b 43 72 |duct ..\|index{Cr|
|000016c0| 6f 73 73 20 70 72 6f 64 | 75 63 74 40 43 72 6f 73 |oss prod|uct@Cros|
|000016d0| 73 20 70 72 6f 64 75 63 | 74 7d 5c 6c 61 62 65 6c |s produc|t}\label|
|000016e0| 7b 43 72 6f 73 73 20 70 | 72 6f 64 75 63 74 7d 7d |{Cross p|roduct}}|
|000016f0| 0d 0a 0d 0a 54 68 65 20 | 5c 65 6d 70 68 7b 63 72 |....The |\emph{cr|
|00001700| 6f 73 73 20 70 72 6f 64 | 75 63 74 7d 20 6f 66 20 |oss prod|uct} of |
|00001710| 74 68 72 65 65 2d 64 69 | 6d 65 6e 73 69 6f 6e 61 |three-di|mensiona|
|00001720| 6c 20 76 65 63 74 6f 72 | 73 20 24 61 3d 5c 6c 65 |l vector|s $a=\le|
|00001730| 66 74 28 0d 0a 61 5f 7b | 31 7d 2c 61 5f 7b 32 7d |ft(..a_{|1},a_{2}|
|00001740| 2c 61 5f 7b 33 7d 5c 72 | 69 67 68 74 29 20 24 20 |,a_{3}\r|ight) $ |
|00001750| 61 6e 64 20 24 62 3d 5c | 6c 65 66 74 28 20 62 5f |and $b=\|left( b_|
|00001760| 7b 31 7d 2c 62 5f 7b 32 | 7d 2c 62 5f 7b 33 7d 5c |{1},b_{2|},b_{3}\|
|00001770| 72 69 67 68 74 29 20 24 | 20 69 73 0d 0a 64 65 66 |right) $| is..def|
|00001780| 69 6e 65 64 20 62 79 20 | 0d 0a 5c 5b 0d 0a 61 5c |ined by |..\[..a\|
|00001790| 74 69 6d 65 73 20 62 3d | 5c 6c 65 66 74 28 0d 0a |times b=|\left(..|
|000017a0| 61 5f 7b 32 7d 62 5f 7b | 33 7d 2d 61 5f 7b 33 7d |a_{2}b_{|3}-a_{3}|
|000017b0| 62 5f 7b 32 7d 2c 61 5f | 7b 33 7d 62 5f 7b 31 7d |b_{2},a_|{3}b_{1}|
|000017c0| 2d 61 5f 7b 31 7d 62 5f | 7b 33 7d 2c 61 5f 7b 31 |-a_{1}b_|{3},a_{1|
|000017d0| 7d 62 5f 7b 32 7d 2d 61 | 5f 7b 32 7d 62 5f 7b 31 |}b_{2}-a|_{2}b_{1|
|000017e0| 7d 5c 72 69 67 68 74 29 | 20 0d 0a 5c 5d 0d 0a 54 |}\right)| ..\]..T|
|000017f0| 6f 20 65 6e 74 65 72 20 | 74 68 65 20 63 72 6f 73 |o enter |the cros|
|00001800| 73 20 73 79 6d 62 6f 6c | 2c 20 63 6c 69 63 6b 20 |s symbol|, click |
|00001810| 74 68 65 20 63 72 6f 73 | 73 20 6f 6e 20 74 68 65 |the cros|s on the|
|00001820| 20 5c 74 65 78 74 73 66 | 7b 43 6f 6d 6d 6f 6e 20 | \textsf|{Common |
|00001830| 53 79 6d 62 6f 6c 73 7d | 0d 0a 74 6f 6f 6c 62 61 |Symbols}|..toolba|
|00001840| 72 20 6f 72 20 69 6e 20 | 74 68 65 20 64 72 6f 70 |r or in |the drop|
|00001850| 2d 64 6f 77 6e 20 70 61 | 6e 65 6c 20 62 65 6c 6f |-down pa|nel belo|
|00001860| 77 20 0d 0a 5c 46 52 41 | 4d 45 7b 69 74 62 70 46 |w ..\FRA|ME{itbpF|
|00001870| 7d 7b 30 2e 33 30 30 39 | 69 6e 7d 7b 30 2e 33 30 |}{0.3009|in}{0.30|
|00001880| 30 39 69 6e 7d 7b 30 2e | 30 37 30 31 69 6e 7d 7b |09in}{0.|0701in}{|
|00001890| 7d 7b 7d 7b 62 69 6e 6f | 70 2e 77 6d 66 7d 7b 5c |}{}{bino|p.wmf}{\|
|000018a0| 73 70 65 63 69 61 6c 7b | 6c 61 6e 67 75 61 67 65 |special{|language|
|000018b0| 0d 0a 22 53 63 69 65 6e | 74 69 66 69 63 20 57 6f |.."Scien|tific Wo|
|000018c0| 72 64 22 3b 74 79 70 65 | 20 22 47 52 41 50 48 49 |rd";type| "GRAPHI|
|000018d0| 43 22 3b 64 69 73 70 6c | 61 79 20 22 50 49 43 54 |C";displ|ay "PICT|
|000018e0| 22 3b 76 61 6c 69 64 2d | 66 69 6c 65 20 22 46 22 |";valid-|file "F"|
|000018f0| 3b 77 69 64 74 68 0d 0a | 30 2e 33 30 30 39 69 6e |;width..|0.3009in|
|00001900| 3b 68 65 69 67 68 74 20 | 30 2e 33 30 30 39 69 6e |;height |0.3009in|
|00001910| 3b 64 65 70 74 68 20 30 | 2e 30 37 30 31 69 6e 3b |;depth 0|.0701in;|
|00001920| 6f 72 69 67 69 6e 61 6c | 2d 77 69 64 74 68 0d 0a |original|-width..|
|00001930| 32 34 2e 38 31 32 35 70 | 74 3b 6f 72 69 67 69 6e |24.8125p|t;origin|
|00001940| 61 6c 2d 68 65 69 67 68 | 74 20 32 33 2e 33 31 32 |al-heigh|t 23.312|
|00001950| 35 70 74 3b 63 72 6f 70 | 6c 65 66 74 20 22 30 22 |5pt;crop|left "0"|
|00001960| 3b 63 72 6f 70 74 6f 70 | 20 22 31 22 3b 63 72 6f |;croptop| "1";cro|
|00001970| 70 72 69 67 68 74 0d 0a | 22 31 22 3b 63 72 6f 70 |pright..|"1";crop|
|00001980| 62 6f 74 74 6f 6d 20 22 | 30 22 3b 66 69 6c 65 6e |bottom "|0";filen|
|00001990| 61 6d 65 20 27 42 69 6e | 6f 70 2e 77 6d 66 27 3b |ame 'Bin|op.wmf';|
|000019a0| 66 69 6c 65 2d 70 72 6f | 70 65 72 74 69 65 73 20 |file-pro|perties |
|000019b0| 22 58 4e 50 45 55 22 3b | 7d 7d 2e 0d 0a 0d 0a 46 |"XNPEU";|}}.....F|
|000019c0| 6f 72 20 74 68 65 20 66 | 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 |or the f|ollowing|
|000019d0| 20 65 78 61 6d 70 6c 65 | 73 2c 20 75 73 65 20 74 | example|s, use t|
|000019e0| 68 65 20 76 65 63 74 6f | 72 73 20 24 61 3d 5c 6c |he vecto|rs $a=\l|
|000019f0| 65 66 74 5b 20 0d 0a 5c | 62 65 67 69 6e 7b 61 72 |eft[ ..\|begin{ar|
|00001a00| 72 61 79 7d 7b 63 63 63 | 7d 0d 0a 31 20 26 20 32 |ray}{ccc|}..1 & 2|
|00001a10| 20 26 20 33 0d 0a 5c 65 | 6e 64 7b 61 72 72 61 79 | & 3..\e|nd{array|
|00001a20| 7d 0d 0a 5c 72 69 67 68 | 74 5d 20 24 2c 20 24 62 |}..\righ|t] $, $b|
|00001a30| 3d 5c 6c 65 66 74 28 20 | 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e |=\left( |..\begin|
|00001a40| 7b 61 72 72 61 79 7d 7b | 72 7d 0d 0a 31 20 5c 5c |{array}{|r}..1 \\|
|00001a50| 20 0d 0a 30 20 5c 5c 20 | 0d 0a 2d 31 0d 0a 5c 65 | ..0 \\ |..-1..\e|
|00001a60| 6e 64 7b 61 72 72 61 79 | 7d 0d 0a 5c 72 69 67 68 |nd{array|}..\righ|
|00001a70| 74 29 20 24 2c 20 24 63 | 3d 5b 33 2c 32 2c 31 5d |t) $, $c|=[3,2,1]|
|00001a80| 24 2c 20 61 6e 64 20 24 | 64 3d 28 32 2c 2d 31 2c |$, and $|d=(2,-1,|
|00001a90| 30 29 24 2c 20 61 73 20 | 64 65 66 69 6e 65 64 20 |0)$, as |defined |
|00001aa0| 70 72 65 76 69 6f 75 73 | 6c 79 2e 0d 0a 0d 0a 5c |previous|ly.....\|
|00001ab0| 62 65 67 69 6e 7b 71 75 | 6f 74 65 7d 0d 0a 24 5c |begin{qu|ote}..$\|
|00001ac0| 62 6c 61 63 6b 74 72 69 | 61 6e 67 6c 65 72 69 67 |blacktri|anglerig|
|00001ad0| 68 74 20 24 20 5c 74 65 | 78 74 73 66 7b 45 76 61 |ht $ \te|xtsf{Eva|
|00001ae0| 6c 75 61 74 65 7d 0d 0a | 5c 65 6e 64 7b 71 75 6f |luate}..|\end{quo|
|00001af0| 74 65 7d 0d 0a 0d 0a 5c | 62 65 67 69 6e 7b 71 75 |te}....\|begin{qu|
|00001b00| 6f 74 61 74 69 6f 6e 7d | 0d 0a 24 61 5c 74 69 6d |otation}|..$a\tim|
|00001b10| 65 73 20 62 3d 5c 6c 65 | 66 74 28 20 2d 32 2c 34 |es b=\le|ft( -2,4|
|00001b20| 2c 2d 32 5c 72 69 67 68 | 74 29 20 24 5c 71 71 75 |,-2\righ|t) $\qqu|
|00001b30| 61 64 20 24 61 5c 74 69 | 6d 65 73 20 63 3d 5c 6c |ad $a\ti|mes c=\l|
|00001b40| 65 66 74 28 20 2d 34 2c | 38 2c 2d 34 5c 72 69 67 |eft( -4,|8,-4\rig|
|00001b50| 68 74 29 20 24 25 0d 0a | 5c 71 71 75 61 64 20 24 |ht) $%..|\qquad $|
|00001b60| 63 5c 74 69 6d 65 73 20 | 64 3d 5c 6c 65 66 74 28 |c\times |d=\left(|
|00001b70| 20 31 2c 32 2c 2d 37 5c | 72 69 67 68 74 29 20 5c | 1,2,-7\|right) \|
|00001b80| 6d 65 64 73 6b 69 70 20 | 24 0d 0a 0d 0a 24 5c 6c |medskip |$....$\l|
|00001b90| 65 66 74 28 20 0d 0a 5c | 62 65 67 69 6e 7b 61 72 |eft( ..\|begin{ar|
|00001ba0| 72 61 79 7d 7b 72 7d 0d | 0a 2e 33 35 20 5c 5c 20 |ray}{r}.|..35 \\ |
|00001bb0| 0d 0a 2d 2e 37 33 20 5c | 5c 20 0d 0a 31 2e 32 0d |..-.73 \|\ ..1.2.|
|00001bc0| 0a 5c 65 6e 64 7b 61 72 | 72 61 79 7d 0d 0a 5c 72 |.\end{ar|ray}..\r|
|00001bd0| 69 67 68 74 29 20 5c 74 | 69 6d 65 73 20 5c 6c 65 |ight) \t|imes \le|
|00001be0| 66 74 28 20 0d 0a 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 61 72 72 |ft( ..\b|egin{arr|
|00001bf0| 61 79 7d 7b 72 7d 0d 0a | 2e 38 35 20 5c 5c 20 0d |ay}{r}..|.85 \\ .|
|00001c00| 0a 2e 33 32 20 5c 5c 20 | 0d 0a 2d 2e 37 37 0d 0a |..32 \\ |..-.77..|
|00001c10| 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 | 61 79 7d 0d 0a 5c 72 69 |\end{arr|ay}..\ri|
|00001c20| 67 68 74 29 20 3d 5c 61 | 6c 6c 6f 77 62 72 65 61 |ght) =\a|llowbrea|
|00001c30| 6b 20 5c 6c 65 66 74 28 | 20 0d 0a 5c 62 65 67 69 |k \left(| ..\begi|
|00001c40| 6e 7b 61 72 72 61 79 7d | 7b 63 7d 0d 0a 2e 5c 2c |n{array}|{c}...\,|
|00001c50| 5c 61 6c 6c 6f 77 62 72 | 65 61 6b 20 31 37 38 5c |\allowbr|eak 178\|
|00001c60| 2c 31 20 5c 5c 20 0d 0a | 31 2e 5c 2c 5c 61 6c 6c |,1 \\ ..|1.\,\all|
|00001c70| 6f 77 62 72 65 61 6b 20 | 32 38 39 5c 2c 35 20 5c |owbreak |289\,5 \|
|00001c80| 5c 20 0d 0a 2e 5c 2c 5c | 61 6c 6c 6f 77 62 72 65 |\ ...\,\|allowbre|
|00001c90| 61 6b 20 37 33 32 5c 2c | 35 0d 0a 5c 65 6e 64 7b |ak 732\,|5..\end{|
|00001ca0| 61 72 72 61 79 7d 0d 0a | 5c 72 69 67 68 74 29 20 |array}..|\right) |
|00001cb0| 24 5c 71 71 75 61 64 20 | 24 5c 6c 65 66 74 5b 20 |$\qquad |$\left[ |
|00001cc0| 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e | 7b 61 72 72 61 79 7d 7b |..\begin|{array}{|
|00001cd0| 63 63 63 7d 0d 0a 31 20 | 26 20 2d 32 20 26 20 35 |ccc}..1 |& -2 & 5|
|00001ce0| 0d 0a 5c 65 6e 64 7b 61 | 72 72 61 79 7d 0d 0a 5c |..\end{a|rray}..\|
|00001cf0| 72 69 67 68 74 5d 20 5c | 74 69 6d 65 73 20 5c 6c |right] \|times \l|
|00001d00| 65 66 74 5b 20 0d 0a 5c | 62 65 67 69 6e 7b 61 72 |eft[ ..\|begin{ar|
|00001d10| 72 61 79 7d 7b 63 63 63 | 7d 0d 0a 35 20 26 20 33 |ray}{ccc|}..5 & 3|
|00001d20| 20 26 20 2d 35 0d 0a 5c | 65 6e 64 7b 61 72 72 61 | & -5..\|end{arra|
|00001d30| 79 7d 0d 0a 5c 72 69 67 | 68 74 5d 20 3d 5c 61 6c |y}..\rig|ht] =\al|
|00001d40| 6c 6f 77 62 72 65 61 6b | 20 5c 6c 65 66 74 5b 20 |lowbreak| \left[ |
|00001d50| 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e | 7b 61 72 72 61 79 7d 7b |..\begin|{array}{|
|00001d60| 63 63 63 7d 0d 0a 2d 35 | 20 26 20 33 30 20 26 20 |ccc}..-5| & 30 & |
|00001d70| 31 33 0d 0a 5c 65 6e 64 | 7b 61 72 72 61 79 7d 0d |13..\end|{array}.|
|00001d80| 0a 5c 72 69 67 68 74 5d | 20 24 0d 0a 5c 65 6e 64 |.\right]| $..\end|
|00001d90| 7b 71 75 6f 74 61 74 69 | 6f 6e 7d 0d 0a 0d 0a 5c |{quotati|on}....\|
|00001da0| 73 75 62 73 75 62 73 65 | 63 74 69 6f 6e 7b 54 72 |subsubse|ction{Tr|
|00001db0| 69 70 6c 65 20 50 72 6f | 64 75 63 74 73 7d 0d 0a |iple Pro|ducts}..|
|00001dc0| 0d 0a 53 69 6e 63 65 20 | 74 68 65 20 63 72 6f 73 |..Since |the cros|
|00001dd0| 73 20 70 72 6f 64 75 63 | 74 20 6f 66 20 74 77 6f |s produc|t of two|
|00001de0| 20 76 65 63 74 6f 72 73 | 20 70 72 6f 64 75 63 65 | vectors| produce|
|00001df0| 73 20 61 6e 6f 74 68 65 | 72 20 76 65 63 74 6f 72 |s anothe|r vector|
|00001e00| 2c 20 69 74 20 69 73 0d | 0a 70 6f 73 73 69 62 6c |, it is.|.possibl|
|00001e10| 65 20 74 6f 20 73 74 72 | 69 6e 67 20 63 72 6f 73 |e to str|ing cros|
|00001e20| 73 20 70 72 6f 64 75 63 | 74 73 20 74 6f 67 65 74 |s produc|ts toget|
|00001e30| 68 65 72 2e 20 55 73 65 | 20 74 68 65 20 73 61 6d |her. Use| the sam|
|00001e40| 65 20 76 65 63 74 6f 72 | 73 20 24 61 24 2c 20 24 |e vector|s $a$, $|
|00001e50| 62 24 2c 20 24 25 0d 0a | 63 20 24 2c 20 61 6e 64 |b$, $%..|c $, and|
|00001e60| 20 24 64 24 20 61 73 20 | 62 65 66 6f 72 65 20 66 | $d$ as |before f|
|00001e70| 6f 72 20 74 68 65 73 65 | 20 0d 0a 5c 69 6e 64 65 |or these| ..\inde|
|00001e80| 78 7b 54 72 69 70 6c 65 | 20 76 65 63 74 6f 72 20 |x{Triple| vector |
|00001e90| 70 72 6f 64 75 63 74 40 | 54 72 69 70 6c 65 20 76 |product@|Triple v|
|00001ea0| 65 63 74 6f 72 20 70 72 | 6f 64 75 63 74 7d 5c 65 |ector pr|oduct}\e|
|00001eb0| 6d 70 68 7b 74 72 69 70 | 6c 65 20 76 65 63 74 6f |mph{trip|le vecto|
|00001ec0| 72 0d 0a 70 72 6f 64 75 | 63 74 73 7d 2e 20 4e 6f |r..produ|cts}. No|
|00001ed0| 74 65 20 74 68 61 74 20 | 64 69 66 66 65 72 65 6e |te that |differen|
|00001ee0| 74 20 63 68 6f 69 63 65 | 73 20 6f 66 20 70 61 72 |t choice|s of par|
|00001ef0| 65 6e 74 68 65 73 65 73 | 20 67 65 6e 65 72 61 6c |entheses| general|
|00001f00| 6c 79 20 70 72 6f 64 75 | 63 65 0d 0a 64 69 66 66 |ly produ|ce..diff|
|00001f10| 65 72 65 6e 74 20 72 65 | 73 75 6c 74 73 2e 20 54 |erent re|sults. T|
|00001f20| 68 65 20 64 65 66 61 75 | 6c 74 20 6f 72 64 65 72 |he defau|lt order|
|00001f30| 20 6f 66 20 6f 70 65 72 | 61 74 69 6f 6e 73 20 66 | of oper|ations f|
|00001f40| 6f 72 20 70 72 6f 64 75 | 63 74 73 20 69 73 20 66 |or produ|cts is f|
|00001f50| 72 6f 6d 20 6c 65 66 74 | 0d 0a 74 6f 20 72 69 67 |rom left|..to rig|
|00001f60| 68 74 2e 5c 6d 65 64 73 | 6b 69 70 0d 0a 0d 0a 5c |ht.\meds|kip....\|
|00001f70| 62 65 67 69 6e 7b 71 75 | 6f 74 65 7d 0d 0a 24 5c |begin{qu|ote}..$\|
|00001f80| 62 6c 61 63 6b 74 72 69 | 61 6e 67 6c 65 72 69 67 |blacktri|anglerig|
|00001f90| 68 74 20 24 20 5c 74 65 | 78 74 73 66 7b 45 76 61 |ht $ \te|xtsf{Eva|
|00001fa0| 6c 75 61 74 65 7d 0d 0a | 5c 65 6e 64 7b 71 75 6f |luate}..|\end{quo|
|00001fb0| 74 65 7d 0d 0a 0d 0a 5c | 62 65 67 69 6e 7b 71 75 |te}....\|begin{qu|
|00001fc0| 6f 74 61 74 69 6f 6e 7d | 0d 0a 24 61 5c 74 69 6d |otation}|..$a\tim|
|00001fd0| 65 73 20 28 62 5c 74 69 | 6d 65 73 20 63 29 3d 5c |es (b\ti|mes c)=\|
|00001fe0| 6c 65 66 74 28 20 31 36 | 2c 34 2c 2d 38 5c 72 69 |left( 16|,4,-8\ri|
|00001ff0| 67 68 74 29 20 5c 6d 65 | 64 73 6b 69 70 20 24 0d |ght) \me|dskip $.|
|00002000| 0a 0d 0a 24 5c 6c 65 66 | 74 28 20 61 5c 74 69 6d |...$\lef|t( a\tim|
|00002010| 65 73 20 62 5c 72 69 67 | 68 74 29 20 5c 74 69 6d |es b\rig|ht) \tim|
|00002020| 65 73 20 63 3d 5c 6c 65 | 66 74 28 20 38 2c 2d 34 |es c=\le|ft( 8,-4|
|00002030| 2c 2d 31 36 5c 72 69 67 | 68 74 29 20 5c 6d 65 64 |,-16\rig|ht) \med|
|00002040| 73 6b 69 70 20 24 0d 0a | 0d 0a 24 61 5c 74 69 6d |skip $..|..$a\tim|
|00002050| 65 73 20 5c 6c 65 66 74 | 28 20 5c 6c 65 66 74 28 |es \left|( \left(|
|00002060| 20 62 5c 74 69 6d 65 73 | 20 63 5c 72 69 67 68 74 | b\times| c\right|
|00002070| 29 20 5c 74 69 6d 65 73 | 20 64 5c 72 69 67 68 74 |) \times| d\right|
|00002080| 29 20 3d 5c 6c 65 66 74 | 28 20 30 2c 30 2c 30 5c |) =\left|( 0,0,0\|
|00002090| 72 69 67 68 74 29 0d 0a | 5c 6d 65 64 73 6b 69 70 |right)..|\medskip|
|000020a0| 20 24 0d 0a 0d 0a 24 5c | 6c 65 66 74 28 20 61 5c | $....$\|left( a\|
|000020b0| 74 69 6d 65 73 20 5c 6c | 65 66 74 28 20 62 5c 74 |times \l|eft( b\t|
|000020c0| 69 6d 65 73 20 63 5c 72 | 69 67 68 74 29 20 5c 72 |imes c\r|ight) \r|
|000020d0| 69 67 68 74 29 20 5c 74 | 69 6d 65 73 20 64 3d 5c |ight) \t|imes d=\|
|000020e0| 6c 65 66 74 28 0d 0a 2d | 38 2c 2d 31 36 2c 2d 32 |left(..-|8,-16,-2|
|000020f0| 34 5c 72 69 67 68 74 29 | 20 5c 6d 65 64 73 6b 69 |4\right)| \medski|
|00002100| 70 20 24 0d 0a 0d 0a 24 | 5c 6c 65 66 74 28 20 5c |p $....$|\left( \|
|00002110| 6c 65 66 74 5b 20 0d 0a | 5c 62 65 67 69 6e 7b 61 |left[ ..|\begin{a|
|00002120| 72 72 61 79 7d 7b 63 63 | 63 7d 0d 0a 31 20 26 20 |rray}{cc|c}..1 & |
|00002130| 2d 32 20 26 20 35 0d 0a | 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 |-2 & 5..|\end{arr|
|00002140| 61 79 7d 0d 0a 5c 72 69 | 67 68 74 5d 20 5c 74 69 |ay}..\ri|ght] \ti|
|00002150| 6d 65 73 20 5c 6c 65 66 | 74 5b 20 0d 0a 5c 62 65 |mes \lef|t[ ..\be|
|00002160| 67 69 6e 7b 61 72 72 61 | 79 7d 7b 63 63 63 7d 0d |gin{arra|y}{ccc}.|
|00002170| 0a 35 20 26 20 33 20 26 | 20 2d 35 0d 0a 5c 65 6e |.5 & 3 &| -5..\en|
|00002180| 64 7b 61 72 72 61 79 7d | 0d 0a 5c 72 69 67 68 74 |d{array}|..\right|
|00002190| 5d 20 5c 72 69 67 68 74 | 29 20 5c 74 69 6d 65 73 |] \right|) \times|
|000021a0| 20 5c 6c 65 66 74 5b 20 | 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e | \left[ |..\begin|
|000021b0| 7b 61 72 72 61 79 7d 7b | 63 63 63 7d 0d 0a 2d 37 |{array}{|ccc}..-7|
|000021c0| 20 26 20 32 20 26 20 38 | 0d 0a 5c 65 6e 64 7b 61 | & 2 & 8|..\end{a|
|000021d0| 72 72 61 79 7d 0d 0a 5c | 72 69 67 68 74 5d 20 3d |rray}..\|right] =|
|000021e0| 5c 61 6c 6c 6f 77 62 72 | 65 61 6b 20 5c 6c 65 66 |\allowbr|eak \lef|
|000021f0| 74 5b 20 0d 0a 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 61 72 72 61 |t[ ..\be|gin{arra|
|00002200| 79 7d 7b 63 63 63 7d 0d | 0a 32 31 34 20 26 20 2d |y}{ccc}.|.214 & -|
|00002210| 35 31 20 26 20 32 30 30 | 0d 0a 5c 65 6e 64 7b 61 |51 & 200|..\end{a|
|00002220| 72 72 61 79 7d 0d 0a 5c | 72 69 67 68 74 5d 20 5c |rray}..\|right] \|
|00002230| 6d 65 64 73 6b 69 70 20 | 24 0d 0a 0d 0a 24 5c 6c |medskip |$....$\l|
|00002240| 65 66 74 5b 20 0d 0a 5c | 62 65 67 69 6e 7b 61 72 |eft[ ..\|begin{ar|
|00002250| 72 61 79 7d 7b 63 63 63 | 7d 0d 0a 31 20 26 20 2d |ray}{ccc|}..1 & -|
|00002260| 32 20 26 20 35 0d 0a 5c | 65 6e 64 7b 61 72 72 61 |2 & 5..\|end{arra|
|00002270| 79 7d 0d 0a 5c 72 69 67 | 68 74 5d 20 5c 74 69 6d |y}..\rig|ht] \tim|
|00002280| 65 73 20 5c 6c 65 66 74 | 5b 20 5c 6c 65 66 74 5b |es \left|[ \left[|
|00002290| 20 0d 0a 5c 62 65 67 69 | 6e 7b 61 72 72 61 79 7d | ..\begi|n{array}|
|000022a0| 7b 63 63 63 7d 0d 0a 35 | 20 26 20 33 20 26 20 2d |{ccc}..5| & 3 & -|
|000022b0| 35 0d 0a 5c 65 6e 64 7b | 61 72 72 61 79 7d 0d 0a |5..\end{|array}..|
|000022c0| 5c 72 69 67 68 74 5d 20 | 5c 74 69 6d 65 73 20 5c |\right] |\times \|
|000022d0| 6c 65 66 74 5b 20 0d 0a | 5c 62 65 67 69 6e 7b 61 |left[ ..|\begin{a|
|000022e0| 72 72 61 79 7d 7b 63 63 | 63 7d 0d 0a 2d 37 20 26 |rray}{cc|c}..-7 &|
|000022f0| 20 32 20 26 20 38 0d 0a | 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 | 2 & 8..|\end{arr|
|00002300| 61 79 7d 0d 0a 5c 72 69 | 67 68 74 5d 20 5c 72 69 |ay}..\ri|ght] \ri|
|00002310| 67 68 74 5d 20 3d 5c 6c | 65 66 74 5b 20 0d 0a 5c |ght] =\l|eft[ ..\|
|00002320| 62 65 67 69 6e 7b 61 72 | 72 61 79 7d 7b 63 63 63 |begin{ar|ray}{ccc|
|00002330| 7d 0d 0a 2d 33 37 20 26 | 20 31 33 39 20 26 20 36 |}..-37 &| 139 & 6|
|00002340| 33 0d 0a 5c 65 6e 64 7b | 61 72 72 61 79 7d 0d 0a |3..\end{|array}..|
|00002350| 5c 72 69 67 68 74 5d 20 | 24 0d 0a 5c 65 6e 64 7b |\right] |$..\end{|
|00002360| 71 75 6f 74 61 74 69 6f | 6e 7d 0d 0a 0d 0a 24 5c |quotatio|n}....$\|
|00002370| 61 6c 6c 6f 77 62 72 65 | 61 6b 20 24 0d 0a 0d 0a |allowbre|ak $....|
|00002380| 54 6f 20 6f 62 74 61 69 | 6e 20 69 6e 74 65 72 6d |To obtai|n interm|
|00002390| 65 64 69 61 74 65 20 72 | 65 73 75 6c 74 73 2c 20 |ediate r|esults, |
|000023a0| 73 65 6c 65 63 74 20 61 | 20 70 6f 72 74 69 6f 6e |select a| portion|
|000023b0| 20 6f 66 20 74 68 65 20 | 65 78 70 72 65 73 73 69 | of the |expressi|
|000023c0| 6f 6e 20 61 6e 64 20 70 | 72 65 73 73 0d 0a 74 68 |on and p|ress..th|
|000023d0| 65 20 5c 74 65 78 74 73 | 63 7b 63 74 72 6c 7d 20 |e \texts|c{ctrl} |
|000023e0| 6b 65 79 20 64 6f 77 6e | 20 77 68 69 6c 65 20 65 |key down| while e|
|000023f0| 76 61 6c 75 61 74 69 6e | 67 2e 20 54 68 69 73 20 |valuatin|g. This |
|00002400| 74 65 63 68 6e 69 71 75 | 65 20 64 6f 65 73 20 61 |techniqu|e does a|
|00002410| 6e 20 69 6e 2d 70 6c 61 | 63 65 0d 0a 63 6f 6d 70 |n in-pla|ce..comp|
|00002420| 75 74 61 74 69 6f 6e 2e | 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 67 |utation.|....\beg|
|00002430| 69 6e 7b 71 75 6f 74 65 | 7d 0d 0a 24 5c 62 6c 61 |in{quote|}..$\bla|
|00002440| 63 6b 74 72 69 61 6e 67 | 6c 65 72 69 67 68 74 20 |cktriang|leright |
|00002450| 24 20 5c 74 65 78 74 73 | 63 7b 63 74 72 6c 20 7d |$ \texts|c{ctrl }|
|00002460| 5c 74 65 78 74 73 66 7b | 2b 20 45 76 61 6c 75 61 |\textsf{|+ Evalua|
|00002470| 74 65 2c 20 45 76 61 6c | 75 61 74 65 7d 0d 0a 5c |te, Eval|uate}..\|
|00002480| 65 6e 64 7b 71 75 6f 74 | 65 7d 0d 0a 0d 0a 5c 62 |end{quot|e}....\b|
|00002490| 65 67 69 6e 7b 71 75 6f | 74 61 74 69 6f 6e 7d 0d |egin{quo|tation}.|
|000024a0| 0a 24 61 5c 74 69 6d 65 | 73 20 28 62 5c 74 69 6d |.$a\time|s (b\tim|
|000024b0| 65 73 20 63 29 3d 61 5c | 74 69 6d 65 73 20 5c 6c |es c)=a\|times \l|
|000024c0| 65 66 74 28 20 32 2c 2d | 34 2c 32 5c 72 69 67 68 |eft( 2,-|4,2\righ|
|000024d0| 74 29 20 3d 5c 6c 65 66 | 74 28 20 31 36 2c 34 2c |t) =\lef|t( 16,4,|
|000024e0| 2d 38 5c 72 69 67 68 74 | 29 0d 0a 5c 6d 65 64 73 |-8\right|)..\meds|
|000024f0| 6b 69 70 20 24 0d 0a 0d | 0a 24 5c 6c 65 66 74 28 |kip $...|.$\left(|
|00002500| 20 61 5c 74 69 6d 65 73 | 20 62 5c 72 69 67 68 74 | a\times| b\right|
|00002510| 29 20 5c 74 69 6d 65 73 | 20 63 3d 5c 6c 65 66 74 |) \times| c=\left|
|00002520| 28 20 2d 32 2c 34 2c 2d | 32 5c 72 69 67 68 74 29 |( -2,4,-|2\right)|
|00002530| 20 5c 74 69 6d 65 73 20 | 63 3d 5c 6c 65 66 74 28 | \times |c=\left(|
|00002540| 0d 0a 38 2c 2d 34 2c 2d | 31 36 5c 72 69 67 68 74 |..8,-4,-|16\right|
|00002550| 29 20 5c 6d 65 64 73 6b | 69 70 20 24 0d 0a 0d 0a |) \medsk|ip $....|
|00002560| 24 5c 6c 65 66 74 28 20 | 5c 6c 65 66 74 5b 20 0d |$\left( |\left[ .|
|00002570| 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b | 61 72 72 61 79 7d 7b 63 |.\begin{|array}{c|
|00002580| 63 63 7d 0d 0a 31 20 26 | 20 2d 32 20 26 20 35 0d |cc}..1 &| -2 & 5.|
|00002590| 0a 5c 65 6e 64 7b 61 72 | 72 61 79 7d 0d 0a 5c 72 |.\end{ar|ray}..\r|
|000025a0| 69 67 68 74 5d 20 5c 74 | 69 6d 65 73 20 5c 6c 65 |ight] \t|imes \le|
|000025b0| 66 74 5b 20 0d 0a 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 61 72 72 |ft[ ..\b|egin{arr|
|000025c0| 61 79 7d 7b 63 63 63 7d | 0d 0a 35 20 26 20 33 20 |ay}{ccc}|..5 & 3 |
|000025d0| 26 20 2d 35 0d 0a 5c 65 | 6e 64 7b 61 72 72 61 79 |& -5..\e|nd{array|
|000025e0| 7d 0d 0a 5c 72 69 67 68 | 74 5d 20 5c 72 69 67 68 |}..\righ|t] \righ|
|000025f0| 74 29 20 5c 74 69 6d 65 | 73 20 5c 6c 65 66 74 5b |t) \time|s \left[|
|00002600| 20 0d 0a 5c 62 65 67 69 | 6e 7b 61 72 72 61 79 7d | ..\begi|n{array}|
|00002610| 7b 63 63 63 7d 0d 0a 2d | 37 20 26 20 32 20 26 20 |{ccc}..-|7 & 2 & |
|00002620| 38 0d 0a 5c 65 6e 64 7b | 61 72 72 61 79 7d 0d 0a |8..\end{|array}..|
|00002630| 5c 72 69 67 68 74 5d 20 | 3d 5c 6c 65 66 74 5b 20 |\right] |=\left[ |
|00002640| 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e | 7b 61 72 72 61 79 7d 7b |..\begin|{array}{|
|00002650| 63 63 63 7d 0d 0a 2d 35 | 20 26 20 33 30 20 26 20 |ccc}..-5| & 30 & |
|00002660| 31 33 0d 0a 5c 65 6e 64 | 7b 61 72 72 61 79 7d 0d |13..\end|{array}.|
|00002670| 0a 5c 72 69 67 68 74 5d | 20 5c 74 69 6d 65 73 20 |.\right]| \times |
|00002680| 5c 6c 65 66 74 5b 20 0d | 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b |\left[ .|.\begin{|
|00002690| 61 72 72 61 79 7d 7b 63 | 63 63 7d 0d 0a 2d 37 20 |array}{c|cc}..-7 |
|000026a0| 26 20 32 20 26 20 38 0d | 0a 5c 65 6e 64 7b 61 72 |& 2 & 8.|.\end{ar|
|000026b0| 72 61 79 7d 0d 0a 5c 72 | 69 67 68 74 5d 20 3d 5c |ray}..\r|ight] =\|
|000026c0| 61 6c 6c 6f 77 62 72 65 | 61 6b 20 5c 6c 65 66 74 |allowbre|ak \left|
|000026d0| 5b 20 0d 0a 5c 62 65 67 | 69 6e 7b 61 72 72 61 79 |[ ..\beg|in{array|
|000026e0| 7d 7b 63 63 63 7d 0d 0a | 32 31 34 20 26 20 2d 35 |}{ccc}..|214 & -5|
|000026f0| 31 20 26 20 32 30 30 0d | 0a 5c 65 6e 64 7b 61 72 |1 & 200.|.\end{ar|
|00002700| 72 61 79 7d 0d 0a 5c 72 | 69 67 68 74 5d 20 5c 6d |ray}..\r|ight] \m|
|00002710| 65 64 73 6b 69 70 20 24 | 0d 0a 0d 0a 24 5c 6c 65 |edskip $|....$\le|
|00002720| 66 74 5b 20 0d 0a 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 61 72 72 |ft[ ..\b|egin{arr|
|00002730| 61 79 7d 7b 63 63 63 7d | 0d 0a 31 20 26 20 2d 32 |ay}{ccc}|..1 & -2|
|00002740| 20 26 20 35 0d 0a 5c 65 | 6e 64 7b 61 72 72 61 79 | & 5..\e|nd{array|
|00002750| 7d 0d 0a 5c 72 69 67 68 | 74 5d 20 5c 74 69 6d 65 |}..\righ|t] \time|
|00002760| 73 20 5c 6c 65 66 74 5b | 20 5c 6c 65 66 74 5b 20 |s \left[| \left[ |
|00002770| 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e | 7b 61 72 72 61 79 7d 7b |..\begin|{array}{|
|00002780| 63 63 63 7d 0d 0a 35 20 | 26 20 33 20 26 20 2d 35 |ccc}..5 |& 3 & -5|
|00002790| 0d 0a 5c 65 6e 64 7b 61 | 72 72 61 79 7d 0d 0a 5c |..\end{a|rray}..\|
|000027a0| 72 69 67 68 74 5d 20 5c | 74 69 6d 65 73 20 5c 6c |right] \|times \l|
|000027b0| 65 66 74 5b 20 0d 0a 5c | 62 65 67 69 6e 7b 61 72 |eft[ ..\|begin{ar|
|000027c0| 72 61 79 7d 7b 63 63 63 | 7d 0d 0a 2d 37 20 26 20 |ray}{ccc|}..-7 & |
|000027d0| 32 20 26 20 38 0d 0a 5c | 65 6e 64 7b 61 72 72 61 |2 & 8..\|end{arra|
|000027e0| 79 7d 0d 0a 5c 72 69 67 | 68 74 5d 20 5c 72 69 67 |y}..\rig|ht] \rig|
|000027f0| 68 74 5d 20 3d 5c 6c 65 | 66 74 5b 20 0d 0a 5c 62 |ht] =\le|ft[ ..\b|
|00002800| 65 67 69 6e 7b 61 72 72 | 61 79 7d 7b 63 63 63 7d |egin{arr|ay}{ccc}|
|00002810| 0d 0a 31 20 26 20 2d 32 | 20 26 20 35 0d 0a 5c 65 |..1 & -2| & 5..\e|
|00002820| 6e 64 7b 61 72 72 61 79 | 7d 0d 0a 5c 72 69 67 68 |nd{array|}..\righ|
|00002830| 74 5d 20 5c 74 69 6d 65 | 73 20 5c 6c 65 66 74 5b |t] \time|s \left[|
|00002840| 20 0d 0a 5c 62 65 67 69 | 6e 7b 61 72 72 61 79 7d | ..\begi|n{array}|
|00002850| 7b 63 63 63 7d 0d 0a 33 | 34 20 26 20 2d 35 20 26 |{ccc}..3|4 & -5 &|
|00002860| 20 33 31 0d 0a 5c 65 6e | 64 7b 61 72 72 61 79 7d | 31..\en|d{array}|
|00002870| 0d 0a 5c 72 69 67 68 74 | 5d 20 3d 5c 6c 65 66 74 |..\right|] =\left|
|00002880| 5b 20 0d 0a 5c 62 65 67 | 69 6e 7b 61 72 72 61 79 |[ ..\beg|in{array|
|00002890| 7d 7b 63 63 63 7d 0d 0a | 2d 33 37 20 26 20 31 33 |}{ccc}..|-37 & 13|
|000028a0| 39 20 26 20 36 33 0d 0a | 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 |9 & 63..|\end{arr|
|000028b0| 61 79 7d 0d 0a 5c 72 69 | 67 68 74 5d 20 24 0d 0a |ay}..\ri|ght] $..|
|000028c0| 5c 65 6e 64 7b 71 75 6f | 74 61 74 69 6f 6e 7d 0d |\end{quo|tation}.|
|000028d0| 0a 0d 0a 5c 62 65 67 69 | 6e 7b 71 75 6f 74 65 7d |...\begi|n{quote}|
|000028e0| 0d 0a 24 5c 62 6c 61 63 | 6b 74 72 69 61 6e 67 6c |..$\blac|ktriangl|
|000028f0| 65 72 69 67 68 74 20 24 | 20 5c 74 65 78 74 73 63 |eright $| \textsc|
|00002900| 7b 63 74 72 6c 20 7d 5c | 74 65 78 74 73 66 7b 2b |{ctrl }\|textsf{+|
|00002910| 20 45 76 61 6c 75 61 74 | 65 2c 20 7d 5c 74 65 78 | Evaluat|e, }\tex|
|00002920| 74 73 63 7b 63 74 72 6c | 7d 25 0d 0a 5c 74 65 78 |tsc{ctrl|}%..\tex|
|00002930| 74 73 66 7b 5c 20 2b 20 | 45 76 61 6c 75 61 74 65 |tsf{\ + |Evaluate|
|00002940| 2c 20 45 76 61 6c 75 61 | 74 65 7d 0d 0a 5c 65 6e |, Evalua|te}..\en|
|00002950| 64 7b 71 75 6f 74 65 7d | 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 67 |d{quote}|....\beg|
|00002960| 69 6e 7b 71 75 6f 74 61 | 74 69 6f 6e 7d 0d 0a 24 |in{quota|tion}..$|
|00002970| 61 5c 74 69 6d 65 73 20 | 5c 6c 65 66 74 28 20 5c |a\times |\left( \|
|00002980| 6c 65 66 74 28 20 62 5c | 74 69 6d 65 73 20 63 5c |left( b\|times c\|
|00002990| 72 69 67 68 74 29 20 5c | 74 69 6d 65 73 20 64 5c |right) \|times d\|
|000029a0| 72 69 67 68 74 29 20 3d | 61 5c 74 69 6d 65 73 20 |right) =|a\times |
|000029b0| 5c 6c 65 66 74 28 0d 0a | 5c 6c 65 66 74 28 20 32 |\left(..|\left( 2|
|000029c0| 2c 2d 34 2c 32 5c 72 69 | 67 68 74 29 20 5c 74 69 |,-4,2\ri|ght) \ti|
|000029d0| 6d 65 73 20 64 5c 72 69 | 67 68 74 29 20 3d 61 5c |mes d\ri|ght) =a\|
|000029e0| 74 69 6d 65 73 20 5c 6c | 65 66 74 28 20 32 2c 34 |times \l|eft( 2,4|
|000029f0| 2c 36 5c 72 69 67 68 74 | 29 20 3d 5c 6c 65 66 74 |,6\right|) =\left|
|00002a00| 28 0d 0a 30 2c 30 2c 30 | 5c 72 69 67 68 74 29 20 |(..0,0,0|\right) |
|00002a10| 5c 6d 65 64 73 6b 69 70 | 20 24 0d 0a 0d 0a 24 5c |\medskip| $....$\|
|00002a20| 6c 65 66 74 28 20 61 5c | 74 69 6d 65 73 20 5c 6c |left( a\|times \l|
|00002a30| 65 66 74 28 20 62 5c 74 | 69 6d 65 73 20 63 5c 72 |eft( b\t|imes c\r|
|00002a40| 69 67 68 74 29 20 5c 72 | 69 67 68 74 29 20 5c 74 |ight) \r|ight) \t|
|00002a50| 69 6d 65 73 20 64 3d 5c | 6c 65 66 74 28 20 61 5c |imes d=\|left( a\|
|00002a60| 74 69 6d 65 73 0d 0a 5c | 6c 65 66 74 28 20 32 2c |times..\|left( 2,|
|00002a70| 2d 34 2c 32 5c 72 69 67 | 68 74 29 20 5c 72 69 67 |-4,2\rig|ht) \rig|
|00002a80| 68 74 29 20 5c 74 69 6d | 65 73 20 64 3d 5c 6c 65 |ht) \tim|es d=\le|
|00002a90| 66 74 28 20 31 36 2c 34 | 2c 2d 38 5c 72 69 67 68 |ft( 16,4|,-8\righ|
|00002aa0| 74 29 20 5c 74 69 6d 65 | 73 20 64 3d 5c 6c 65 66 |t) \time|s d=\lef|
|00002ab0| 74 28 0d 0a 2d 38 2c 2d | 31 36 2c 2d 32 34 5c 72 |t(..-8,-|16,-24\r|
|00002ac0| 69 67 68 74 29 20 5c 6d | 65 64 73 6b 69 70 20 24 |ight) \m|edskip $|
|00002ad0| 0d 0a 0d 0a 24 5c 6c 65 | 66 74 28 20 61 5c 74 69 |....$\le|ft( a\ti|
|00002ae0| 6d 65 73 20 62 5c 72 69 | 67 68 74 29 20 5c 74 69 |mes b\ri|ght) \ti|
|00002af0| 6d 65 73 20 5c 6c 65 66 | 74 28 20 63 5c 74 69 6d |mes \lef|t( c\tim|
|00002b00| 65 73 20 64 5c 72 69 67 | 68 74 29 20 3d 5c 6c 65 |es d\rig|ht) =\le|
|00002b10| 66 74 28 0d 0a 2d 32 2c | 34 2c 2d 32 5c 72 69 67 |ft(..-2,|4,-2\rig|
|00002b20| 68 74 29 20 5c 74 69 6d | 65 73 20 5c 6c 65 66 74 |ht) \tim|es \left|
|00002b30| 28 20 31 2c 32 2c 2d 37 | 5c 72 69 67 68 74 29 20 |( 1,2,-7|\right) |
|00002b40| 3d 5c 6c 65 66 74 28 20 | 2d 32 34 2c 2d 31 36 2c |=\left( |-24,-16,|
|00002b50| 2d 38 5c 72 69 67 68 74 | 29 0d 0a 5c 6d 65 64 73 |-8\right|)..\meds|
|00002b60| 6b 69 70 20 24 0d 0a 0d | 0a 24 5c 6c 65 66 74 28 |kip $...|.$\left(|
|00002b70| 20 5c 6c 65 66 74 28 20 | 61 5c 74 69 6d 65 73 20 | \left( |a\times |
|00002b80| 62 5c 72 69 67 68 74 29 | 20 5c 74 69 6d 65 73 20 |b\right)| \times |
|00002b90| 63 5c 72 69 67 68 74 29 | 20 5c 74 69 6d 65 73 20 |c\right)| \times |
|00002ba0| 64 3d 5c 6c 65 66 74 28 | 20 5c 6c 65 66 74 28 0d |d=\left(| \left(.|
|00002bb0| 0a 2d 32 2c 34 2c 2d 32 | 5c 72 69 67 68 74 29 20 |.-2,4,-2|\right) |
|00002bc0| 5c 74 69 6d 65 73 20 63 | 5c 72 69 67 68 74 29 20 |\times c|\right) |
|00002bd0| 5c 74 69 6d 65 73 20 64 | 3d 5c 6c 65 66 74 28 20 |\times d|=\left( |
|00002be0| 38 2c 2d 34 2c 2d 31 36 | 5c 72 69 67 68 74 29 20 |8,-4,-16|\right) |
|00002bf0| 5c 74 69 6d 65 73 0d 0a | 64 3d 5c 6c 65 66 74 28 |\times..|d=\left(|
|00002c00| 20 2d 31 36 2c 2d 33 32 | 2c 30 5c 72 69 67 68 74 | -16,-32|,0\right|
|00002c10| 29 20 5c 62 69 67 73 6b | 69 70 20 24 0d 0a 0d 0a |) \bigsk|ip $....|
|00002c20| 24 5c 6c 65 66 74 28 20 | 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e |$\left( |..\begin|
|00002c30| 7b 61 72 72 61 79 7d 7b | 72 7d 0d 0a 2e 33 35 20 |{array}{|r}...35 |
|00002c40| 5c 5c 20 0d 0a 2d 2e 37 | 33 20 5c 5c 20 0d 0a 31 |\\ ..-.7|3 \\ ..1|
|00002c50| 2e 32 0d 0a 5c 65 6e 64 | 7b 61 72 72 61 79 7d 0d |.2..\end|{array}.|
|00002c60| 0a 5c 72 69 67 68 74 29 | 20 5c 74 69 6d 65 73 20 |.\right)| \times |
|00002c70| 5c 6c 65 66 74 28 20 5c | 6c 65 66 74 28 20 5c 6c |\left( \|left( \l|
|00002c80| 65 66 74 28 20 0d 0a 5c | 62 65 67 69 6e 7b 61 72 |eft( ..\|begin{ar|
|00002c90| 72 61 79 7d 7b 72 7d 0d | 0a 2e 38 35 20 5c 5c 20 |ray}{r}.|..85 \\ |
|00002ca0| 0d 0a 2e 33 32 20 5c 5c | 20 0d 0a 2d 2e 37 37 0d |...32 \\| ..-.77.|
|00002cb0| 0a 5c 65 6e 64 7b 61 72 | 72 61 79 7d 0d 0a 5c 72 |.\end{ar|ray}..\r|
|00002cc0| 69 67 68 74 29 20 5c 74 | 69 6d 65 73 20 5c 6c 65 |ight) \t|imes \le|
|00002cd0| 66 74 28 20 0d 0a 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 61 72 72 |ft( ..\b|egin{arr|
|00002ce0| 61 79 7d 7b 72 7d 0d 0a | 31 2e 33 35 20 5c 5c 20 |ay}{r}..|1.35 \\ |
|00002cf0| 0d 0a 2d 2e 32 33 20 5c | 5c 20 0d 0a 31 2e 32 36 |..-.23 \|\ ..1.26|
|00002d00| 0d 0a 5c 65 6e 64 7b 61 | 72 72 61 79 7d 0d 0a 5c |..\end{a|rray}..\|
|00002d10| 72 69 67 68 74 29 20 5c | 72 69 67 68 74 29 20 5c |right) \|right) \|
|00002d20| 74 69 6d 65 73 20 5c 6c | 65 66 74 28 20 0d 0a 5c |times \l|eft( ..\|
|00002d30| 62 65 67 69 6e 7b 61 72 | 72 61 79 7d 7b 72 7d 0d |begin{ar|ray}{r}.|
|00002d40| 0a 2d 31 2e 38 35 20 5c | 5c 20 0d 0a 2e 35 37 20 |.-1.85 \|\ ...57 |
|00002d50| 5c 5c 20 0d 0a 2e 33 37 | 35 0d 0a 5c 65 6e 64 7b |\\ ...37|5..\end{|
|00002d60| 61 72 72 61 79 7d 0d 0a | 5c 72 69 67 68 74 29 20 |array}..|\right) |
|00002d70| 5c 72 69 67 68 74 29 20 | 5c 6d 65 64 73 6b 69 70 |\right) |\medskip|
|00002d80| 20 24 0d 0a 0d 0a 24 5c | 71 71 75 61 64 20 5c 71 | $....$\|qquad \q|
|00002d90| 71 75 61 64 20 5c 71 71 | 75 61 64 20 3d 5c 6c 65 |quad \qq|uad =\le|
|00002da0| 66 74 28 20 0d 0a 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 61 72 72 |ft( ..\b|egin{arr|
|00002db0| 61 79 7d 7b 72 7d 0d 0a | 2e 33 35 20 5c 5c 20 0d |ay}{r}..|.35 \\ .|
|00002dc0| 0a 2d 2e 37 33 20 5c 5c | 20 0d 0a 31 2e 32 0d 0a |.-.73 \\| ..1.2..|
|00002dd0| 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 | 61 79 7d 0d 0a 5c 72 69 |\end{arr|ay}..\ri|
|00002de0| 67 68 74 29 20 5c 74 69 | 6d 65 73 20 5c 6c 65 66 |ght) \ti|mes \lef|
|00002df0| 74 28 20 5c 6c 65 66 74 | 28 20 0d 0a 5c 62 65 67 |t( \left|( ..\beg|
|00002e00| 69 6e 7b 61 72 72 61 79 | 7d 7b 63 7d 0d 0a 2e 5c |in{array|}{c}...\|
|00002e10| 2c 5c 61 6c 6c 6f 77 62 | 72 65 61 6b 20 32 32 36 |,\allowb|reak 226|
|00002e20| 5c 2c 31 20 5c 5c 20 0d | 0a 2d 32 2e 5c 2c 5c 61 |\,1 \\ .|.-2.\,\a|
|00002e30| 6c 6c 6f 77 62 72 65 61 | 6b 20 31 31 30 5c 2c 35 |llowbrea|k 110\,5|
|00002e40| 20 5c 5c 20 0d 0a 2d 2e | 5c 2c 5c 61 6c 6c 6f 77 | \\ ..-.|\,\allow|
|00002e50| 62 72 65 61 6b 20 36 32 | 37 5c 2c 35 0d 0a 5c 65 |break 62|7\,5..\e|
|00002e60| 6e 64 7b 61 72 72 61 79 | 7d 0d 0a 5c 72 69 67 68 |nd{array|}..\righ|
|00002e70| 74 29 20 5c 74 69 6d 65 | 73 20 5c 6c 65 66 74 28 |t) \time|s \left(|
|00002e80| 20 0d 0a 5c 62 65 67 69 | 6e 7b 61 72 72 61 79 7d | ..\begi|n{array}|
|00002e90| 7b 72 7d 0d 0a 2d 31 2e | 38 35 20 5c 5c 20 0d 0a |{r}..-1.|85 \\ ..|
|00002ea0| 2e 35 37 20 5c 5c 20 0d | 0a 2e 33 37 35 0d 0a 5c |.57 \\ .|..375..\|
|00002eb0| 65 6e 64 7b 61 72 72 61 | 79 7d 0d 0a 5c 72 69 67 |end{arra|y}..\rig|
|00002ec0| 68 74 29 20 5c 72 69 67 | 68 74 29 20 5c 6d 65 64 |ht) \rig|ht) \med|
|00002ed0| 73 6b 69 70 20 24 0d 0a | 0d 0a 24 5c 71 71 75 61 |skip $..|..$\qqua|
|00002ee0| 64 20 5c 71 71 75 61 64 | 20 5c 71 71 75 61 64 20 |d \qquad| \qquad |
|00002ef0| 3d 5c 6c 65 66 74 28 20 | 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e |=\left( |..\begin|
|00002f00| 7b 61 72 72 61 79 7d 7b | 72 7d 0d 0a 2e 33 35 20 |{array}{|r}...35 |
|00002f10| 5c 5c 20 0d 0a 2d 2e 37 | 33 20 5c 5c 20 0d 0a 31 |\\ ..-.7|3 \\ ..1|
|00002f20| 2e 32 0d 0a 5c 65 6e 64 | 7b 61 72 72 61 79 7d 0d |.2..\end|{array}.|
|00002f30| 0a 5c 72 69 67 68 74 29 | 20 5c 74 69 6d 65 73 20 |.\right)| \times |
|00002f40| 5c 6c 65 66 74 28 20 0d | 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b |\left( .|.\begin{|
|00002f50| 61 72 72 61 79 7d 7b 63 | 7d 0d 0a 2d 2e 5c 2c 5c |array}{c|}..-.\,\|
|00002f60| 61 6c 6c 6f 77 62 72 65 | 61 6b 20 34 33 33 5c 2c |allowbre|ak 433\,|
|00002f70| 37 36 20 5c 5c 20 0d 0a | 31 2e 5c 2c 5c 61 6c 6c |76 \\ ..|1.\,\all|
|00002f80| 6f 77 62 72 65 61 6b 20 | 30 37 36 5c 2c 31 20 5c |owbreak |076\,1 \|
|00002f90| 5c 20 0d 0a 2d 33 2e 5c | 2c 5c 61 6c 6c 6f 77 62 |\ ..-3.\|,\allowb|
|00002fa0| 72 65 61 6b 20 37 37 35 | 5c 2c 35 0d 0a 5c 65 6e |reak 775|\,5..\en|
|00002fb0| 64 7b 61 72 72 61 79 7d | 0d 0a 5c 72 69 67 68 74 |d{array}|..\right|
|00002fc0| 29 20 5c 61 6c 6c 6f 77 | 62 72 65 61 6b 20 3d 5c |) \allow|break =\|
|00002fd0| 61 6c 6c 6f 77 62 72 65 | 61 6b 20 5c 6c 65 66 74 |allowbre|ak \left|
|00002fe0| 28 20 0d 0a 5c 62 65 67 | 69 6e 7b 61 72 72 61 79 |( ..\beg|in{array|
|00002ff0| 7d 7b 63 7d 0d 0a 31 2e | 5c 2c 5c 61 6c 6c 6f 77 |}{c}..1.|\,\allow|
|00003000| 62 72 65 61 6b 20 34 36 | 34 5c 2c 38 20 5c 5c 20 |break 46|4\,8 \\ |
|00003010| 0d 0a 2e 5c 2c 5c 61 6c | 6c 6f 77 62 72 65 61 6b |...\,\al|lowbreak|
|00003020| 20 38 30 30 5c 2c 39 31 | 20 5c 5c 20 0d 0a 2e 30 | 800\,91| \\ ...0|
|00003030| 5c 2c 5c 61 6c 6c 6f 77 | 62 72 65 61 6b 20 35 39 |\,\allow|break 59|
|00003040| 39 5c 2c 39 0d 0a 5c 65 | 6e 64 7b 61 72 72 61 79 |9\,9..\e|nd{array|
|00003050| 7d 0d 0a 5c 72 69 67 68 | 74 29 20 24 0d 0a 5c 65 |}..\righ|t) $..\e|
|00003060| 6e 64 7b 71 75 6f 74 61 | 74 69 6f 6e 7d 0d 0a 0d |nd{quota|tion}...|
|00003070| 0a 5c 73 74 72 75 74 0d | 0a 0d 0a 5c 62 65 67 69 |.\strut.|...\begi|
|00003080| 6e 7b 71 75 6f 74 61 74 | 69 6f 6e 7d 0d 0a 5c 65 |n{quotat|ion}..\e|
|00003090| 6d 70 68 7b 54 69 70 5c | 71 75 61 64 20 7d 50 61 |mph{Tip\|quad }Pa|
|000030a0| 72 65 6e 74 68 65 73 65 | 73 20 61 72 65 20 69 6d |renthese|s are im|
|000030b0| 70 6f 72 74 61 6e 74 2e | 20 41 73 20 61 6c 77 61 |portant.| As alwa|
|000030c0| 79 73 2c 20 63 61 72 65 | 66 75 6c 20 61 6e 64 20 |ys, care|ful and |
|000030d0| 63 6f 6e 73 69 73 74 65 | 6e 74 0d 0a 75 73 65 20 |consiste|nt..use |
|000030e0| 6f 66 20 6d 61 74 68 65 | 6d 61 74 69 63 61 6c 20 |of mathe|matical |
|000030f0| 6e 6f 74 61 74 69 6f 6e | 20 69 73 20 69 6e 20 6f |notation| is in o|
|00003100| 72 64 65 72 2e 20 57 68 | 65 6e 20 69 6e 20 64 6f |rder. Wh|en in do|
|00003110| 75 62 74 2c 20 61 64 64 | 20 61 6e 20 65 78 74 72 |ubt, add| an extr|
|00003120| 61 20 73 65 74 20 6f 66 | 0d 0a 70 61 72 65 6e 74 |a set of|..parent|
|00003130| 68 65 73 65 73 20 74 6f | 20 63 6c 61 72 69 66 79 |heses to| clarify|
|00003140| 20 61 6e 20 65 78 70 72 | 65 73 73 69 6f 6e 2e 20 | an expr|ession. |
|00003150| 5c 62 69 67 73 6b 69 70 | 0d 0a 5c 65 6e 64 7b 71 |\bigskip|..\end{q|
|00003160| 75 6f 74 61 74 69 6f 6e | 7d 0d 0a 0d 0a 57 68 65 |uotation|}....Whe|
|00003170| 6e 20 6d 69 78 69 6e 67 | 20 63 72 6f 73 73 20 70 |n mixing| cross p|
|00003180| 72 6f 64 75 63 74 73 20 | 77 69 74 68 20 73 63 61 |roducts |with sca|
|00003190| 6c 61 72 20 70 72 6f 64 | 75 63 74 73 2c 20 75 73 |lar prod|ucts, us|
|000031a0| 65 20 70 61 72 65 6e 74 | 68 65 73 65 73 20 66 6f |e parent|heses fo|
|000031b0| 72 20 63 6c 61 72 69 74 | 79 2e 0d 0a 0d 0a 5c 62 |r clarit|y.....\b|
|000031c0| 65 67 69 6e 7b 71 75 6f | 74 65 7d 0d 0a 24 5c 62 |egin{quo|te}..$\b|
|000031d0| 6c 61 63 6b 74 72 69 61 | 6e 67 6c 65 72 69 67 68 |lacktria|nglerigh|
|000031e0| 74 20 24 20 5c 74 65 78 | 74 73 66 7b 45 76 61 6c |t $ \tex|tsf{Eval|
|000031f0| 75 61 74 65 7d 0d 0a 5c | 65 6e 64 7b 71 75 6f 74 |uate}..\|end{quot|
|00003200| 65 7d 0d 0a 0d 0a 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 71 75 6f |e}....\b|egin{quo|
|00003210| 74 61 74 69 6f 6e 7d 0d | 0a 24 28 31 2c 30 2c 31 |tation}.|.$(1,0,1|
|00003220| 29 5c 63 64 6f 74 20 5c | 6c 65 66 74 28 20 28 31 |)\cdot \|left( (1|
|00003230| 2c 32 2c 33 29 5c 74 69 | 6d 65 73 20 28 33 2c 32 |,2,3)\ti|mes (3,2|
|00003240| 2c 31 29 5c 72 69 67 68 | 74 29 20 3d 5c 2c 2d 38 |,1)\righ|t) =\,-8|
|00003250| 24 0d 0a 0d 0a 24 5c 6c | 65 66 74 28 20 28 31 2c |$....$\l|eft( (1,|
|00003260| 30 2c 31 29 5c 74 69 6d | 65 73 20 28 31 2c 32 2c |0,1)\tim|es (1,2,|
|00003270| 33 29 5c 72 69 67 68 74 | 29 20 5c 63 64 6f 74 20 |3)\right|) \cdot |
|00003280| 28 33 2c 32 2c 31 29 3d | 5c 2c 2d 38 5c 6d 65 64 |(3,2,1)=|\,-8\med|
|00003290| 73 6b 69 70 20 24 0d 0a | 5c 65 6e 64 7b 71 75 6f |skip $..|\end{quo|
|000032a0| 74 61 74 69 6f 6e 7d 0d | 0a 0d 0a 57 69 74 68 6f |tation}.|...Witho|
|000032b0| 75 74 20 74 68 65 73 65 | 20 70 61 72 65 6e 74 68 |ut these| parenth|
|000032c0| 65 73 65 73 2c 20 79 6f | 75 20 6f 62 74 61 69 6e |eses, yo|u obtain|
|000032d0| 20 64 69 66 66 65 72 65 | 6e 74 20 72 65 73 75 6c | differe|nt resul|
|000032e0| 74 73 20 66 6f 72 20 74 | 68 65 20 66 69 72 73 74 |ts for t|he first|
|000032f0| 0d 0a 70 72 6f 64 75 63 | 74 2e 0d 0a 0d 0a 5c 62 |..produc|t.....\b|
|00003300| 65 67 69 6e 7b 71 75 6f | 74 65 7d 0d 0a 24 5c 62 |egin{quo|te}..$\b|
|00003310| 6c 61 63 6b 74 72 69 61 | 6e 67 6c 65 72 69 67 68 |lacktria|nglerigh|
|00003320| 74 20 24 20 5c 74 65 78 | 74 73 66 7b 45 76 61 6c |t $ \tex|tsf{Eval|
|00003330| 75 61 74 65 7d 0d 0a 5c | 65 6e 64 7b 71 75 6f 74 |uate}..\|end{quot|
|00003340| 65 7d 0d 0a 0d 0a 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 71 75 6f |e}....\b|egin{quo|
|00003350| 74 61 74 69 6f 6e 7d 0d | 0a 24 28 31 2c 30 2c 31 |tation}.|.$(1,0,1|
|00003360| 29 5c 63 64 6f 74 20 28 | 31 2c 32 2c 33 29 5c 74 |)\cdot (|1,2,3)\t|
|00003370| 69 6d 65 73 20 28 33 2c | 32 2c 31 29 3d 5c 2c 34 |imes (3,|2,1)=\,4|
|00003380| 5c 6c 65 66 74 5b 20 0d | 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b |\left[ .|.\begin{|
|00003390| 61 72 72 61 79 7d 7b 63 | 7d 0d 0a 33 20 5c 5c 20 |array}{c|}..3 \\ |
|000033a0| 0d 0a 32 20 5c 5c 20 0d | 0a 31 0d 0a 5c 65 6e 64 |..2 \\ .|.1..\end|
|000033b0| 7b 61 72 72 61 79 7d 0d | 0a 5c 72 69 67 68 74 5d |{array}.|.\right]|
|000033c0| 20 24 0d 0a 0d 0a 24 28 | 31 2c 30 2c 31 29 5c 74 | $....$(|1,0,1)\t|
|000033d0| 69 6d 65 73 20 28 31 2c | 32 2c 33 29 5c 63 64 6f |imes (1,|2,3)\cdo|
|000033e0| 74 20 28 33 2c 32 2c 31 | 29 3d 5c 2c 2d 38 24 0d |t (3,2,1|)=\,-8$.|
|000033f0| 0a 0d 0a 24 28 31 2c 32 | 2c 33 29 5c 74 69 6d 65 |...$(1,2|,3)\time|
|00003400| 73 20 28 33 2c 32 2c 31 | 29 5c 63 64 6f 74 20 28 |s (3,2,1|)\cdot (|
|00003410| 31 2c 30 2c 31 29 3d 5c | 2c 2d 38 5c 6d 65 64 73 |1,0,1)=\|,-8\meds|
|00003420| 6b 69 70 20 24 0d 0a 5c | 65 6e 64 7b 71 75 6f 74 |kip $..\|end{quot|
|00003430| 61 74 69 6f 6e 7d 0d 0a | 0d 0a 5c 73 74 72 75 74 |ation}..|..\strut|
|00003440| 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 67 | 69 6e 7b 71 75 6f 74 61 |....\beg|in{quota|
|00003450| 74 69 6f 6e 7d 0d 0a 5c | 65 6d 70 68 7b 4e 6f 74 |tion}..\|emph{Not|
|00003460| 65 5c 71 75 61 64 20 7d | 20 0d 0a 5c 69 6e 64 65 |e\quad }| ..\inde|
|00003470| 78 7b 50 61 72 61 6c 6c | 65 6c 65 70 69 70 65 64 |x{Parall|elepiped|
|00003480| 40 50 61 72 61 6c 6c 65 | 6c 65 70 69 70 65 64 7d |@Paralle|lepiped}|
|00003490| 5c 6c 61 62 65 6c 7b 50 | 61 72 61 6c 6c 65 6c 70 |\label{P|arallelp|
|000034a0| 69 70 65 64 7d 54 68 65 | 20 74 72 69 70 6c 65 20 |iped}The| triple |
|000034b0| 73 63 61 6c 61 72 0d 0a | 70 72 6f 64 75 63 74 20 |scalar..|product |
|000034c0| 68 61 73 20 61 6e 20 69 | 6e 74 65 72 65 73 74 69 |has an i|nteresti|
|000034d0| 6e 67 20 67 65 6f 6d 65 | 74 72 69 63 20 69 6e 74 |ng geome|tric int|
|000034e0| 65 72 70 72 65 74 61 74 | 69 6f 6e 2e 20 54 68 65 |erpretat|ion. The|
|000034f0| 20 76 6f 6c 75 6d 65 20 | 6f 66 20 74 68 65 0d 0a | volume |of the..|
|00003500| 70 61 72 61 6c 6c 65 6c | 65 70 69 70 65 64 20 73 |parallel|epiped s|
|00003510| 70 61 6e 6e 65 64 20 62 | 79 20 74 68 72 65 65 20 |panned b|y three |
|00003520| 76 65 63 74 6f 72 73 20 | 24 41 24 2c 20 24 42 24 |vectors |$A$, $B$|
|00003530| 2c 20 61 6e 64 20 24 43 | 24 20 69 73 20 65 71 75 |, and $C|$ is equ|
|00003540| 61 6c 20 74 6f 20 24 25 | 0d 0a 5c 6c 65 66 74 7c |al to $%|..\left||
|00003550| 20 41 5c 63 64 6f 74 20 | 5c 6c 65 66 74 28 20 42 | A\cdot |\left( B|
|00003560| 5c 74 69 6d 65 73 20 43 | 5c 72 69 67 68 74 29 20 |\times C|\right) |
|00003570| 5c 72 69 67 68 74 7c 20 | 24 2e 20 54 68 75 73 2c |\right| |$. Thus,|
|00003580| 20 74 68 65 20 76 6f 6c | 75 6d 65 20 6f 66 20 74 | the vol|ume of t|
|00003590| 68 65 0d 0a 70 61 72 61 | 6c 6c 65 6c 65 70 69 70 |he..para|llelepip|
|000035a0| 65 64 20 73 70 61 6e 6e | 65 64 20 62 79 20 24 5c |ed spann|ed by $\|
|000035b0| 6c 65 66 74 28 20 31 2c | 31 2c 30 5c 72 69 67 68 |left( 1,|1,0\righ|
|000035c0| 74 29 20 24 2c 20 24 5c | 6c 65 66 74 28 20 31 2c |t) $, $\|left( 1,|
|000035d0| 30 2c 31 5c 72 69 67 68 | 74 29 20 24 2c 0d 0a 61 |0,1\righ|t) $,..a|
|000035e0| 6e 64 20 24 5c 6c 65 66 | 74 28 20 30 2c 31 2c 31 |nd $\lef|t( 0,1,1|
|000035f0| 5c 72 69 67 68 74 29 20 | 24 20 69 73 20 67 69 76 |\right) |$ is giv|
|00003600| 65 6e 20 62 79 20 0d 0a | 5c 5b 0d 0a 5c 6c 65 66 |en by ..|\[..\lef|
|00003610| 74 7c 20 5c 6c 65 66 74 | 28 20 31 2c 31 2c 30 5c |t| \left|( 1,1,0\|
|00003620| 72 69 67 68 74 29 20 5c | 63 64 6f 74 20 5c 6c 65 |right) \|cdot \le|
|00003630| 66 74 5b 20 5c 6c 65 66 | 74 28 20 31 2c 30 2c 31 |ft[ \lef|t( 1,0,1|
|00003640| 5c 72 69 67 68 74 29 20 | 5c 74 69 6d 65 73 20 5c |\right) |\times \|
|00003650| 6c 65 66 74 28 0d 0a 30 | 2c 31 2c 31 5c 72 69 67 |left(..0|,1,1\rig|
|00003660| 68 74 29 20 5c 72 69 67 | 68 74 5d 20 5c 72 69 67 |ht) \rig|ht] \rig|
|00003670| 68 74 7c 20 3d 5c 2c 32 | 20 0d 0a 5c 5d 0d 0a 49 |ht| =\,2| ..\]..I|
|00003680| 6e 20 70 61 72 74 69 63 | 75 6c 61 72 2c 20 74 68 |n partic|ular, th|
|00003690| 69 73 20 76 61 6c 75 65 | 20 64 6f 65 73 20 6e 6f |is value| does no|
|000036a0| 74 20 64 65 70 65 6e 64 | 20 6f 6e 20 74 68 65 20 |t depend| on the |
|000036b0| 6f 72 64 65 72 20 6f 66 | 20 74 68 65 20 76 65 63 |order of| the vec|
|000036c0| 74 6f 72 73 20 69 6e 20 | 74 68 65 0d 0a 74 72 69 |tors in |the..tri|
|000036d0| 70 6c 65 20 73 63 61 6c | 61 72 20 70 72 6f 64 75 |ple scal|ar produ|
|000036e0| 63 74 2e 20 0d 0a 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 65 71 6e |ct. ..\b|egin{eqn|
|000036f0| 61 72 72 61 79 2a 7d 0d | 0a 5c 6c 65 66 74 7c 20 |array*}.|.\left| |
|00003700| 5c 6c 65 66 74 28 20 31 | 2c 30 2c 31 5c 72 69 67 |\left( 1|,0,1\rig|
|00003710| 68 74 29 20 5c 63 64 6f | 74 20 5c 6c 65 66 74 5b |ht) \cdo|t \left[|
|00003720| 20 5c 6c 65 66 74 28 20 | 31 2c 31 2c 30 5c 72 69 | \left( |1,1,0\ri|
|00003730| 67 68 74 29 20 5c 74 69 | 6d 65 73 20 5c 6c 65 66 |ght) \ti|mes \lef|
|00003740| 74 28 0d 0a 30 2c 31 2c | 31 5c 72 69 67 68 74 29 |t(..0,1,|1\right)|
|00003750| 20 5c 72 69 67 68 74 5d | 20 5c 72 69 67 68 74 7c | \right]| \right||
|00003760| 20 26 3d 26 32 20 5c 5c | 0d 0a 5c 6c 65 66 74 7c | &=&2 \\|..\left||
|00003770| 20 5c 6c 65 66 74 28 20 | 30 2c 31 2c 31 5c 72 69 | \left( |0,1,1\ri|
|00003780| 67 68 74 29 20 5c 63 64 | 6f 74 20 5c 6c 65 66 74 |ght) \cd|ot \left|
|00003790| 5b 20 5c 6c 65 66 74 28 | 20 31 2c 31 2c 30 5c 72 |[ \left(| 1,1,0\r|
|000037a0| 69 67 68 74 29 20 5c 74 | 69 6d 65 73 20 5c 6c 65 |ight) \t|imes \le|
|000037b0| 66 74 28 0d 0a 31 2c 30 | 2c 31 5c 72 69 67 68 74 |ft(..1,0|,1\right|
|000037c0| 29 20 5c 72 69 67 68 74 | 5d 20 5c 72 69 67 68 74 |) \right|] \right|
|000037d0| 7c 20 26 3d 26 32 0d 0a | 5c 65 6e 64 7b 65 71 6e || &=&2..|\end{eqn|
|000037e0| 61 72 72 61 79 2a 7d 0d | 0a 5c 65 6e 64 7b 71 75 |array*}.|.\end{qu|
|000037f0| 6f 74 61 74 69 6f 6e 7d | 0d 0a 0d 0a 5c 73 74 72 |otation}|....\str|
|00003800| 75 74 0d 0a 0d 0a 5c 73 | 75 62 73 65 63 74 69 6f |ut....\s|ubsectio|
|00003810| 6e 7b 5c 20 56 65 63 74 | 6f 72 20 4e 6f 72 6d 73 |n{\ Vect|or Norms|
|00003820| 5c 6c 61 62 65 6c 7b 56 | 65 63 74 6f 72 20 6e 6f |\label{V|ector no|
|00003830| 72 6d 73 7d 7d 0d 0a 0d | 0a 59 6f 75 20 63 61 6e |rms}}...|.You can|
|00003840| 20 63 6f 6d 70 75 74 65 | 20 0d 0a 5c 69 6e 64 65 | compute| ..\inde|
|00003850| 78 7b 56 65 63 74 6f 72 | 40 56 65 63 74 6f 72 21 |x{Vector|@Vector!|
|00003860| 6e 6f 72 6d 40 6e 6f 72 | 6d 7d 76 65 63 74 6f 72 |norm@nor|m}vector|
|00003870| 20 6e 6f 72 6d 73 20 69 | 6e 20 5c 74 65 78 74 73 | norms i|n \texts|
|00003880| 6c 7b 53 63 69 65 6e 74 | 69 66 69 63 20 4e 6f 74 |l{Scient|ific Not|
|00003890| 65 62 6f 6f 6b 7d 0d 0a | 66 6f 72 20 65 76 65 72 |ebook}..|for ever|
|000038a0| 79 20 70 6f 73 69 74 69 | 76 65 20 69 6e 74 65 67 |y positi|ve integ|
|000038b0| 65 72 20 24 6e 24 2c 20 | 77 68 65 72 65 20 0d 0a |er $n$, |where ..|
|000038c0| 5c 5b 0d 0a 5c 56 65 72 | 74 20 76 5c 56 65 72 74 |\[..\Ver|t v\Vert|
|000038d0| 20 5f 7b 6e 7d 3d 5c 6c | 65 66 74 28 20 5c 73 75 | _{n}=\l|eft( \su|
|000038e0| 6d 20 5c 6c 65 66 74 7c | 20 76 5f 7b 69 7d 5c 72 |m \left|| v_{i}\r|
|000038f0| 69 67 68 74 7c 20 5e 7b | 6e 7d 5c 72 69 67 68 74 |ight| ^{|n}\right|
|00003900| 29 20 5e 7b 25 0d 0a 5c | 66 72 61 63 7b 31 7d 7b |) ^{%..\|frac{1}{|
|00003910| 6e 7d 7d 20 0d 0a 5c 5d | 0d 0a 61 6e 64 20 66 6f |n}} ..\]|..and fo|
|00003920| 72 20 24 5c 69 6e 66 74 | 79 20 24 2c 20 77 69 74 |r $\inft|y $, wit|
|00003930| 68 20 0d 0a 5c 5b 0d 0a | 5c 6c 65 66 74 5c 7c 20 |h ..\[..|\left\| |
|00003940| 76 5c 72 69 67 68 74 5c | 7c 20 5f 7b 5c 69 6e 66 |v\right\|| _{\inf|
|00003950| 74 79 20 7d 3d 5c 6d 61 | 78 20 5c 6c 65 66 74 28 |ty }=\ma|x \left(|
|00003960| 20 5c 6c 65 66 74 7c 20 | 76 5f 7b 69 7d 5c 72 69 | \left| |v_{i}\ri|
|00003970| 67 68 74 7c 20 5c 72 69 | 67 68 74 29 20 0d 0a 5c |ght| \ri|ght) ..\|
|00003980| 5d 0d 0a 61 73 20 69 6c | 6c 75 73 74 72 61 74 65 |]..as il|lustrate|
|00003990| 64 20 62 79 20 74 68 65 | 20 66 6f 6c 6c 6f 77 69 |d by the| followi|
|000039a0| 6e 67 20 65 78 61 6d 70 | 6c 65 73 2e 5c 6d 65 64 |ng examp|les.\med|
|000039b0| 73 6b 69 70 0d 0a 0d 0a | 5c 62 65 67 69 6e 7b 71 |skip....|\begin{q|
|000039c0| 75 6f 74 65 7d 0d 0a 24 | 5c 62 6c 61 63 6b 74 72 |uote}..$|\blacktr|
|000039d0| 69 61 6e 67 6c 65 72 69 | 67 68 74 20 24 20 5c 74 |iangleri|ght $ \t|
|000039e0| 65 78 74 73 66 7b 45 76 | 61 6c 75 61 74 65 7d 0d |extsf{Ev|aluate}.|
|000039f0| 0a 5c 65 6e 64 7b 71 75 | 6f 74 65 7d 0d 0a 0d 0a |.\end{qu|ote}....|
|00003a00| 5c 62 65 67 69 6e 7b 71 | 75 6f 74 61 74 69 6f 6e |\begin{q|uotation|
|00003a10| 7d 0d 0a 24 5c 56 65 72 | 74 20 5c 6c 65 66 74 28 |}..$\Ver|t \left(|
|00003a20| 20 61 2c 62 2c 63 5c 72 | 69 67 68 74 29 20 5c 56 | a,b,c\r|ight) \V|
|00003a30| 65 72 74 20 5f 7b 31 7d | 3d 5c 61 6c 6c 6f 77 62 |ert _{1}|=\allowb|
|00003a40| 72 65 61 6b 20 5c 6c 65 | 66 74 7c 20 61 5c 72 69 |reak \le|ft| a\ri|
|00003a50| 67 68 74 7c 20 2b 5c 6c | 65 66 74 7c 0d 0a 62 5c |ght| +\l|eft|..b\|
|00003a60| 72 69 67 68 74 7c 20 2b | 5c 6c 65 66 74 7c 20 63 |right| +|\left| c|
|00003a70| 5c 72 69 67 68 74 7c 20 | 5c 76 73 70 61 63 65 7b |\right| |\vspace{|
|00003a80| 36 70 74 7d 24 0d 0a 0d | 0a 24 5c 56 65 72 74 20 |6pt}$...|.$\Vert |
|00003a90| 5c 6c 65 66 74 28 20 61 | 2c 62 2c 63 5c 72 69 67 |\left( a|,b,c\rig|
|00003aa0| 68 74 29 20 5c 56 65 72 | 74 20 5f 7b 33 7d 3d 5c |ht) \Ver|t _{3}=\|
|00003ab0| 61 6c 6c 6f 77 62 72 65 | 61 6b 20 5c 73 71 72 74 |allowbre|ak \sqrt|
|00003ac0| 5b 33 5d 7b 5c 6c 65 66 | 74 28 20 5c 6c 65 66 74 |[3]{\lef|t( \left|
|00003ad0| 7c 0d 0a 61 5c 72 69 67 | 68 74 7c 20 5e 7b 33 7d ||..a\rig|ht| ^{3}|
|00003ae0| 2b 5c 6c 65 66 74 7c 20 | 62 5c 72 69 67 68 74 7c |+\left| |b\right||
|00003af0| 20 5e 7b 33 7d 2b 5c 6c | 65 66 74 7c 20 63 5c 72 | ^{3}+\l|eft| c\r|
|00003b00| 69 67 68 74 7c 20 5e 7b | 33 7d 5c 72 69 67 68 74 |ight| ^{|3}\right|
|00003b10| 29 20 7d 5c 76 73 70 61 | 63 65 7b 36 70 74 7d 24 |) }\vspa|ce{6pt}$|
|00003b20| 25 0d 0a 5c 20 0d 0a 0d | 0a 24 5c 56 65 72 74 20 |%..\ ...|.$\Vert |
|00003b30| 5c 6c 65 66 74 28 20 2d | 31 2c 32 2c 31 5c 72 69 |\left( -|1,2,1\ri|
|00003b40| 67 68 74 29 20 5c 56 65 | 72 74 20 5f 7b 35 7d 3d |ght) \Ve|rt _{5}=|
|00003b50| 5c 61 6c 6c 6f 77 62 72 | 65 61 6b 20 5c 73 71 72 |\allowbr|eak \sqr|
|00003b60| 74 5b 35 5d 7b 33 34 7d | 5c 76 73 70 61 63 65 7b |t[5]{34}|\vspace{|
|00003b70| 36 70 74 7d 24 0d 0a 0d | 0a 24 5c 56 65 72 74 20 |6pt}$...|.$\Vert |
|00003b80| 5c 6c 65 66 74 5b 20 61 | 2c 62 2c 63 5c 72 69 67 |\left[ a|,b,c\rig|
|00003b90| 68 74 5d 20 5c 56 65 72 | 74 20 5f 7b 5c 69 6e 66 |ht] \Ver|t _{\inf|
|00003ba0| 74 79 20 7d 3d 5c 2c 5c | 6d 61 78 20 5c 6c 65 66 |ty }=\,\|max \lef|
|00003bb0| 74 28 20 5c 6c 65 66 74 | 7c 20 61 5c 72 69 67 68 |t( \left|| a\righ|
|00003bc0| 74 7c 0d 0a 2c 5c 6c 65 | 66 74 7c 20 62 5c 72 69 |t|..,\le|ft| b\ri|
|00003bd0| 67 68 74 7c 20 2c 5c 6c | 65 66 74 7c 20 63 5c 72 |ght| ,\l|eft| c\r|
|00003be0| 69 67 68 74 7c 20 5c 72 | 69 67 68 74 29 20 5c 76 |ight| \r|ight) \v|
|00003bf0| 73 70 61 63 65 7b 36 70 | 74 7d 24 5c 20 0d 0a 0d |space{6p|t}$\ ...|
|00003c00| 0a 24 5c 56 65 72 74 20 | 5c 6c 65 66 74 5b 20 38 |.$\Vert |\left[ 8|
|00003c10| 2c 2d 31 30 2c 32 5c 72 | 69 67 68 74 5d 20 5c 56 |,-10,2\r|ight] \V|
|00003c20| 65 72 74 20 5f 7b 5c 69 | 6e 66 74 79 20 7d 3d 5c |ert _{\i|nfty }=\|
|00003c30| 61 6c 6c 6f 77 62 72 65 | 61 6b 20 31 30 5c 76 73 |allowbre|ak 10\vs|
|00003c40| 70 61 63 65 7b 36 70 74 | 7d 24 0d 0a 0d 0a 24 5c |pace{6pt|}$....$\|
|00003c50| 6c 65 66 74 5c 7c 20 5c | 6c 65 66 74 28 20 0d 0a |left\| \|left( ..|
|00003c60| 5c 62 65 67 69 6e 7b 61 | 72 72 61 79 7d 7b 63 7d |\begin{a|rray}{c}|
|00003c70| 0d 0a 61 20 5c 5c 20 0d | 0a 62 0d 0a 5c 65 6e 64 |..a \\ .|.b..\end|
|00003c80| 7b 61 72 72 61 79 7d 0d | 0a 5c 72 69 67 68 74 29 |{array}.|.\right)|
|00003c90| 20 5c 72 69 67 68 74 5c | 7c 20 5f 7b 32 7d 5c 76 | \right\|| _{2}\v|
|00003ca0| 73 70 61 63 65 7b 36 70 | 74 7d 3d 5c 73 71 72 74 |space{6p|t}=\sqrt|
|00003cb0| 7b 5c 6c 65 66 74 28 20 | 5c 6c 65 66 74 7c 20 61 |{\left( |\left| a|
|00003cc0| 5c 72 69 67 68 74 7c 20 | 5e 7b 32 7d 2b 5c 6c 65 |\right| |^{2}+\le|
|00003cd0| 66 74 7c 0d 0a 62 5c 72 | 69 67 68 74 7c 20 5e 7b |ft|..b\r|ight| ^{|
|00003ce0| 32 7d 5c 72 69 67 68 74 | 29 20 7d 24 0d 0a 0d 0a |2}\right|) }$....|
|00003cf0| 24 5c 6c 65 66 74 5c 7c | 20 5c 6c 65 66 74 28 20 |$\left\|| \left( |
|00003d00| 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e | 7b 61 72 72 61 79 7d 7b |..\begin|{array}{|
|00003d10| 63 63 63 7d 0d 0a 61 20 | 26 20 62 20 26 20 63 0d |ccc}..a |& b & c.|
|00003d20| 0a 5c 65 6e 64 7b 61 72 | 72 61 79 7d 0d 0a 5c 72 |.\end{ar|ray}..\r|
|00003d30| 69 67 68 74 29 20 5c 72 | 69 67 68 74 5c 7c 20 5f |ight) \r|ight\| _|
|00003d40| 7b 34 7d 3d 5c 73 71 72 | 74 5b 34 5d 7b 5c 6c 65 |{4}=\sqr|t[4]{\le|
|00003d50| 66 74 28 20 5c 6c 65 66 | 74 7c 20 61 5c 72 69 67 |ft( \lef|t| a\rig|
|00003d60| 68 74 7c 20 5e 7b 34 7d | 2b 5c 6c 65 66 74 7c 20 |ht| ^{4}|+\left| |
|00003d70| 62 5c 72 69 67 68 74 7c | 0d 0a 5e 7b 34 7d 2b 5c |b\right||..^{4}+\|
|00003d80| 6c 65 66 74 7c 20 63 5c | 72 69 67 68 74 7c 20 5e |left| c\|right| ^|
|00003d90| 7b 34 7d 5c 72 69 67 68 | 74 29 20 7d 5c 6d 65 64 |{4}\righ|t) }\med|
|00003da0| 73 6b 69 70 20 24 0d 0a | 5c 65 6e 64 7b 71 75 6f |skip $..|\end{quo|
|00003db0| 74 61 74 69 6f 6e 7d 0d | 0a 0d 0a 5c 62 65 67 69 |tation}.|...\begi|
|00003dc0| 6e 7b 71 75 6f 74 65 7d | 0d 0a 24 5c 62 6c 61 63 |n{quote}|..$\blac|
|00003dd0| 6b 74 72 69 61 6e 67 6c | 65 72 69 67 68 74 20 24 |ktriangl|eright $|
|00003de0| 20 54 6f 20 65 6e 74 65 | 72 20 74 68 65 20 74 77 | To ente|r the tw|
|00003df0| 6f 20 70 61 69 72 73 20 | 6f 66 20 76 65 72 74 69 |o pairs |of verti|
|00003e00| 63 61 6c 20 6c 69 6e 65 | 73 20 75 73 65 64 20 69 |cal line|s used i|
|00003e10| 6e 20 74 68 65 0d 0a 6e | 6f 72 6d 20 73 79 6d 62 |n the..n|orm symb|
|00003e20| 6f 6c 0d 0a 5c 65 6e 64 | 7b 71 75 6f 74 65 7d 0d |ol..\end|{quote}.|
|00003e30| 0a 0d 0a 5c 62 65 67 69 | 6e 7b 69 74 65 6d 69 7a |...\begi|n{itemiz|
|00003e40| 65 7d 0d 0a 5c 69 74 65 | 6d 20 20 43 6c 69 63 6b |e}..\ite|m  Click|
|00003e50| 20 5c 46 52 41 4d 45 7b | 69 74 62 70 46 7d 7b 30 | \FRAME{|itbpF}{0|
|00003e60| 2e 33 30 30 39 69 6e 7d | 7b 30 2e 33 30 30 39 69 |.3009in}|{0.3009i|
|00003e70| 6e 7d 7b 30 2e 30 37 30 | 31 69 6e 7d 7b 7d 7b 7d |n}{0.070|1in}{}{}|
|00003e80| 7b 62 72 61 63 6b 65 74 | 73 31 2e 77 6d 66 7d 7b |{bracket|s1.wmf}{|
|00003e90| 25 0d 0a 5c 73 70 65 63 | 69 61 6c 7b 6c 61 6e 67 |%..\spec|ial{lang|
|00003ea0| 75 61 67 65 20 22 53 63 | 69 65 6e 74 69 66 69 63 |uage "Sc|ientific|
|00003eb0| 20 57 6f 72 64 22 3b 74 | 79 70 65 20 22 47 52 41 | Word";t|ype "GRA|
|00003ec0| 50 48 49 43 22 3b 64 69 | 73 70 6c 61 79 20 22 50 |PHIC";di|splay "P|
|00003ed0| 49 43 54 22 3b 76 61 6c | 69 64 5f 66 69 6c 65 0d |ICT";val|id_file.|
|00003ee0| 0a 22 46 22 3b 77 69 64 | 74 68 20 30 2e 33 30 30 |."F";wid|th 0.300|
|00003ef0| 39 69 6e 3b 68 65 69 67 | 68 74 20 30 2e 33 30 30 |9in;heig|ht 0.300|
|00003f00| 39 69 6e 3b 64 65 70 74 | 68 20 30 2e 30 37 30 31 |9in;dept|h 0.0701|
|00003f10| 69 6e 3b 6f 72 69 67 69 | 6e 61 6c 2d 77 69 64 74 |in;origi|nal-widt|
|00003f20| 68 0d 0a 32 30 2e 33 31 | 32 35 70 74 3b 6f 72 69 |h..20.31|25pt;ori|
|00003f30| 67 69 6e 61 6c 2d 68 65 | 69 67 68 74 20 31 38 2e |ginal-he|ight 18.|
|00003f40| 38 31 32 35 70 74 3b 63 | 72 6f 70 6c 65 66 74 20 |8125pt;c|ropleft |
|00003f50| 22 30 22 3b 63 72 6f 70 | 74 6f 70 20 22 31 22 3b |"0";crop|top "1";|
|00003f60| 63 72 6f 70 72 69 67 68 | 74 0d 0a 22 31 22 3b 63 |croprigh|t.."1";c|
|00003f70| 72 6f 70 62 6f 74 74 6f | 6d 20 22 30 22 3b 66 69 |ropbotto|m "0";fi|
|00003f80| 6c 65 6e 61 6d 65 20 27 | 62 72 61 63 6b 65 74 73 |lename '|brackets|
|00003f90| 31 2e 77 6d 66 27 3b 66 | 69 6c 65 2d 70 72 6f 70 |1.wmf';f|ile-prop|
|00003fa0| 65 72 74 69 65 73 20 22 | 58 4e 50 45 55 22 3b 7d |erties "|XNPEU";}|
|00003fb0| 7d 20 6f 72 0d 0a 63 68 | 6f 6f 73 65 20 5c 74 65 |} or..ch|oose \te|
|00003fc0| 78 74 73 66 7b 49 6e 73 | 65 72 74 20 2b 20 42 72 |xtsf{Ins|ert + Br|
|00003fd0| 61 63 6b 65 74 73 7d 2c | 20 61 6e 64 20 73 65 6c |ackets},| and sel|
|00003fe0| 65 63 74 20 74 68 65 20 | 6e 6f 72 6d 20 73 79 6d |ect the |norm sym|
|00003ff0| 62 6f 6c 73 2e 0d 0a 5c | 65 6e 64 7b 69 74 65 6d |bols...\|end{item|
|00004000| 69 7a 65 7d 0d 0a 0d 0a | 42 65 66 6f 72 65 20 64 |ize}....|Before d|
|00004010| 6f 69 6e 67 20 74 68 65 | 20 6e 65 78 74 20 73 65 |oing the| next se|
|00004020| 74 20 6f 66 20 65 78 61 | 6d 70 6c 65 73 2c 20 6d |t of exa|mples, m|
|00004030| 61 6b 65 20 74 68 65 20 | 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e |ake the |followin|
|00004040| 67 20 64 65 66 69 6e 69 | 74 69 6f 6e 2e 5c 6d 65 |g defini|tion.\me|
|00004050| 64 73 6b 69 70 0d 0a 0d | 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b |dskip...|.\begin{|
|00004060| 71 75 6f 74 65 7d 0d 0a | 24 5c 62 6c 61 63 6b 74 |quote}..|$\blackt|
|00004070| 72 69 61 6e 67 6c 65 72 | 69 67 68 74 20 24 20 5c |riangler|ight $ \|
|00004080| 74 65 78 74 73 66 7b 44 | 65 66 69 6e 65 20 2b 20 |textsf{D|efine + |
|00004090| 4e 65 77 20 44 65 66 69 | 6e 69 74 69 6f 6e 7d 0d |New Defi|nition}.|
|000040a0| 0a 5c 65 6e 64 7b 71 75 | 6f 74 65 7d 0d 0a 0d 0a |.\end{qu|ote}....|
|000040b0| 5c 62 65 67 69 6e 7b 71 | 75 6f 74 61 74 69 6f 6e |\begin{q|uotation|
|000040c0| 7d 0d 0a 24 76 3d 5b 33 | 2c 32 2c 31 5d 5c 6d 65 |}..$v=[3|,2,1]\me|
|000040d0| 64 73 6b 69 70 20 24 0d | 0a 5c 65 6e 64 7b 71 75 |dskip $.|.\end{qu|
|000040e0| 6f 74 61 74 69 6f 6e 7d | 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 67 |otation}|....\beg|
|000040f0| 69 6e 7b 71 75 6f 74 65 | 7d 0d 0a 24 5c 62 6c 61 |in{quote|}..$\bla|
|00004100| 63 6b 74 72 69 61 6e 67 | 6c 65 72 69 67 68 74 20 |cktriang|leright |
|00004110| 24 20 5c 74 65 78 74 73 | 66 7b 45 76 61 6c 75 61 |$ \texts|f{Evalua|
|00004120| 74 65 2c 20 45 76 61 6c | 75 61 74 65 20 4e 75 6d |te, Eval|uate Num|
|00004130| 65 72 69 63 61 6c 6c 79 | 7d 0d 0a 5c 65 6e 64 7b |erically|}..\end{|
|00004140| 71 75 6f 74 65 7d 0d 0a | 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e |quote}..|..\begin|
|00004150| 7b 71 75 6f 74 61 74 69 | 6f 6e 7d 0d 0a 24 5c 6c |{quotati|on}..$\l|
|00004160| 65 66 74 5c 7c 20 76 5c | 72 69 67 68 74 5c 7c 20 |eft\| v\|right\| |
|00004170| 5f 7b 31 7d 3d 5c 2c 36 | 5c 76 73 70 61 63 65 7b |_{1}=\,6|\vspace{|
|00004180| 36 70 74 7d 24 0d 0a 0d | 0a 24 5c 6c 65 66 74 5c |6pt}$...|.$\left\|
|00004190| 7c 20 76 5c 72 69 67 68 | 74 5c 7c 20 5f 7b 32 7d || v\righ|t\| _{2}|
|000041a0| 3d 5c 2c 5c 73 71 72 74 | 7b 31 34 7d 3d 5c 2c 33 |=\,\sqrt|{14}=\,3|
|000041b0| 2e 37 34 31 37 5c 76 73 | 70 61 63 65 7b 36 70 74 |.7417\vs|pace{6pt|
|000041c0| 7d 24 0d 0a 0d 0a 24 5c | 6c 65 66 74 5c 7c 20 76 |}$....$\|left\| v|
|000041d0| 5c 72 69 67 68 74 5c 7c | 20 5f 7b 36 7d 3d 5c 2c |\right\|| _{6}=\,|
|000041e0| 5c 73 71 72 74 5b 36 5d | 7b 37 39 34 7d 3d 5c 2c |\sqrt[6]|{794}=\,|
|000041f0| 33 2e 30 34 33 5c 76 73 | 70 61 63 65 7b 36 70 74 |3.043\vs|pace{6pt|
|00004200| 7d 24 0d 0a 0d 0a 24 5c | 6c 65 66 74 5c 7c 20 76 |}$....$\|left\| v|
|00004210| 5c 72 69 67 68 74 5c 7c | 20 5f 7b 32 30 7d 3d 5c |\right\|| _{20}=\|
|00004220| 2c 5c 73 71 72 74 5b 32 | 30 5d 7b 33 34 38 37 38 |,\sqrt[2|0]{34878|
|00004230| 5c 2c 33 32 39 37 38 7d | 3d 5c 2c 33 2e 30 30 30 |\,32978}|=\,3.000|
|00004240| 30 34 35 31 30 33 5c 76 | 73 70 61 63 65 7b 36 70 |045103\v|space{6p|
|00004250| 74 7d 24 0d 0a 0d 0a 24 | 5c 6c 65 66 74 5c 7c 20 |t}$....$|\left\| |
|00004260| 76 5c 72 69 67 68 74 5c | 7c 20 5f 7b 5c 69 6e 66 |v\right\|| _{\inf|
|00004270| 74 79 20 7d 3d 5c 2c 33 | 5c 6d 65 64 73 6b 69 70 |ty }=\,3|\medskip|
|00004280| 20 24 0d 0a 5c 65 6e 64 | 7b 71 75 6f 74 61 74 69 | $..\end|{quotati|
|00004290| 6f 6e 7d 0d 0a 0d 0a 54 | 68 69 73 20 73 65 72 69 |on}....T|his seri|
|000042a0| 65 73 20 6f 66 20 65 78 | 61 6d 70 6c 65 73 20 73 |es of ex|amples s|
|000042b0| 75 67 67 65 73 74 73 20 | 74 68 61 74 20 66 6f 72 |uggests |that for|
|000042c0| 20 61 20 76 65 63 74 6f | 72 20 24 76 24 2c 20 0d | a vecto|r $v$, .|
|000042d0| 0a 5c 5b 0d 0a 5c 6c 69 | 6d 20 5f 7b 6e 5c 72 69 |.\[..\li|m _{n\ri|
|000042e0| 67 68 74 61 72 72 6f 77 | 20 5c 69 6e 66 74 79 20 |ghtarrow| \infty |
|000042f0| 7d 5c 6c 65 66 74 5c 7c | 20 76 5c 72 69 67 68 74 |}\left\|| v\right|
|00004300| 5c 7c 20 5f 6e 3d 5c 6c | 65 66 74 5c 7c 20 76 5c |\| _n=\l|eft\| v\|
|00004310| 72 69 67 68 74 5c 7c 20 | 5f 5c 69 6e 66 74 79 20 |right\| |_\infty |
|00004320| 0d 0a 5c 5d 0d 0a 0d 0a | 5c 6c 61 62 65 6c 7b 45 |..\]....|\label{E|
|00004330| 75 63 6c 69 64 65 61 6e | 20 6e 6f 72 6d 7d 54 68 |uclidean| norm}Th|
|00004340| 65 20 64 65 66 61 75 6c | 74 20 24 5c 6c 65 66 74 |e defaul|t $\left|
|00004350| 5c 7c 20 76 5c 72 69 67 | 68 74 5c 7c 20 24 20 69 |\| v\rig|ht\| $ i|
|00004360| 73 20 74 68 65 20 32 2d | 6e 6f 72 6d 2c 20 77 68 |s the 2-|norm, wh|
|00004370| 69 63 68 0d 0a 69 73 20 | 61 6c 73 6f 20 6b 6e 6f |ich..is |also kno|
|00004380| 77 6e 20 61 73 20 74 68 | 65 20 0d 0a 5c 69 6e 64 |wn as th|e ..\ind|
|00004390| 65 78 7b 45 75 63 6c 69 | 64 65 61 6e 20 6e 6f 72 |ex{Eucli|dean nor|
|000043a0| 6d 40 45 75 63 6c 69 64 | 65 61 6e 20 6e 6f 72 6d |m@Euclid|ean norm|
|000043b0| 7d 5c 74 65 78 74 73 6c | 7b 45 75 63 6c 69 64 65 |}\textsl|{Euclide|
|000043c0| 61 6e 20 6e 6f 72 6d 7d | 2e 5c 6d 65 64 73 6b 69 |an norm}|.\medski|
|000043d0| 70 0d 0a 5c 62 69 67 73 | 6b 69 70 0d 0a 0d 0a 5c |p..\bigs|kip....\|
|000043e0| 62 65 67 69 6e 7b 65 78 | 61 6d 70 6c 65 7d 0d 0a |begin{ex|ample}..|
|000043f0| 5c 6c 61 62 65 6c 7b 50 | 61 72 61 6c 6c 65 6c 6f |\label{P|arallelo|
|00004400| 67 72 61 6d 7d 54 68 65 | 20 61 72 65 61 20 6f 66 |gram}The| area of|
|00004410| 20 74 68 65 20 70 61 72 | 61 6c 6c 65 6c 6f 67 72 | the par|allelogr|
|00004420| 61 6d 20 69 6e 20 74 68 | 65 20 70 6c 61 6e 65 20 |am in th|e plane |
|00004430| 77 69 74 68 0d 0a 76 65 | 72 74 69 63 65 73 20 24 |with..ve|rtices $|
|00004440| 5c 6c 65 66 74 28 20 30 | 2c 30 5c 72 69 67 68 74 |\left( 0|,0\right|
|00004450| 29 20 24 2c 20 24 5c 6c | 65 66 74 28 20 61 5f 7b |) $, $\l|eft( a_{|
|00004460| 31 7d 2c 61 5f 7b 32 7d | 5c 72 69 67 68 74 29 20 |1},a_{2}|\right) |
|00004470| 24 2c 20 24 5c 6c 65 66 | 74 28 0d 0a 62 5f 7b 31 |$, $\lef|t(..b_{1|
|00004480| 7d 2c 62 5f 7b 32 7d 5c | 72 69 67 68 74 29 20 24 |},b_{2}\|right) $|
|00004490| 2c 20 61 6e 64 20 24 5c | 6c 65 66 74 28 20 61 5f |, and $\|left( a_|
|000044a0| 7b 31 7d 2b 62 5f 7b 31 | 7d 2c 61 5f 7b 32 7d 2b |{1}+b_{1|},a_{2}+|
|000044b0| 62 5f 7b 32 7d 5c 72 69 | 67 68 74 29 20 24 20 69 |b_{2}\ri|ght) $ i|
|000044c0| 73 20 67 69 76 65 6e 0d | 0a 62 79 20 0d 0a 5c 5b |s given.|.by ..\[|
|000044d0| 0d 0a 5c 56 65 72 74 20 | 5c 6c 65 66 74 28 20 61 |..\Vert |\left( a|
|000044e0| 5f 7b 31 7d 2c 61 5f 7b | 32 7d 2c 30 5c 72 69 67 |_{1},a_{|2},0\rig|
|000044f0| 68 74 29 20 5c 74 69 6d | 65 73 20 5c 6c 65 66 74 |ht) \tim|es \left|
|00004500| 28 20 62 5f 7b 31 7d 2c | 62 5f 7b 32 7d 2c 30 5c |( b_{1},|b_{2},0\|
|00004510| 72 69 67 68 74 29 20 5c | 56 65 72 74 20 0d 0a 5c |right) \|Vert ..\|
|00004520| 5d 0d 0a 49 6e 20 70 61 | 72 74 69 63 75 6c 61 72 |]..In pa|rticular|
|00004530| 2c 20 74 68 65 20 61 72 | 65 61 20 6f 66 20 74 68 |, the ar|ea of th|
|00004540| 65 20 70 61 72 61 6c 6c | 65 6c 6f 67 72 61 6d 20 |e parall|elogram |
|00004550| 73 70 61 6e 6e 65 64 20 | 62 79 20 74 68 65 20 74 |spanned |by the t|
|00004560| 77 6f 20 76 65 63 74 6f | 72 73 20 24 25 0d 0a 5c |wo vecto|rs $%..\|
|00004570| 6c 65 66 74 28 20 31 2c | 32 5c 72 69 67 68 74 29 |left( 1,|2\right)|
|00004580| 20 24 20 61 6e 64 20 24 | 5c 6c 65 66 74 28 20 32 | $ and $|\left( 2|
|00004590| 2c 31 5c 72 69 67 68 74 | 29 20 24 20 69 73 20 67 |,1\right|) $ is g|
|000045a0| 69 76 65 6e 20 62 79 20 | 0d 0a 5c 5b 0d 0a 5c 6c |iven by |..\[..\l|
|000045b0| 65 66 74 5c 7c 20 5c 6c | 65 66 74 28 20 31 2c 32 |eft\| \l|eft( 1,2|
|000045c0| 2c 30 5c 72 69 67 68 74 | 29 20 5c 74 69 6d 65 73 |,0\right|) \times|
|000045d0| 20 5c 6c 65 66 74 28 20 | 32 2c 31 2c 30 5c 72 69 | \left( |2,1,0\ri|
|000045e0| 67 68 74 29 20 5c 72 69 | 67 68 74 5c 7c 20 3d 5c |ght) \ri|ght\| =\|
|000045f0| 2c 33 20 0d 0a 5c 5d 0d | 0a 5c 65 6e 64 7b 65 78 |,3 ..\].|.\end{ex|
|00004600| 61 6d 70 6c 65 7d 0d 0a | 0d 0a 53 69 6e 63 65 20 |ample}..|..Since |
|00004610| 0d 0a 5c 5b 0d 0a 41 5c | 63 64 6f 74 20 42 3d 5c |..\[..A\|cdot B=\|
|00004620| 6c 65 66 74 5c 7c 20 41 | 5c 72 69 67 68 74 5c 7c |left\| A|\right\||
|00004630| 20 5c 6c 65 66 74 5c 7c | 20 42 5c 72 69 67 68 74 | \left\|| B\right|
|00004640| 5c 7c 20 5c 63 6f 73 20 | 5c 74 68 65 74 61 20 0d |\| \cos |\theta .|
|00004650| 0a 5c 5d 0d 0a 77 68 65 | 72 65 20 24 5c 74 68 65 |.\]..whe|re $\the|
|00004660| 74 61 20 24 20 69 73 20 | 74 68 65 20 61 6e 67 6c |ta $ is |the angl|
|00004670| 65 20 62 65 74 77 65 65 | 6e 20 74 68 65 20 76 65 |e betwee|n the ve|
|00004680| 63 74 6f 72 73 20 24 41 | 24 20 61 6e 64 20 24 42 |ctors $A|$ and $B|
|00004690| 24 2c 20 79 6f 75 20 63 | 61 6e 20 75 73 65 0d 0a |$, you c|an use..|
|000046a0| 74 68 65 20 64 6f 74 20 | 70 72 6f 64 75 63 74 20 |the dot |product |
|000046b0| 74 6f 20 66 69 6e 64 20 | 74 68 65 20 61 6e 67 6c |to find |the angl|
|000046c0| 65 20 62 65 74 77 65 65 | 6e 20 74 77 6f 20 76 65 |e betwee|n two ve|
|000046d0| 63 74 6f 72 73 2e 5c 6d | 65 64 73 6b 69 70 0d 0a |ctors.\m|edskip..|
|000046e0| 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e | 7b 65 78 61 6d 70 6c 65 |..\begin|{example|
|000046f0| 7d 0d 0a 44 65 66 69 6e | 65 20 24 41 3d 5c 6c 65 |}..Defin|e $A=\le|
|00004700| 66 74 28 20 31 2c 32 2c | 2d 33 5c 72 69 67 68 74 |ft( 1,2,|-3\right|
|00004710| 29 20 24 20 61 6e 64 20 | 24 42 3d 5c 6c 65 66 74 |) $ and |$B=\left|
|00004720| 28 20 2d 32 2c 31 2c 32 | 5c 72 69 67 68 74 29 20 |( -2,1,2|\right) |
|00004730| 24 20 61 6e 64 20 73 6f | 6c 76 65 20 74 68 65 0d |$ and so|lve the.|
|00004740| 0a 65 71 75 61 74 69 6f | 6e 20 24 41 5c 63 64 6f |.equatio|n $A\cdo|
|00004750| 74 20 42 3d 5c 6c 65 66 | 74 5c 7c 20 41 5c 72 69 |t B=\lef|t\| A\ri|
|00004760| 67 68 74 5c 7c 20 5c 6c | 65 66 74 5c 7c 20 42 5c |ght\| \l|eft\| B\|
|00004770| 72 69 67 68 74 5c 7c 20 | 5c 63 6f 73 20 5c 74 68 |right\| |\cos \th|
|00004780| 65 74 61 20 24 2c 20 74 | 6f 20 67 65 74 20 0d 0a |eta $, t|o get ..|
|00004790| 5c 5b 0d 0a 5c 74 65 78 | 74 7b 53 6f 6c 75 74 69 |\[..\tex|t{Soluti|
|000047a0| 6f 6e 20 69 73 3a 20 7d | 5c 6c 65 66 74 5c 7b 20 |on is: }|\left\{ |
|000047b0| 5c 74 68 65 74 61 20 3d | 5c 70 69 20 2d 5c 61 72 |\theta =|\pi -\ar|
|000047c0| 63 63 6f 73 20 5c 6c 65 | 66 74 28 20 5c 66 72 61 |ccos \le|ft( \fra|
|000047d0| 63 7b 31 7d 7b 37 7d 5c | 73 71 72 74 7b 31 34 7d |c{1}{7}\|sqrt{14}|
|000047e0| 25 0d 0a 5c 72 69 67 68 | 74 29 20 5c 72 69 67 68 |%..\righ|t) \righ|
|000047f0| 74 5c 7d 20 5c 76 73 70 | 61 63 65 7b 36 70 74 7d |t\} \vsp|ace{6pt}|
|00004800| 20 0d 0a 5c 5d 0d 0a 41 | 70 70 6c 79 20 5c 74 65 | ..\]..A|pply \te|
|00004810| 78 74 73 66 7b 45 76 61 | 6c 75 61 74 65 20 4e 75 |xtsf{Eva|luate Nu|
|00004820| 6d 65 72 69 63 61 6c 6c | 79 7d 20 74 6f 20 67 65 |mericall|y} to ge|
|00004830| 74 20 24 5c 74 68 65 74 | 61 20 3d 5c 2c 32 2e 31 |t $\thet|a =\,2.1|
|00004840| 33 34 37 2e 5c 6d 65 64 | 73 6b 69 70 20 24 0d 0a |347.\med|skip $..|
|00004850| 5c 65 6e 64 7b 65 78 61 | 6d 70 6c 65 7d 0d 0a 0d |\end{exa|mple}...|
|00004860| 0a 5c 73 75 62 73 65 63 | 74 69 6f 6e 7b 5c 20 52 |.\subsec|tion{\ R|
|00004870| 65 6c 61 74 65 64 20 74 | 6f 70 69 63 73 7d 0d 0a |elated t|opics}..|
|00004880| 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e | 7b 69 74 65 6d 69 7a 65 |..\begin|{itemize|
|00004890| 7d 0d 0a 5c 69 74 65 6d | 20 20 5c 68 79 70 65 72 |}..\item|  \hyper|
|000048a0| 72 65 66 7b 47 72 61 64 | 69 65 6e 74 2c 20 44 69 |ref{Grad|ient, Di|
|000048b0| 76 65 72 67 65 6e 63 65 | 2c 20 61 6e 64 20 43 75 |vergence|, and Cu|
|000048c0| 72 6c 7d 7b 7d 7b 7d 7b | 44 4d 39 2d 32 2e 74 65 |rl}{}{}{|DM9-2.te|
|000048d0| 78 23 47 72 61 64 69 65 | 6e 74 7d 0d 0a 0d 0a 5c |x#Gradie|nt}....\|
|000048e0| 69 74 65 6d 20 20 5c 68 | 79 70 65 72 72 65 66 7b |item  \h|yperref{|
|000048f0| 50 6c 6f 74 73 20 6f 66 | 20 56 65 63 74 6f 72 20 |Plots of| Vector |
|00004900| 46 69 65 6c 64 73 20 61 | 6e 64 20 47 72 61 64 69 |Fields a|nd Gradi|
|00004910| 65 6e 74 73 7d 7b 7d 7b | 7d 7b 44 4d 39 2d 33 2e |ents}{}{|}{DM9-3.|
|00004920| 74 65 78 23 56 65 63 74 | 6f 72 0d 0a 66 69 65 6c |tex#Vect|or..fiel|
|00004930| 64 7d 0d 0a 0d 0a 5c 69 | 74 65 6d 20 20 5c 68 79 |d}....\i|tem  \hy|
|00004940| 70 65 72 72 65 66 7b 53 | 63 61 6c 61 72 20 61 6e |perref{S|calar an|
|00004950| 64 20 56 65 63 74 6f 72 | 20 50 6f 74 65 6e 74 69 |d Vector| Potenti|
|00004960| 61 6c 73 7d 7b 7d 7b 7d | 7b 44 4d 39 2d 34 2e 74 |als}{}{}|{DM9-4.t|
|00004970| 65 78 23 53 63 61 6c 61 | 72 20 70 6f 74 65 6e 74 |ex#Scala|r potent|
|00004980| 69 61 6c 25 0d 0a 7d 0d | 0a 0d 0a 5c 69 74 65 6d |ial%..}.|...\item|
|00004990| 20 20 5c 68 79 70 65 72 | 72 65 66 7b 4d 61 74 72 |  \hyper|ref{Matr|
|000049a0| 69 78 2d 56 61 6c 75 65 | 64 20 4f 70 65 72 61 74 |ix-Value|d Operat|
|000049b0| 6f 72 73 7d 7b 7d 7b 7d | 7b 44 4d 39 2d 35 2e 74 |ors}{}{}|{DM9-5.t|
|000049c0| 65 78 23 48 65 73 73 69 | 61 6e 7d 0d 0a 0d 0a 5c |ex#Hessi|an}....\|
|000049d0| 69 74 65 6d 20 20 5c 68 | 79 70 65 72 72 65 66 7b |item  \h|yperref{|
|000049e0| 50 6c 6f 74 73 20 6f 66 | 20 43 6f 6d 70 6c 65 78 |Plots of| Complex|
|000049f0| 20 46 75 6e 63 74 69 6f | 6e 73 7d 7b 7d 7b 7d 7b | Functio|ns}{}{}{|
|00004a00| 44 4d 39 2d 36 2e 74 65 | 78 23 43 6f 6e 66 6f 72 |DM9-6.te|x#Confor|
|00004a10| 6d 61 6c 20 70 6c 6f 74 | 7d 0d 0a 0d 0a 5c 69 74 |mal plot|}....\it|
|00004a20| 65 6d 20 20 5c 68 79 70 | 65 72 72 65 66 7b 45 78 |em  \hyp|erref{Ex|
|00004a30| 65 72 63 69 73 65 73 20 | 61 6e 64 20 53 6f 6c 75 |ercises |and Solu|
|00004a40| 74 69 6f 6e 73 7d 7b 7d | 7b 7d 7b 44 4d 39 2d 37 |tions}{}|{}{DM9-7|
|00004a50| 2e 74 65 78 23 45 78 65 | 72 63 69 73 65 73 7d 0d |.tex#Exe|rcises}.|
|00004a60| 0a 5c 65 6e 64 7b 69 74 | 65 6d 69 7a 65 7d 0d 0a |.\end{it|emize}..|
|00004a70| 0d 0a 5c 72 75 6c 65 7b | 30 2e 36 37 69 6e 7d 7b |..\rule{|0.67in}{|
|00004a80| 30 2e 30 31 69 6e 7d 0d | 0a 0d 0a 5c 68 79 70 65 |0.01in}.|...\hype|
|00004a90| 72 72 65 66 7b 5c 46 52 | 41 4d 45 7b 69 74 62 70 |rref{\FR|AME{itbp|
|00004aa0| 46 7d 7b 30 2e 35 32 37 | 35 69 6e 7d 7b 30 2e 33 |F}{0.527|5in}{0.3|
|00004ab0| 33 39 39 69 6e 7d 7b 30 | 2e 30 35 31 39 69 6e 7d |399in}{0|.0519in}|
|00004ac0| 7b 7d 7b 7d 7b 69 6e 64 | 65 78 2e 77 6d 66 7d 7b |{}{}{ind|ex.wmf}{|
|00004ad0| 5c 73 70 65 63 69 61 6c | 25 0d 0a 7b 6c 61 6e 67 |\special|%..{lang|
|00004ae0| 75 61 67 65 20 22 53 63 | 69 65 6e 74 69 66 69 63 |uage "Sc|ientific|
|00004af0| 20 57 6f 72 64 22 3b 74 | 79 70 65 20 22 47 52 41 | Word";t|ype "GRA|
|00004b00| 50 48 49 43 22 3b 64 69 | 73 70 6c 61 79 20 22 50 |PHIC";di|splay "P|
|00004b10| 49 43 54 22 3b 76 61 6c | 69 64 2d 66 69 6c 65 0d |ICT";val|id-file.|
|00004b20| 0a 22 46 22 3b 77 69 64 | 74 68 20 30 2e 35 32 37 |."F";wid|th 0.527|
|00004b30| 35 69 6e 3b 68 65 69 67 | 68 74 20 30 2e 33 33 39 |5in;heig|ht 0.339|
|00004b40| 39 69 6e 3b 64 65 70 74 | 68 20 30 2e 30 35 31 39 |9in;dept|h 0.0519|
|00004b50| 69 6e 3b 6f 72 69 67 69 | 6e 61 6c 2d 77 69 64 74 |in;origi|nal-widt|
|00004b60| 68 0d 0a 33 36 2e 38 37 | 35 70 74 3b 6f 72 69 67 |h..36.87|5pt;orig|
|00004b70| 69 6e 61 6c 2d 68 65 69 | 67 68 74 20 32 32 2e 35 |inal-hei|ght 22.5|
|00004b80| 36 32 35 70 74 3b 63 72 | 6f 70 6c 65 66 74 20 22 |625pt;cr|opleft "|
|00004b90| 30 22 3b 63 72 6f 70 74 | 6f 70 20 22 31 22 3b 63 |0";cropt|op "1";c|
|00004ba0| 72 6f 70 72 69 67 68 74 | 0d 0a 22 31 22 3b 63 72 |ropright|.."1";cr|
|00004bb0| 6f 70 62 6f 74 74 6f 6d | 20 22 30 22 3b 66 69 6c |opbottom| "0";fil|
|00004bc0| 65 6e 61 6d 65 20 27 69 | 6e 64 65 78 2e 77 6d 66 |ename 'i|ndex.wmf|
|00004bd0| 27 3b 66 69 6c 65 2d 70 | 72 6f 70 65 72 74 69 65 |';file-p|ropertie|
|00004be0| 73 20 22 58 4e 50 45 55 | 22 3b 7d 7d 7d 7b 7d 7b |s "XNPEU|";}}}{}{|
|00004bf0| 7d 7b 25 0d 0a 44 4d 49 | 6e 64 65 78 2e 74 65 78 |}{%..DMI|ndex.tex|
|00004c00| 23 4d 61 74 68 20 49 6e | 64 65 78 7d 5c 71 75 61 |#Math In|dex}\qua|
|00004c10| 64 20 7b 5c 73 6d 61 6c | 6c 20 49 6e 64 65 78 20 |d {\smal|l Index |
|00004c20| 65 6e 74 72 69 65 73 3a | 20 5c 68 79 70 65 72 72 |entries:| \hyperr|
|00004c30| 65 66 7b 43 72 6f 73 73 | 20 70 72 6f 64 75 63 74 |ef{Cross| product|
|00004c40| 7d 7b 25 0d 0a 7d 7b 7d | 7b 44 4d 49 6e 64 65 78 |}{%..}{}|{DMIndex|
|00004c50| 2e 74 65 78 23 43 72 6f | 73 73 20 70 72 6f 64 75 |.tex#Cro|ss produ|
|00004c60| 63 74 7d 2c 20 5c 68 79 | 70 65 72 72 65 66 7b 49 |ct}, \hy|perref{I|
|00004c70| 6e 6e 65 72 20 70 72 6f | 64 75 63 74 7d 7b 7d 7b |nner pro|duct}{}{|
|00004c80| 7d 7b 25 0d 0a 44 4d 49 | 6e 64 65 78 2e 74 65 78 |}{%..DMI|ndex.tex|
|00004c90| 23 49 6e 6e 65 72 20 70 | 72 6f 64 75 63 74 7d 2c |#Inner p|roduct},|
|00004ca0| 20 5c 68 79 70 65 72 72 | 65 66 7b 4d 61 74 72 69 | \hyperr|ef{Matri|
|00004cb0| 63 65 73 2c 20 5c 68 79 | 70 65 72 72 65 66 7b 4e |ces, \hy|perref{N|
|00004cc0| 6f 72 6d 7d 7b 7d 7b 7d | 7b 25 0d 0a 44 4d 49 6e |orm}{}{}|{%..DMIn|
|00004cd0| 64 65 78 2e 74 65 78 23 | 4e 6f 72 6d 7d 7d 7b 7d |dex.tex#|Norm}}{}|
|00004ce0| 7b 7d 7b 44 4d 49 6e 64 | 65 78 2e 74 65 78 23 4d |{}{DMInd|ex.tex#M|
|00004cf0| 61 74 72 69 63 65 73 7d | 2c 20 5c 68 79 70 65 72 |atrices}|, \hyper|
|00004d00| 72 65 66 7b 56 65 63 74 | 6f 72 7d 7b 7d 7b 7d 7b |ref{Vect|or}{}{}{|
|00004d10| 25 0d 0a 44 4d 49 6e 64 | 65 78 2e 74 65 78 23 56 |%..DMInd|ex.tex#V|
|00004d20| 65 63 74 6f 72 7d 7d 0d | 0a 0d 0a 5c 65 6e 64 7b |ector}}.|...\end{|
|00004d30| 64 6f 63 75 6d 65 6e 74 | 7d 0d 0a                |document|}..     |
+--------+-------------------------+-------------------------+--------+--------+