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|00000850| 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e | 7b 71 75 6f 74 61 74 69 |..\begin|{quotati|
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|000008a0| 0d 0a 30 20 26 20 30 20 | 26 20 31 0d 0a 5c 65 6e |..0 & 0 |& 1..\en|
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|00000990| 0a 24 5c 64 65 74 20 5c | 2c 5c 6c 65 66 74 28 20 |.$\det \|,\left( |
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|000009f0| 72 61 79 7d 0d 0a 5c 72 | 69 67 68 74 29 20 3d 5c |ray}..\r|ight) =\|
|00000a00| 2c 5c 6c 65 66 74 28 20 | 58 2d 34 5c 72 69 67 68 |,\left( |X-4\righ|
|00000a10| 74 29 20 5e 7b 33 7d 24 | 0d 0a 5c 65 6e 64 7b 71 |t) ^{3}$|..\end{q|
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|00000a30| 20 5c 74 65 78 74 73 6c | 7b 6d 69 6e 69 6d 75 6d | \textsl|{minimum|
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|00000a50| 69 6e 64 65 78 7b 4d 69 | 6e 69 6d 75 6d 40 4d 69 |index{Mi|nimum@Mi|
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|00000a90| 6f 6d 69 61 6c 7d 6f 66 | 20 61 0d 0a 73 71 75 61 |omial}of| a..squa|
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|00000ac0| 6f 6d 69 61 6c 20 24 70 | 28 78 29 24 20 6f 66 20 |omial $p|(x)$ of |
|00000ad0| 73 6d 61 6c 6c 65 73 74 | 20 0d 0a 5c 69 6e 64 65 |smallest| ..\inde|
|00000ae0| 78 7b 4d 61 74 72 69 63 | 65 73 40 4d 61 74 72 69 |x{Matric|es@Matri|
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|00000b20| 25 0d 0a 7b 4d 61 74 72 | 69 63 65 73 2c 20 6d 69 |%..{Matr|ices, mi|
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|00000b60| 68 65 0d 0a 43 61 79 6c | 65 79 2d 2d 48 61 6d 69 |he..Cayl|ey--Hami|
|00000b70| 6c 74 6f 6e 20 74 68 65 | 6f 72 65 6d 20 0d 0a 5c |lton the|orem ..\|
|00000b80| 69 6e 64 65 78 7b 43 61 | 79 6c 65 79 2d 48 61 6d |index{Ca|yley-Ham|
|00000b90| 69 6c 74 6f 6e 20 74 68 | 65 6f 72 65 6d 40 43 61 |ilton th|eorem@Ca|
|00000ba0| 79 6c 65 79 2d 2d 48 61 | 6d 69 6c 74 6f 6e 20 74 |yley--Ha|milton t|
|00000bb0| 68 65 6f 72 65 6d 7d 5c | 6c 61 62 65 6c 25 0d 0a |heorem}\|label%..|
|00000bc0| 7b 43 61 79 6c 65 79 2d | 48 61 6d 69 6c 74 6f 6e |{Cayley-|Hamilton|
|00000bd0| 20 54 68 65 6f 72 65 6d | 7d 2c 20 24 66 28 41 29 | Theorem|}, $f(A)|
|00000be0| 3d 30 24 20 69 66 20 24 | 66 28 78 29 24 20 69 73 |=0$ if $|f(x)$ is|
|00000bf0| 20 74 68 65 20 63 68 61 | 72 61 63 74 65 72 69 73 | the cha|racteris|
|00000c00| 74 69 63 0d 0a 70 6f 6c | 79 6e 6f 6d 69 61 6c 20 |tic..pol|ynomial |
|00000c10| 6f 66 20 24 41 24 2e 20 | 54 68 65 20 6d 69 6e 69 |of $A$. |The mini|
|00000c20| 6d 75 6d 20 70 6f 6c 79 | 6e 6f 6d 69 61 6c 20 6f |mum poly|nomial o|
|00000c30| 66 20 24 41 24 20 69 73 | 20 61 20 66 61 63 74 6f |f $A$ is| a facto|
|00000c40| 72 20 6f 66 20 74 68 65 | 0d 0a 63 68 61 72 61 63 |r of the|..charac|
|00000c50| 74 65 72 69 73 74 69 63 | 20 70 6f 6c 79 6e 6f 6d |teristic| polynom|
|00000c60| 69 61 6c 20 6f 66 20 24 | 41 24 2e 0d 0a 0d 0a 5c |ial of $|A$.....\|
|00000c70| 62 65 67 69 6e 7b 71 75 | 6f 74 65 7d 0d 0a 24 5c |begin{qu|ote}..$\|
|00000c80| 62 6c 61 63 6b 74 72 69 | 61 6e 67 6c 65 72 69 67 |blacktri|anglerig|
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|00000ca0| 72 69 63 65 73 20 2b 20 | 4d 69 6e 69 6d 75 6d 20 |rices + |Minimum |
|00000cb0| 50 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 | 61 6c 2c 20 46 61 63 74 |Polynomi|al, Fact|
|00000cc0| 6f 72 7d 0d 0a 5c 65 6e | 64 7b 71 75 6f 74 65 7d |or}..\en|d{quote}|
|00000cd0| 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 67 | 69 6e 7b 71 75 6f 74 61 |....\beg|in{quota|
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|00000cf0| 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b | 61 72 72 61 79 7d 7b 63 |.\begin{|array}{c|
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|00000d10| 5c 20 0d 0a 30 20 26 20 | 34 20 26 20 30 20 5c 5c |\ ..0 & |4 & 0 \\|
|00000d20| 20 0d 0a 30 20 26 20 30 | 20 26 20 34 0d 0a 5c 65 | ..0 & 0| & 4..\e|
|00000d30| 6e 64 7b 61 72 72 61 79 | 7d 0d 0a 5c 72 69 67 68 |nd{array|}..\righ|
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|00000d70| 58 2d 34 5c 72 69 67 68 | 74 29 20 5e 7b 32 7d 5c |X-4\righ|t) ^{2}\|
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|00000d90| 64 7b 71 75 6f 74 61 74 | 69 6f 6e 7d 0d 0a 0d 0a |d{quotat|ion}....|
|00000da0| 5c 73 74 72 75 74 0d 0a | 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e |\strut..|..\begin|
|00000db0| 7b 65 78 61 6d 70 6c 65 | 7d 0d 0a 54 68 69 73 20 |{example|}..This |
|00000dc0| 65 78 61 6d 70 6c 65 20 | 69 6c 6c 75 73 74 72 61 |example |illustra|
|00000dd0| 74 65 73 20 74 68 65 20 | 43 61 79 6c 65 79 2d 2d |tes the |Cayley--|
|00000de0| 48 61 6d 69 6c 74 6f 6e | 20 74 68 65 6f 72 65 6d |Hamilton| theorem|
|00000df0| 2e 0d 0a 0d 0a 44 65 66 | 69 6e 65 20 24 70 28 58 |.....Def|ine $p(X|
|00000e00| 29 3d 5c 2c 58 5e 7b 32 | 7d 2d 38 58 2b 31 36 24 |)=\,X^{2|}-8X+16$|
|00000e10| 20 61 6e 64 20 24 41 3d | 5c 6c 65 66 74 28 20 0d | and $A=|\left( .|
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|00001e70| 0d 0a 0d 0a 24 5c 20 24 | 46 6f 72 20 24 5c 72 68 |....$\ $|For $\rh|
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|00001fe0| 0a 5c 72 69 67 68 74 29 | 20 0d 0a 5c 5d 0d 0a 0d |.\right)| ..\]...|
|00001ff0| 0a 54 68 65 20 70 72 6f | 64 75 63 74 73 20 6f 66 |.The pro|ducts of|
|00002000| 20 74 68 65 20 6d 61 74 | 72 69 78 20 77 69 74 68 | the mat|rix with|
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|00002090| 5c 62 65 67 69 6e 7b 71 | 75 6f 74 61 74 69 6f 6e |\begin{q|uotation|
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|000020c0| 31 20 26 20 32 20 5c 5c | 20 0d 0a 33 20 26 20 34 |1 & 2 \\| ..3 & 4|
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|000020e0| 72 69 67 68 74 29 20 5c | 6c 65 66 74 28 20 0d 0a |right) \|left( ..|
|000020f0| 5c 62 65 67 69 6e 7b 61 | 72 72 61 79 7d 7b 63 7d |\begin{a|rray}{c}|
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|00002120| 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 | 61 79 7d 0d 0a 5c 72 69 |\end{arr|ay}..\ri|
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|00002180| 72 61 79 7d 0d 0a 5c 72 | 69 67 68 74 29 20 2c 24 |ray}..\r|ight) ,$|
|00002190| 5c 71 75 61 64 20 24 5c | 66 72 61 63 7b 35 2b 5c |\quad $\|frac{5+\|
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|000021b0| 74 28 20 0d 0a 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 61 72 72 61 |t( ..\be|gin{arra|
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|000021e0| 7b 34 7d 0d 0a 5c 65 6e | 64 7b 61 72 72 61 79 7d |{4}..\en|d{array}|
|000021f0| 0d 0a 5c 72 69 67 68 74 | 29 20 3d 5c 6c 65 66 74 |..\right|) =\left|
|00002200| 28 20 0d 0a 5c 62 65 67 | 69 6e 7b 61 72 72 61 79 |( ..\beg|in{array|
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|00002240| 71 72 74 7b 33 33 7d 0d | 0a 5c 65 6e 64 7b 61 72 |qrt{33}.|.\end{ar|
|00002250| 72 61 79 7d 0d 0a 5c 72 | 69 67 68 74 29 20 24 0d |ray}..\r|ight) $.|
|00002260| 0a 0d 0a 5c 20 0d 0a 0d | 0a 24 5c 6c 65 66 74 28 |...\ ...|.$\left(|
|00002270| 20 0d 0a 5c 62 65 67 69 | 6e 7b 61 72 72 61 79 7d | ..\begi|n{array}|
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|00002290| 0a 33 20 26 20 34 0d 0a | 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 |.3 & 4..|\end{arr|
|000022a0| 61 79 7d 0d 0a 5c 72 69 | 67 68 74 29 20 5c 6c 65 |ay}..\ri|ght) \le|
|000022b0| 66 74 28 20 0d 0a 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 61 72 72 |ft( ..\b|egin{arr|
|000022c0| 61 79 7d 7b 63 7d 0d 0a | 31 20 5c 5c 20 0d 0a 5c |ay}{c}..|1 \\ ..\|
|000022d0| 66 72 61 63 7b 33 2d 5c | 73 71 72 74 7b 33 33 7d |frac{3-\|sqrt{33}|
|000022e0| 7d 7b 34 7d 0d 0a 5c 65 | 6e 64 7b 61 72 72 61 79 |}{4}..\e|nd{array|
|000022f0| 7d 0d 0a 5c 72 69 67 68 | 74 29 20 3d 5c 6c 65 66 |}..\righ|t) =\lef|
|00002300| 74 28 20 0d 0a 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 61 72 72 61 |t( ..\be|gin{arra|
|00002310| 79 7d 7b 63 7d 0d 0a 5c | 66 72 61 63 7b 35 2d 5c |y}{c}..\|frac{5-\|
|00002320| 73 71 72 74 7b 33 33 7d | 7d 7b 32 7d 20 5c 5c 20 |sqrt{33}|}{2} \\ |
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|00002340| 65 6e 64 7b 61 72 72 61 | 79 7d 0d 0a 5c 72 69 67 |end{arra|y}..\rig|
|00002350| 68 74 29 20 2c 24 5c 71 | 75 61 64 20 24 5c 66 72 |ht) ,$\q|uad $\fr|
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|00002370| 32 7d 5c 6c 65 66 74 28 | 20 0d 0a 5c 62 65 67 69 |2}\left(| ..\begi|
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