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|00001ce0| 20 74 68 65 20 73 63 61 | 6c 61 72 20 24 5c 6c 65 | the sca|lar $\le|
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|00001d00| 69 2b 6a 7d 5c 64 65 74 | 0d 0a 41 5c 6c 65 66 74 |i+j}\det|..A\left|
|00001d10| 28 20 69 7c 6a 5c 72 69 | 67 68 74 29 20 24 2c 20 |( i|j\ri|ght) $, |
|00001d20| 77 68 65 72 65 20 24 41 | 5c 6c 65 66 74 28 20 69 |where $A|\left( i|
|00001d30| 7c 6a 5c 72 69 67 68 74 | 29 20 24 20 64 65 6e 6f ||j\right|) $ deno|
|00001d40| 74 65 73 20 74 68 65 20 | 6d 61 74 72 69 78 20 74 |tes the |matrix t|
|00001d50| 68 61 74 0d 0a 79 6f 75 | 20 6f 62 74 61 69 6e 20 |hat..you| obtain |
|00001d60| 66 72 6f 6d 20 24 41 24 | 20 62 79 20 72 65 6d 6f |from $A$| by remo|
|00001d70| 76 69 6e 67 20 74 68 65 | 20 24 69 24 74 68 20 72 |ving the| $i$th r|
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|00001e00| 6c 65 66 74 28 20 0d 0a | 5c 62 65 67 69 6e 7b 61 |left( ..|\begin{a|
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|00001e30| 64 7b 61 72 72 61 79 7d | 0d 0a 5c 72 69 67 68 74 |d{array}|..\right|
|00001e40| 29 20 24 2c 20 61 64 6a | 75 67 61 74 65 3a 20 24 |) $, adj|ugate: $|
|00001e50| 5c 6c 65 66 74 28 20 0d | 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b |\left( .|.\begin{|
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|00001e70| 2d 62 20 5c 5c 20 0d 0a | 2d 63 20 26 20 61 0d 0a |-b \\ ..|-c & a..|
|00001e80| 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 | 61 79 7d 0d 0a 5c 72 69 |\end{arr|ay}..\ri|
|00001e90| 67 68 74 29 20 5c 6d 65 | 64 73 6b 69 70 20 24 0d |ght) \me|dskip $.|
|00001ea0| 0a 0d 0a 5c 65 6d 70 68 | 7b 4e 6f 74 65 5c 71 75 |...\emph|{Note\qu|
|00001eb0| 61 64 20 7d 54 68 65 20 | 70 72 6f 64 75 63 74 20 |ad }The |product |
|00001ec0| 6f 66 20 61 20 6d 61 74 | 72 69 78 20 77 69 74 68 |of a mat|rix with|
|00001ed0| 20 69 74 73 20 61 64 6a | 75 67 61 74 65 20 69 73 | its adj|ugate is|
|00001ee0| 20 64 69 61 67 6f 6e 61 | 6c 2c 20 77 69 74 68 0d | diagona|l, with.|
|00001ef0| 0a 74 68 65 20 65 6e 74 | 72 69 65 73 20 6f 6e 20 |.the ent|ries on |
|00001f00| 74 68 65 20 64 69 61 67 | 6f 6e 61 6c 20 65 71 75 |the diag|onal equ|
|00001f10| 61 6c 20 74 6f 20 74 68 | 65 20 64 65 74 65 72 6d |al to th|e determ|
|00001f20| 69 6e 61 6e 74 20 6f 66 | 20 74 68 65 20 6d 61 74 |inant of| the mat|
|00001f30| 72 69 78 2e 20 0d 0a 5c | 5b 0d 0a 5c 6c 65 66 74 |rix. ..\|[..\left|
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|00001f70| 72 61 79 7d 0d 0a 5c 72 | 69 67 68 74 29 20 5c 6c |ray}..\r|ight) \l|
|00001f80| 65 66 74 28 20 0d 0a 5c | 62 65 67 69 6e 7b 61 72 |eft( ..\|begin{ar|
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|00001fa0| 20 5c 5c 20 0d 0a 2d 63 | 20 26 20 61 0d 0a 5c 65 | \\ ..-c| & a..\e|
|00001fb0| 6e 64 7b 61 72 72 61 79 | 7d 0d 0a 5c 72 69 67 68 |nd{array|}..\righ|
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|00001fd0| 62 65 67 69 6e 7b 61 72 | 72 61 79 7d 7b 63 63 7d |begin{ar|ray}{cc}|
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|00001ff0| 0a 30 20 26 20 61 64 2d | 62 63 0d 0a 5c 65 6e 64 |.0 & ad-|bc..\end|
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|00002010| 20 0d 0a 5c 5d 0d 0a 0d | 0a 5c 20 0d 0a 5c 65 6e | ..\]...|.\ ..\en|
|00002020| 64 7b 71 75 6f 74 61 74 | 69 6f 6e 7d 0d 0a 0d 0a |d{quotat|ion}....|
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|00002080| 0a 0d 0a 5c 62 65 67 69 | 6e 7b 71 75 6f 74 61 74 |...\begi|n{quotat|
|00002090| 69 6f 6e 7d 0d 0a 24 5c | 6c 65 66 74 5b 20 0d 0a |ion}..$\|left[ ..|
|000020a0| 5c 62 65 67 69 6e 7b 61 | 72 72 61 79 7d 7b 72 72 |\begin{a|rray}{rr|
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|000020e0| 33 20 26 20 2d 36 20 26 | 20 37 20 26 20 36 20 5c |3 & -6 &| 7 & 6 \|
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|000021d0| 5d 20 24 0d 0a 5c 65 6e | 64 7b 71 75 6f 74 61 74 |] $..\en|d{quotat|
|000021e0| 69 6f 6e 7d 0d 0a 0d 0a | 5c 62 65 67 69 6e 7b 71 |ion}....|\begin{q|
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|00002290| 0a 2d 33 20 26 20 2d 36 | 20 26 20 37 20 26 20 36 |.-3 & -6| & 7 & 6|
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|000023c0| 20 2d 38 31 35 33 20 5c | 5c 20 0d 0a 34 30 36 38 | -8153 \|\ ..4068|
|000023d0| 20 26 20 2d 32 36 31 20 | 26 20 36 38 39 36 20 26 | & -261 |& 6896 &|
|000023e0| 20 2d 32 39 37 36 20 5c | 5c 20 0d 0a 32 37 35 20 | -2976 \|\ ..275 |
|000023f0| 26 20 38 34 30 20 26 20 | 38 35 20 26 20 2d 31 31 |& 840 & |85 & -11|
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|00002410| 0a 5c 72 69 67 68 74 5d | 20 24 0d 0a 0d 0a 5c 20 |.\right]| $....\ |
|00002420| 0d 0a 0d 0a 24 5c 68 73 | 70 61 63 65 7b 31 69 6e |....$\hs|pace{1in|
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|000024c0| 0d 0a 5c 65 6d 70 68 7b | 4e 6f 74 65 5c 71 75 61 |..\emph{|Note\qua|
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|000026c0| 74 29 20 7d 5c 63 64 6f | 74 73 20 61 5f 7b 6e 5c |t) }\cdo|ts a_{n\|
|000026d0| 73 69 67 6d 61 20 5c 6c | 65 66 74 28 20 6e 5c 72 |sigma \l|eft( n\r|
|000026e0| 69 67 68 74 29 20 7d 20 | 0d 0a 5c 5d 0d 0a 77 68 |ight) } |..\]..wh|
|000026f0| 65 72 65 20 24 5c 73 69 | 67 6d 61 20 24 20 72 61 |ere $\si|gma $ ra|
|00002700| 6e 67 65 73 20 6f 76 65 | 72 20 61 6c 6c 20 74 68 |nges ove|r all th|
|00002710| 65 20 70 65 72 6d 75 74 | 61 74 69 6f 6e 73 20 6f |e permut|ations o|
|00002720| 66 20 24 5c 6c 65 66 74 | 5c 7b 20 31 2c 32 2c 5c |f $\left|\{ 1,2,\|
|00002730| 6c 64 6f 74 73 0d 0a 2c | 6e 5c 72 69 67 68 74 5c |ldots..,|n\right\|
|00002740| 7d 20 24 2e 20 54 68 69 | 73 20 6f 70 65 72 61 74 |} $. Thi|s operat|
|00002750| 69 6f 6e 20 61 70 70 6c | 69 65 73 20 74 6f 20 73 |ion appl|ies to s|
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|00002770| 6e 6c 79 2e 0d 0a 0d 0a | 5c 20 0d 0a 0d 0a 5c 62 |nly.....|\ ....\b|
|00002780| 65 67 69 6e 7b 71 75 6f | 74 65 7d 0d 0a 24 5c 62 |egin{quo|te}..$\b|
|00002790| 6c 61 63 6b 74 72 69 61 | 6e 67 6c 65 72 69 67 68 |lacktria|nglerigh|
|000027a0| 74 20 24 20 54 6f 20 63 | 6f 6d 70 75 74 65 20 74 |t $ To c|ompute t|
|000027b0| 68 65 20 70 65 72 6d 61 | 6e 65 6e 74 20 6f 66 20 |he perma|nent of |
|000027c0| 61 20 6d 61 74 72 69 78 | 0d 0a 5c 65 6e 64 7b 71 |a matrix|..\end{q|
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|000027e0| 65 6e 75 6d 65 72 61 74 | 65 7d 0d 0a 5c 69 74 65 |enumerat|e}..\ite|
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|00002810| 20 69 6e 20 74 68 65 20 | 6d 61 74 72 69 78 2e 0d | in the |matrix..|
|00002820| 0a 0d 0a 5c 69 74 65 6d | 5b 32 2e 5d 20 20 46 72 |...\item|[2.]  Fr|
|00002830| 6f 6d 20 74 68 65 20 5c | 74 65 78 74 73 66 7b 4d |om the \|textsf{M|
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|000028e0| 61 74 69 6f 6e 7d 0d 0a | 24 5c 6c 65 66 74 5b 20 |ation}..|$\left[ |
|000028f0| 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e | 7b 61 72 72 61 79 7d 7b |..\begin|{array}{|
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|00002910| 63 20 26 20 64 0d 0a 5c | 65 6e 64 7b 61 72 72 61 |c & d..\|end{arra|
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|00002950| 62 65 67 69 6e 7b 61 72 | 72 61 79 7d 7b 63 63 63 |begin{ar|ray}{ccc|
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|000029b0| 5f 7b 33 2c 32 7d 20 26 | 20 61 5f 7b 33 2c 33 7d |_{3,2} &| a_{3,3}|
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|000029d0| 72 69 67 68 74 5d 20 24 | 2c 20 70 65 72 6d 61 6e |right] $|, perman|
|000029e0| 65 6e 74 3a 20 24 0d 0a | 5c 62 65 67 69 6e 7b 61 |ent: $..|\begin{a|
|000029f0| 72 72 61 79 7d 7b 63 7d | 0d 0a 61 5f 7b 31 2c 31 |rray}{c}|..a_{1,1|
|00002a00| 7d 61 5f 7b 32 2c 32 7d | 61 5f 7b 33 2c 33 7d 2b |}a_{2,2}|a_{3,3}+|
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|00002a40| 0a 5c 71 75 61 64 20 2b | 61 5f 7b 32 2c 31 7d 61 |.\quad +|a_{2,1}a|
|00002a50| 5f 7b 31 2c 33 7d 61 5f | 7b 33 2c 32 7d 2b 61 5f |_{1,3}a_|{3,2}+a_|
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|000038b0| 0a 0d 0a 5c 20 5c 20 0d | 0a 0d 0a 24 5c 6c 65 66 |...\ \ .|...$\lef|
|000038c0| 74 5b 20 0d 0a 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 61 72 72 61 |t[ ..\be|gin{arra|
|000038d0| 79 7d 7b 72 72 72 72 7d | 0d 0a 32 20 26 20 2d 31 |y}{rrrr}|..2 & -1|
|000038e0| 20 26 20 30 20 26 20 30 | 20 5c 5c 20 0d 0a 2d 31 | & 0 & 0| \\ ..-1|
|000038f0| 20 26 20 32 20 26 20 2d | 31 20 26 20 30 20 5c 5c | & 2 & -|1 & 0 \\|
|00003900| 20 0d 0a 30 20 26 20 2d | 31 20 26 20 32 20 26 20 | ..0 & -|1 & 2 & |
|00003910| 2d 31 20 5c 5c 20 0d 0a | 30 20 26 20 30 20 26 20 |-1 \\ ..|0 & 0 & |
|00003920| 2d 31 20 26 20 32 0d 0a | 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 |-1 & 2..|\end{arr|
|00003930| 61 79 7d 0d 0a 5c 72 69 | 67 68 74 5d 20 24 2c 20 |ay}..\ri|ght] $, |
|00003940| 63 6f 6e 64 69 74 69 6f | 6e 20 6e 75 6d 62 65 72 |conditio|n number|
|00003950| 3a 20 24 5c 6c 65 66 74 | 28 20 5c 66 72 61 63 7b |: $\left|( \frac{|
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|00003980| 0d 0a 5c 6c 65 66 74 28 | 20 5c 66 72 61 63 7b 33 |..\left(| \frac{3|
|00003990| 7d 7b 32 7d 2b 5c 66 72 | 61 63 7b 31 7d 7b 32 7d |}{2}+\fr|ac{1}{2}|
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|000039b0| 3d 39 2e 34 37 32 31 34 | 24 0d 0a 0d 0a 5c 20 0d |=9.47214|$....\ .|
|000039c0| 0a 0d 0a 24 5c 6c 65 66 | 74 5b 20 0d 0a 5c 62 65 |...$\lef|t[ ..\be|
|000039d0| 67 69 6e 7b 61 72 72 61 | 79 7d 7b 63 63 63 63 7d |gin{arra|y}{cccc}|
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|000039f0| 7d 20 26 20 5c 66 72 61 | 63 7b 31 7d 7b 33 7d 20 |} & \fra|c{1}{3} |
|00003a00| 26 20 5c 66 72 61 63 7b | 31 7d 7b 34 7d 20 5c 5c |& \frac{|1}{4} \\|
|00003a10| 20 0d 0a 5c 66 72 61 63 | 7b 31 7d 7b 32 7d 20 26 | ..\frac|{1}{2} &|
|00003a20| 20 5c 66 72 61 63 7b 31 | 7d 7b 33 7d 20 26 20 5c | \frac{1|}{3} & \|
|00003a30| 66 72 61 63 7b 31 7d 7b | 34 7d 20 26 20 5c 66 72 |frac{1}{|4} & \fr|
|00003a40| 61 63 7b 31 7d 7b 35 7d | 20 5c 5c 20 0d 0a 5c 66 |ac{1}{5}| \\ ..\f|
|00003a50| 72 61 63 7b 31 7d 7b 33 | 7d 20 26 20 5c 66 72 61 |rac{1}{3|} & \fra|
|00003a60| 63 7b 31 7d 7b 34 7d 20 | 26 20 5c 66 72 61 63 7b |c{1}{4} |& \frac{|
|00003a70| 31 7d 7b 35 7d 20 26 20 | 5c 66 72 61 63 7b 31 7d |1}{5} & |\frac{1}|
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|00003a90| 7d 7b 34 7d 20 26 20 5c | 66 72 61 63 7b 31 7d 7b |}{4} & \|frac{1}{|
|00003aa0| 35 7d 20 26 20 5c 66 72 | 61 63 7b 31 7d 7b 36 7d |5} & \fr|ac{1}{6}|
|00003ab0| 20 26 20 5c 66 72 61 63 | 7b 31 7d 7b 37 7d 0d 0a | & \frac|{1}{7}..|
|00003ac0| 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 | 61 79 7d 0d 0a 5c 72 69 |\end{arr|ay}..\ri|
|00003ad0| 67 68 74 5d 20 24 2c 20 | 63 6f 6e 64 69 74 69 6f |ght] $, |conditio|
|00003ae0| 6e 20 6e 75 6d 62 65 72 | 3a 20 24 31 35 35 31 34 |n number|: $15514|
|00003af0| 24 0d 0a 0d 0a 5c 20 0d | 0a 0d 0a 24 5c 6c 65 66 |$....\ .|...$\lef|
|00003b00| 74 5b 20 0d 0a 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 61 72 72 61 |t[ ..\be|gin{arra|
|00003b10| 79 7d 7b 63 63 7d 0d 0a | 31 20 26 20 31 20 5c 5c |y}{cc}..|1 & 1 \\|
|00003b20| 20 0d 0a 31 20 26 20 31 | 2e 30 30 30 30 31 0d 0a | ..1 & 1|.00001..|
|00003b30| 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 | 61 79 7d 0d 0a 5c 72 69 |\end{arr|ay}..\ri|
|00003b40| 67 68 74 5d 20 24 2c 20 | 63 6f 6e 64 69 74 69 6f |ght] $, |conditio|
|00003b50| 6e 20 6e 75 6d 62 65 72 | 3a 20 24 34 30 30 30 30 |n number|: $40000|
|00003b60| 32 24 0d 0a 5c 65 6e 64 | 7b 71 75 6f 74 61 74 69 |2$..\end|{quotati|
|00003b70| 6f 6e 7d 0d 0a 0d 0a 54 | 68 65 73 65 20 66 69 6e |on}....T|hese fin|
|00003b80| 61 6c 20 74 77 6f 20 6d | 61 74 72 69 63 65 73 20 |al two m|atrices |
|00003b90| 61 72 65 20 65 78 74 72 | 65 6d 65 6c 79 20 69 6c |are extr|emely il|
|00003ba0| 6c 20 63 6f 6e 64 69 74 | 69 6f 6e 65 64 2e 20 53 |l condit|ioned. S|
|00003bb0| 6d 61 6c 6c 20 63 68 61 | 6e 67 65 73 20 69 6e 0d |mall cha|nges in.|
|00003bc0| 0a 73 6f 6d 65 20 65 6e | 74 72 69 65 73 20 6f 66 |.some en|tries of|
|00003bd0| 20 24 41 24 20 6f 72 20 | 24 62 24 20 6d 61 79 20 | $A$ or |$b$ may |
|00003be0| 72 65 73 75 6c 74 20 69 | 6e 20 6c 61 72 67 65 20 |result i|n large |
|00003bf0| 63 68 61 6e 67 65 73 20 | 69 6e 20 74 68 65 20 73 |changes |in the s|
|00003c00| 6f 6c 75 74 69 6f 6e 20 | 74 6f 0d 0a 6c 69 6e 65 |olution |to..line|
|00003c10| 61 72 20 65 71 75 61 74 | 69 6f 6e 73 20 6f 66 20 |ar equat|ions of |
|00003c20| 74 68 65 20 66 6f 72 6d | 20 24 41 78 3d 62 24 20 |the form| $Ax=b$ |
|00003c30| 69 6e 20 74 68 65 73 65 | 20 74 77 6f 20 63 61 73 |in these| two cas|
|00003c40| 65 73 2e 5c 6d 65 64 73 | 6b 69 70 0d 0a 0d 0a 5c |es.\meds|kip....\|
|00003c50| 73 75 62 73 65 63 74 69 | 6f 6e 7b 5c 20 45 78 70 |subsecti|on{\ Exp|
|00003c60| 6f 6e 65 6e 74 69 61 6c | 20 46 75 6e 63 74 69 6f |onential| Functio|
|00003c70| 6e 73 5c 6c 61 62 65 6c | 7b 45 78 70 6f 6e 65 6e |ns\label|{Exponen|
|00003c80| 74 69 61 6c 20 66 75 6e | 63 74 69 6f 6e 2c 20 6d |tial fun|ction, m|
|00003c90| 61 74 72 69 63 65 73 7d | 7d 0d 0a 0d 0a 54 68 65 |atrices}|}....The|
|00003ca0| 20 6d 6f 73 74 20 6e 61 | 74 75 72 61 6c 20 77 61 | most na|tural wa|
|00003cb0| 79 20 74 6f 20 64 65 66 | 69 6e 65 20 24 65 5e 7b |y to def|ine $e^{|
|00003cc0| 4d 7d 24 20 69 73 20 74 | 6f 20 5c 6c 61 62 65 6c |M}$ is t|o \label|
|00003cd0| 25 0d 0a 7b 4d 61 74 72 | 69 63 65 73 2c 20 65 78 |%..{Matr|ices, ex|
|00003ce0| 70 6f 6e 65 6e 74 69 61 | 6c 20 66 75 6e 63 74 69 |ponentia|l functi|
|00003cf0| 6f 6e 7d 20 69 6d 69 74 | 61 74 65 20 74 68 65 20 |on} imit|ate the |
|00003d00| 70 6f 77 65 72 20 73 65 | 72 69 65 73 20 66 6f 72 |power se|ries for|
|00003d10| 20 24 65 5e 7b 78 7d 3a | 24 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 | $e^{x}:|$....\be|
|00003d20| 67 69 6e 7b 69 74 65 6d | 69 7a 65 7d 0d 0a 5c 69 |gin{item|ize}..\i|
|00003d30| 74 65 6d 20 20 24 65 5e | 7b 78 7d 3d 5c 2c 31 2b |tem  $e^|{x}=\,1+|
|00003d40| 78 2b 5c 66 72 61 63 7b | 31 7d 7b 32 7d 78 5e 7b |x+\frac{|1}{2}x^{|
|00003d50| 32 7d 2b 5c 66 72 61 63 | 7b 31 7d 7b 36 7d 78 5e |2}+\frac|{1}{6}x^|
|00003d60| 7b 33 7d 2b 5c 66 72 61 | 63 7b 31 7d 7b 32 34 7d |{3}+\fra|c{1}{24}|
|00003d70| 25 0d 0a 78 5e 7b 34 7d | 2b 5c 63 64 6f 74 73 20 |%..x^{4}|+\cdots |
|00003d80| 24 0d 0a 0d 0a 5c 69 74 | 65 6d 20 20 24 65 5e 7b |$....\it|em  $e^{|
|00003d90| 4d 7d 3d 5c 2c 31 2b 4d | 2b 5c 66 72 61 63 7b 31 |M}=\,1+M|+\frac{1|
|00003da0| 7d 7b 32 7d 4d 5e 7b 32 | 7d 2b 5c 66 72 61 63 7b |}{2}M^{2|}+\frac{|
|00003db0| 31 7d 7b 36 7d 4d 5e 7b | 33 7d 2b 5c 66 72 61 63 |1}{6}M^{|3}+\frac|
|00003dc0| 7b 31 7d 7b 32 34 7d 25 | 0d 0a 4d 5e 7b 34 7d 2b |{1}{24}%|..M^{4}+|
|00003dd0| 5c 63 64 6f 74 73 20 24 | 0d 0a 5c 65 6e 64 7b 69 |\cdots $|..\end{i|
|00003de0| 74 65 6d 69 7a 65 7d 0d | 0a 0d 0a 49 6e 20 67 65 |temize}.|...In ge|
|00003df0| 6e 65 72 61 6c 2c 20 0d | 0a 5c 5b 0d 0a 65 5e 7b |neral, .|.\[..e^{|
|00003e00| 74 4d 7d 3d 5c 73 75 6d | 5f 7b 6b 3d 30 7d 5e 7b |tM}=\sum|_{k=0}^{|
|00003e10| 5c 69 6e 66 74 79 20 7d | 5c 66 72 61 63 7b 5c 6c |\infty }|\frac{\l|
|00003e20| 65 66 74 28 20 74 4d 5c | 72 69 67 68 74 29 20 5e |eft( tM\|right) ^|
|00003e30| 7b 6b 7d 7d 7b 6b 21 7d | 20 0d 0a 5c 5d 0d 0a 54 |{k}}{k!}| ..\]..T|
|00003e40| 6f 20 65 76 61 6c 75 61 | 74 65 20 74 68 65 20 65 |o evalua|te the e|
|00003e50| 78 70 72 65 73 73 69 6f | 6e 20 24 65 5e 7b 4d 7d |xpressio|n $e^{M}|
|00003e60| 24 20 66 6f 72 20 61 20 | 6d 61 74 72 69 78 20 24 |$ for a |matrix $|
|00003e70| 4d 24 2c 20 6c 65 61 76 | 65 20 74 68 65 20 69 6e |M$, leav|e the in|
|00003e80| 73 65 72 74 69 6f 6e 0d | 0a 70 6f 69 6e 74 20 69 |sertion.|.point i|
|00003e90| 6e 20 74 68 65 20 65 78 | 70 72 65 73 73 69 6f 6e |n the ex|pression|
|00003ea0| 20 24 65 5e 7b 4d 7d 24 | 20 61 6e 64 20 63 68 6f | $e^{M}$| and cho|
|00003eb0| 6f 73 65 20 5c 74 65 78 | 74 73 66 7b 45 76 61 6c |ose \tex|tsf{Eval|
|00003ec0| 75 61 74 65 7d 2c 20 61 | 73 20 73 68 6f 77 6e 20 |uate}, a|s shown |
|00003ed0| 69 6e 0d 0a 74 68 65 20 | 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e |in..the |followin|
|00003ee0| 67 20 65 78 61 6d 70 6c | 65 73 2e 20 46 69 72 73 |g exampl|es. Firs|
|00003ef0| 74 20 64 65 66 69 6e 65 | 20 0d 0a 5c 5b 0d 0a 41 |t define| ..\[..A|
|00003f00| 3d 5c 6c 65 66 74 5b 20 | 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e |=\left[ |..\begin|
|00003f10| 7b 61 72 72 61 79 7d 7b | 63 63 7d 0d 0a 31 20 26 |{array}{|cc}..1 &|
|00003f20| 20 32 20 5c 5c 20 0d 0a | 30 20 26 20 33 0d 0a 5c | 2 \\ ..|0 & 3..\|
|00003f30| 65 6e 64 7b 61 72 72 61 | 79 7d 0d 0a 5c 72 69 67 |end{arra|y}..\rig|
|00003f40| 68 74 5d 20 5c 74 65 78 | 74 7b 2c 20 7d 42 3d 5c |ht] \tex|t{, }B=\|
|00003f50| 6c 65 66 74 5b 20 0d 0a | 5c 62 65 67 69 6e 7b 61 |left[ ..|\begin{a|
|00003f60| 72 72 61 79 7d 7b 63 63 | 7d 0d 0a 31 20 26 20 32 |rray}{cc|}..1 & 2|
|00003f70| 20 5c 5c 20 0d 0a 30 20 | 26 20 31 0d 0a 5c 65 6e | \\ ..0 |& 1..\en|
|00003f80| 64 7b 61 72 72 61 79 7d | 0d 0a 5c 72 69 67 68 74 |d{array}|..\right|
|00003f90| 5d 20 5c 74 65 78 74 7b | 2c 20 7d 43 3d 5c 6c 65 |] \text{|, }C=\le|
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|00003fb0| 61 79 7d 7b 63 63 63 7d | 0d 0a 30 20 26 20 31 20 |ay}{ccc}|..0 & 1 |
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|00004060| 5c 5d 0d 0a 0d 0a 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 71 75 6f |\]....\b|egin{quo|
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