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|00000ab0| 69 73 20 74 68 65 20 72 | 61 64 69 75 73 20 6f 66 |is the r|adius of|
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|00000cb0| 5c 5b 0d 0a 6d 3d 6d 5f | 7b 30 7d 5c 6c 65 66 74 |\[..m=m_|{0}\left|
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|00001400| 67 68 74 29 20 5c 5c 0d | 0a 26 3d 26 5c 2c 38 78 |ght) \\.|.&=&\,8x|
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|000018e0| 0a 0d 0a 4c 65 61 76 65 | 20 74 68 65 20 69 6e 73 |...Leave| the ins|
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|00001960| 20 74 68 65 20 73 6f 6c | 75 74 69 6f 6e 73 20 0d | the sol|utions .|
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|00001ad0| 26 3d 26 5c 2c 5c 6c 65 | 66 74 28 20 5c 66 72 61 |&=&\,\le|ft( \fra|
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|00001b40| 72 61 63 7b 31 7d 7b 32 | 7d 2d 5c 66 72 61 63 7b |rac{1}{2|}-\frac{|
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|00001b60| 69 67 68 74 29 0d 0a 5c | 6c 65 66 74 28 20 2d 5c |ight)..\|left( -\|
|00001b70| 66 72 61 63 7b 37 7d 7b | 32 7d 2d 5c 66 72 61 63 |frac{7}{|2}-\frac|
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|00001ba0| 2d 32 31 2b 34 5c 73 71 | 72 74 7b 32 31 7d 0d 0a |-21+4\sq|rt{21}..|
|00001bb0| 5c 65 6e 64 7b 65 71 6e | 61 72 72 61 79 2a 7d 0d |\end{eqn|array*}.|
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|000022e0| 69 20 0d 0a 5c 5d 0d 0a | 0d 0a 5c 69 74 65 6d 5b |i ..\]..|..\item[|
|000022f0| 35 2e 5d 20 20 5c 6c 61 | 62 65 6c 7b 61 35 7d 43 |5.] \la|bel{a5}C|
|00002300| 6f 6d 70 75 74 65 20 6e | 61 74 75 72 61 6c 20 6c |ompute n|atural l|
|00002310| 6f 67 73 20 6f 6e 20 62 | 6f 74 68 20 73 69 64 65 |ogs on b|oth side|
|00002320| 73 20 61 6e 64 20 73 65 | 70 61 72 61 74 65 0d 0a |s and se|parate..|
|00002330| 76 61 72 69 61 62 6c 65 | 73 20 74 6f 20 67 65 74 |variable|s to get|
|00002340| 20 0d 0a 5c 5b 0d 0a 5c | 66 72 61 63 7b 5c 6c 6e | ..\[..\|frac{\ln|
|00002350| 20 78 7d 7b 78 7d 3d 5c | 66 72 61 63 7b 5c 6c 6e | x}{x}=\|frac{\ln|
|00002360| 20 79 7d 7b 79 7d 20 0d | 0a 5c 5d 0d 0a 50 6c 6f | y}{y} .|.\]..Plo|
|00002370| 74 20 74 68 65 20 67 72 | 61 70 68 20 6f 66 20 24 |t the gr|aph of $|
|00002380| 5c 66 72 61 63 7b 5c 6c | 6e 20 78 7d 7b 78 7d 24 |\frac{\l|n x}{x}$|
|00002390| 20 6f 6e 20 74 68 65 20 | 69 6e 74 65 72 76 61 6c | on the |interval|
|000023a0| 20 24 31 5c 6c 65 71 20 | 78 5c 6c 65 71 20 31 30 | $1\leq |x\leq 10|
|000023b0| 24 20 61 6e 64 0d 0a 6c | 6f 63 61 74 65 20 74 68 |$ and..l|ocate th|
|000023c0| 65 20 65 78 74 72 65 6d | 65 20 76 61 6c 75 65 73 |e extrem|e values|
|000023d0| 20 6f 66 20 24 5c 66 72 | 61 63 7b 5c 6c 6e 20 78 | of $\fr|ac{\ln x|
|000023e0| 7d 7b 78 7d 24 20 62 79 | 20 73 6f 6c 76 69 6e 67 |}{x}$ by| solving|
|000023f0| 20 0d 0a 5c 5b 0d 0a 5c | 66 72 61 63 7b 64 7d 7b | ..\[..\|frac{d}{|
|00002400| 64 78 7d 5c 6c 65 66 74 | 28 20 5c 66 72 61 63 7b |dx}\left|( \frac{|
|00002410| 5c 6c 6e 20 78 7d 7b 78 | 7d 5c 72 69 67 68 74 29 |\ln x}{x|}\right)|
|00002420| 20 3d 30 20 0d 0a 5c 5d | 0d 0a 4e 6f 74 65 20 74 | =0 ..\]|..Note t|
|00002430| 68 61 74 20 24 32 24 20 | 69 73 20 74 68 65 20 6f |hat $2$ |is the o|
|00002440| 6e 6c 79 20 69 6e 74 65 | 67 65 72 20 62 65 74 77 |nly inte|ger betw|
|00002450| 65 65 6e 20 24 31 24 20 | 61 6e 64 20 24 65 24 2c |een $1$ |and $e$,|
|00002460| 20 61 6e 64 20 76 65 72 | 69 66 79 20 74 68 61 74 | and ver|ify that|
|00002470| 20 24 25 0d 0a 32 5e 7b | 34 7d 3d 34 5e 7b 32 7d | $%..2^{|4}=4^{2}|
|00002480| 24 20 69 73 20 74 72 75 | 65 2e 5c 68 66 69 6c 6c |$ is tru|e.\hfill|
|00002490| 20 5c 68 79 70 65 72 72 | 65 66 7b 5c 54 43 49 49 | \hyperr|ef{\TCII|
|000024a0| 63 6f 6e 7b 42 49 54 4d | 41 50 53 45 54 50 72 6f |con{BITM|APSETPro|
|000024b0| 62 53 6f 6c 76 48 69 6e | 74 7d 7b 25 0d 0a 30 2e |bSolvHin|t}{%..0.|
|000024c0| 32 30 30 36 69 6e 7d 7b | 30 2e 32 34 33 69 6e 7d |2006in}{|0.243in}|
|000024d0| 7b 30 69 6e 7d 7d 7b 7d | 7b 7d 7b 71 35 7d 0d 0a |{0in}}{}|{}{q5}..|
|000024e0| 0d 0a 5c 69 74 65 6d 5b | 36 2e 5d 20 20 5c 6c 61 |..\item[|6.] \la|
|000024f0| 62 65 6c 7b 61 36 7d 54 | 68 65 20 66 6c 6f 77 20 |bel{a6}T|he flow |
|00002500| 69 73 20 67 69 76 65 6e | 20 62 79 20 74 68 65 20 |is given| by the |
|00002510| 69 6e 74 65 67 72 61 6c | 20 0d 0a 5c 5b 0d 0a 5c |integral| ..\[..\|
|00002520| 69 6e 74 5f 7b 30 7d 5e | 7b 52 7d 5c 61 6c 70 68 |int_{0}^|{R}\alph|
|00002530| 61 20 28 52 5e 7b 32 7d | 2d 72 5e 7b 32 7d 29 32 |a (R^{2}|-r^{2})2|
|00002540| 5c 70 69 20 72 64 72 3d | 5c 2c 5c 66 72 61 63 7b |\pi rdr=|\,\frac{|
|00002550| 31 7d 7b 32 7d 5c 61 6c | 70 68 61 20 5c 70 69 20 |1}{2}\al|pha \pi |
|00002560| 52 5e 7b 34 7d 20 0d 0a | 5c 5d 0d 0a 49 66 20 24 |R^{4} ..|\]..If $|
|00002570| 52 24 20 69 73 20 72 65 | 64 75 63 65 64 20 62 79 |R$ is re|duced by|
|00002580| 20 6f 6e 65 2d 68 61 6c | 66 2c 20 74 68 65 6e 20 | one-hal|f, then |
|00002590| 24 52 5e 7b 34 7d 24 20 | 69 73 20 72 65 64 75 63 |$R^{4}$ |is reduc|
|000025a0| 65 64 20 74 6f 20 24 5c | 66 72 61 63 7b 31 7d 7b |ed to $\|frac{1}{|
|000025b0| 31 36 7d 24 20 6f 66 0d | 0a 74 68 65 20 6f 72 69 |16}$ of.|.the ori|
|000025c0| 67 69 6e 61 6c 20 61 6d | 6f 75 6e 74 2e 5c 68 66 |ginal am|ount.\hf|
|000025d0| 69 6c 6c 20 5c 68 79 70 | 65 72 72 65 66 7b 5c 54 |ill \hyp|erref{\T|
|000025e0| 43 49 49 63 6f 6e 7b 42 | 49 54 4d 41 50 53 45 54 |CIIcon{B|ITMAPSET|
|000025f0| 50 72 6f 62 53 6f 6c 76 | 48 69 6e 74 7d 7b 30 2e |ProbSolv|Hint}{0.|
|00002600| 32 30 30 36 69 6e 25 0d | 0a 7d 7b 30 2e 32 34 33 |2006in%.|.}{0.243|
|00002610| 69 6e 7d 7b 30 69 6e 7d | 7d 7b 7d 7b 7d 7b 71 36 |in}{0in}|}{}{}{q6|
|00002620| 7d 0d 0a 0d 0a 5c 69 74 | 65 6d 5b 37 2e 5d 20 20 |}....\it|em[7.] |
|00002630| 5c 6c 61 62 65 6c 7b 61 | 37 7d 54 68 65 20 73 65 |\label{a|7}The se|
|00002640| 72 69 65 73 20 65 78 70 | 61 6e 73 69 6f 6e 20 69 |ries exp|ansion i|
|00002650| 73 20 67 69 76 65 6e 20 | 62 79 20 0d 0a 5c 5b 0d |s given |by ..\[.|
|00002660| 0a 6d 5f 7b 30 7d 5c 6c | 65 66 74 28 20 31 2d 5c |.m_{0}\l|eft( 1-\|
|00002670| 66 72 61 63 7b 76 5e 7b | 32 7d 7d 7b 63 5e 7b 32 |frac{v^{|2}}{c^{2|
|00002680| 7d 7d 5c 72 69 67 68 74 | 29 20 5e 7b 2d 31 2f 32 |}}\right|) ^{-1/2|
|00002690| 7d 3d 5c 2c 6d 5f 7b 30 | 7d 2b 5c 66 72 61 63 7b |}=\,m_{0|}+\frac{|
|000026a0| 31 7d 7b 32 7d 5c 66 72 | 61 63 7b 25 0d 0a 6d 5f |1}{2}\fr|ac{%..m_|
|000026b0| 7b 30 7d 7d 7b 63 5e 7b | 32 7d 7d 76 5e 7b 32 7d |{0}}{c^{|2}}v^{2}|
|000026c0| 2b 5c 66 72 61 63 7b 33 | 7d 7b 38 7d 5c 66 72 61 |+\frac{3|}{8}\fra|
|000026d0| 63 7b 6d 5f 7b 30 7d 7d | 7b 63 5e 7b 34 7d 7d 76 |c{m_{0}}|{c^{4}}v|
|000026e0| 5e 7b 34 7d 2b 4f 5c 6c | 65 66 74 28 20 76 5e 7b |^{4}+O\l|eft( v^{|
|000026f0| 36 7d 5c 72 69 67 68 74 | 29 20 0d 0a 5c 5d 0d 0a |6}\right|) ..\]..|
|00002700| 49 66 20 24 5c 66 72 61 | 63 7b 76 7d 7b 63 7d 24 |If $\fra|c{v}{c}$|
|00002710| 20 69 73 20 73 6d 61 6c | 6c 2c 20 74 68 65 6e 20 | is smal|l, then |
|00002720| 74 68 65 20 6d 6f 64 65 | 6c 20 0d 0a 5c 5b 0d 0a |the mode|l ..\[..|
|00002730| 6d 5c 61 70 70 72 6f 78 | 20 5c 2c 6d 5f 7b 30 7d |m\approx| \,m_{0}|
|00002740| 2b 5c 66 72 61 63 7b 31 | 7d 7b 32 7d 5c 66 72 61 |+\frac{1|}{2}\fra|
|00002750| 63 7b 6d 5f 7b 30 7d 7d | 7b 63 5e 7b 32 7d 7d 76 |c{m_{0}}|{c^{2}}v|
|00002760| 5e 7b 32 7d 20 0d 0a 5c | 5d 0d 0a 69 73 20 75 73 |^{2} ..\|]..is us|
|00002770| 65 66 75 6c 20 66 6f 72 | 20 65 73 74 69 6d 61 74 |eful for| estimat|
|00002780| 69 6e 67 20 74 68 65 20 | 69 6e 63 72 65 61 73 65 |ing the |increase|
|00002790| 64 20 6d 61 73 73 2e 5c | 68 66 69 6c 6c 20 5c 68 |d mass.\|hfill \h|
|000027a0| 79 70 65 72 72 65 66 7b | 5c 54 43 49 49 63 6f 6e |yperref{|\TCIIcon|
|000027b0| 7b 25 0d 0a 42 49 54 4d | 41 50 53 45 54 50 72 6f |{%..BITM|APSETPro|
|000027c0| 62 53 6f 6c 76 48 69 6e | 74 7d 7b 30 2e 32 30 30 |bSolvHin|t}{0.200|
|000027d0| 36 69 6e 7d 7b 30 2e 32 | 34 33 69 6e 7d 7b 30 69 |6in}{0.2|43in}{0i|
|000027e0| 6e 7d 7d 7b 7d 7b 7d 7b | 71 37 7d 0d 0a 0d 0a 5c |n}}{}{}{|q7}....\|
|000027f0| 69 74 65 6d 5b 38 2e 5d | 20 20 5c 6c 61 62 65 6c |item[8.]| \label|
|00002800| 7b 61 38 7d 54 68 65 20 | 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e |{a8}The |followin|
|00002810| 67 20 73 65 71 75 65 6e | 63 65 20 72 65 71 75 69 |g sequen|ce requi|
|00002820| 72 65 73 20 5c 74 65 78 | 74 73 66 7b 45 76 61 6c |res \tex|tsf{Eval|
|00002830| 75 61 74 65 7d 2c 20 0d | 0a 5c 74 65 78 74 73 66 |uate}, .|.\textsf|
|00002840| 7b 53 69 6d 70 6c 69 66 | 79 7d 2c 20 5c 74 65 78 |{Simplif|y}, \tex|
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|00002880| 64 20 0d 0a 5c 74 65 78 | 74 73 66 7b 53 69 6d 70 |d ..\tex|tsf{Simp|
|00002890| 6c 69 66 79 7d 2e 20 5c | 68 66 69 6c 6c 20 5c 68 |lify}. \|hfill \h|
|000028a0| 79 70 65 72 72 65 66 7b | 5c 54 43 49 49 63 6f 6e |yperref{|\TCIIcon|
|000028b0| 7b 42 49 54 4d 41 50 53 | 45 54 50 72 6f 62 53 6f |{BITMAPS|ETProbSo|
|000028c0| 6c 76 48 69 6e 74 7d 7b | 30 2e 32 30 30 36 69 6e |lvHint}{|0.2006in|
|000028d0| 25 0d 0a 7d 7b 30 2e 32 | 34 33 69 6e 7d 7b 30 69 |%..}{0.2|43in}{0i|
|000028e0| 6e 7d 7d 7b 7d 7b 7d 7b | 71 38 7d 20 0d 0a 5c 62 |n}}{}{}{|q8} ..\b|
|000028f0| 65 67 69 6e 7b 65 71 6e | 61 72 72 61 79 2a 7d 0d |egin{eqn|array*}.|
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|00002910| 20 62 78 64 78 20 26 3d | 26 5c 64 66 72 61 63 7b | bxdx &=|&\dfrac{|
|00002920| 5c 66 72 61 63 7b 5c 6c | 6e 20 32 7d 7b 62 5e 7b |\frac{\l|n 2}{b^{|
|00002930| 32 7d 2b 5c 6c 6e 20 5e | 7b 32 7d 32 7d 32 5e 7b |2}+\ln ^|{2}2}2^{|
|00002940| 78 7d 2b 32 5e 7b 31 2b | 78 7d 25 0d 0a 5c 66 72 |x}+2^{1+|x}%..\fr|
|00002950| 61 63 7b 62 7d 7b 62 5e | 7b 32 7d 2b 5c 6c 6e 20 |ac{b}{b^|{2}+\ln |
|00002960| 5e 7b 32 7d 32 7d 5c 74 | 61 6e 20 5c 66 72 61 63 |^{2}2}\t|an \frac|
|00002970| 7b 31 7d 7b 32 7d 62 78 | 2d 5c 66 72 61 63 7b 5c |{1}{2}bx|-\frac{\|
|00002980| 6c 6e 20 32 7d 7b 62 5e | 7b 32 7d 2b 5c 6c 6e 20 |ln 2}{b^|{2}+\ln |
|00002990| 5e 7b 32 7d 32 7d 25 0d | 0a 32 5e 7b 78 7d 5c 74 |^{2}2}%.|.2^{x}\t|
|000029a0| 61 6e 20 5e 7b 32 7d 5c | 64 66 72 61 63 7b 31 7d |an ^{2}\|dfrac{1}|
|000029b0| 7b 32 7d 62 78 7d 7b 31 | 2b 5c 74 61 6e 20 5e 7b |{2}bx}{1|+\tan ^{|
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|000029d0| 20 5c 5c 0d 0a 26 3d 26 | 5c 64 66 72 61 63 7b 32 | \\..&=&|\dfrac{2|
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|00002b30| 62 5e 7b 32 7d 2b 5c 6c | 6e 20 5e 7b 32 7d 32 7d |b^{2}+\l|n ^{2}2}|
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|000030e0| 28 78 5e 7b 31 2b 68 7d | 29 5c 2c 64 78 3d 31 20 |(x^{1+h}|)\,dx=1 |
|000030f0| 0d 0a 5c 5d 0d 0a 54 68 | 69 73 20 72 65 73 75 6c |..\]..Th|is resul|
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|00003130| 5f 7b 30 7d 5e 7b 5c 69 | 6e 66 74 79 20 7d 5c 73 |_{0}^{\i|nfty }\s|
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|00003190| 61 6e 64 20 0d 0a 5c 5b | 0d 0a 67 28 79 29 3d 5c |and ..\[|..g(y)=\|
|000031a0| 69 6e 74 5f 7b 30 7d 5e | 7b 79 7d 5c 73 69 6e 20 |int_{0}^|{y}\sin |
|000031b0| 78 5c 2c 64 78 3d 31 2d | 5c 63 6f 73 20 79 20 0d |x\,dx=1-|\cos y .|
|000031c0| 0a 5c 5d 0d 0a 72 61 6e | 67 65 73 20 69 6e 20 76 |.\]..ran|ges in v|
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|000031e0| 20 61 6e 64 20 24 32 2c | 24 20 77 69 74 68 20 61 | and $2,|$ with a|
|000031f0| 6e 20 61 76 65 72 61 67 | 65 20 76 61 6c 75 65 20 |n averag|e value |
|00003200| 6f 66 20 24 31 2e 24 5c | 68 66 69 6c 6c 20 0d 0a |of $1.$\|hfill ..|
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|000032c0| 29 3d 78 65 5e 7b 78 7d | 24 2c 20 61 6e 64 20 24 |)=xe^{x}|$, and $|
|000032d0| 66 28 78 29 3d 5c 73 69 | 6e 20 5e 7b 32 7d 78 5c |f(x)=\si|n ^{2}x\|
|000032e0| 63 6f 73 20 78 24 2c 5c | 68 66 69 6c 6c 20 5c 68 |cos x$,\|hfill \h|
|000032f0| 79 70 65 72 72 65 66 7b | 25 0d 0a 5c 54 43 49 49 |yperref{|%..\TCII|
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|00003330| 6e 7d 7d 7b 7d 7b 7d 7b | 71 31 31 7d 0d 0a 0d 0a |n}}{}{}{|q11}....|
|00003340| 5c 62 65 67 69 6e 7b 65 | 6e 75 6d 65 72 61 74 65 |\begin{e|numerate|
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|00003370| 62 79 20 24 67 28 78 29 | 3d 5c 69 6e 74 5f 7b 61 |by $g(x)|=\int_{a|
|00003380| 7d 5e 7b 78 7d 66 28 74 | 29 64 74 24 20 66 6f 72 |}^{x}f(t|)dt$ for|
|00003390| 20 24 78 5c 69 6e 20 5c | 6c 65 66 74 5b 0d 0a 61 | $x\in \|left[..a|
|000033a0| 2c 62 5c 72 69 67 68 74 | 5d 20 24 2c 20 74 68 65 |,b\right|] $, the|
|000033b0| 6e 20 24 67 5e 7b 5c 70 | 72 69 6d 65 20 7d 28 78 |n $g^{\p|rime }(x|
|000033c0| 29 3d 66 28 78 29 24 2c | 20 61 6e 64 0d 0a 0d 0a |)=f(x)$,| and....|
|000033d0| 5c 69 74 65 6d 5b 62 2e | 5d 20 20 49 66 20 24 46 |\item[b.|] If $F|
|000033e0| 24 20 69 73 20 61 6e 79 | 20 61 6e 74 69 64 65 72 |$ is any| antider|
|000033f0| 69 76 61 74 69 76 65 20 | 6f 66 20 24 66 24 2c 20 |ivative |of $f$, |
|00003400| 74 68 65 6e 2e 24 25 0d | 0a 5c 69 6e 74 5f 7b 61 |then.$%.|.\int_{a|
|00003410| 7d 5e 7b 62 7d 66 28 78 | 29 64 78 3d 46 28 62 29 |}^{b}f(x|)dx=F(b)|
|00003420| 2d 46 28 61 29 24 2e 0d | 0a 5c 65 6e 64 7b 65 6e |-F(a)$..|.\end{en|
|00003430| 75 6d 65 72 61 74 65 7d | 0d 0a 0d 0a 46 6f 72 20 |umerate}|....For |
|00003440| 24 66 28 78 29 3d 78 5e | 7b 33 7d 24 2c 20 0d 0a |$f(x)=x^|{3}$, ..|
|00003450| 5c 5b 0d 0a 67 28 78 29 | 3d 5c 69 6e 74 5f 7b 61 |\[..g(x)|=\int_{a|
|00003460| 7d 5e 7b 78 7d 74 5e 7b | 33 7d 64 74 3d 5c 61 6c |}^{x}t^{|3}dt=\al|
|00003470| 6c 6f 77 62 72 65 61 6b | 20 5c 66 72 61 63 7b 31 |lowbreak| \frac{1|
|00003480| 7d 7b 34 7d 78 5e 7b 34 | 7d 2d 5c 66 72 61 63 7b |}{4}x^{4|}-\frac{|
|00003490| 31 7d 7b 34 7d 61 5e 7b | 34 7d 20 0d 0a 5c 5d 0d |1}{4}a^{|4} ..\].|
|000034a0| 0a 61 6e 64 20 0d 0a 5c | 5b 0d 0a 67 5e 7b 5c 70 |.and ..\|[..g^{\p|
|000034b0| 72 69 6d 65 20 7d 28 78 | 29 3d 5c 66 72 61 63 7b |rime }(x|)=\frac{|
|000034c0| 64 7d 7b 64 78 7d 5c 6c | 65 66 74 28 20 5c 66 72 |d}{dx}\l|eft( \fr|
|000034d0| 61 63 7b 31 7d 7b 34 7d | 78 5e 7b 34 7d 2d 5c 66 |ac{1}{4}|x^{4}-\f|
|000034e0| 72 61 63 7b 31 7d 7b 34 | 7d 61 5e 7b 34 7d 5c 72 |rac{1}{4|}a^{4}\r|
|000034f0| 69 67 68 74 29 0d 0a 3d | 5c 61 6c 6c 6f 77 62 72 |ight)..=|\allowbr|
|00003500| 65 61 6b 20 78 5e 7b 33 | 7d 20 0d 0a 5c 5d 0d 0a |eak x^{3|} ..\]..|
|00003510| 54 68 65 20 61 6e 74 69 | 64 65 72 69 76 61 74 69 |The anti|derivati|
|00003520| 76 65 73 20 6f 66 20 24 | 66 24 20 61 72 65 20 6f |ves of $|f$ are o|
|00003530| 66 20 74 68 65 20 66 6f | 72 6d 20 0d 0a 5c 5b 0d |f the fo|rm ..\[.|
|00003540| 0a 46 28 78 29 3d 5c 69 | 6e 74 20 78 5e 7b 33 7d |.F(x)=\i|nt x^{3}|
|00003550| 64 78 3d 5c 61 6c 6c 6f | 77 62 72 65 61 6b 20 5c |dx=\allo|wbreak \|
|00003560| 66 72 61 63 7b 31 7d 7b | 34 7d 78 5e 7b 34 7d 2b |frac{1}{|4}x^{4}+|
|00003570| 43 20 0d 0a 5c 5d 0d 0a | 66 6f 72 20 64 69 66 66 |C ..\]..|for diff|
|00003580| 65 72 65 6e 74 20 63 6f | 6e 73 74 61 6e 74 73 20 |erent co|nstants |
|00003590| 24 43 24 2e 20 4e 6f 77 | 20 0d 0a 5c 5b 0d 0a 46 |$C$. Now| ..\[..F|
|000035a0| 28 62 29 2d 46 28 78 29 | 3d 5c 6c 65 66 74 5b 20 |(b)-F(x)|=\left[ |
|000035b0| 5c 61 6c 6c 6f 77 62 72 | 65 61 6b 20 5c 66 72 61 |\allowbr|eak \fra|
|000035c0| 63 7b 31 7d 7b 34 7d 78 | 5e 7b 34 7d 2b 43 5c 72 |c{1}{4}x|^{4}+C\r|
|000035d0| 69 67 68 74 5d 0d 0a 5f | 7b 78 3d 61 7d 5e 7b 78 |ight].._|{x=a}^{x|
|000035e0| 3d 62 7d 3d 5c 61 6c 6c | 6f 77 62 72 65 61 6b 20 |=b}=\all|owbreak |
|000035f0| 5c 66 72 61 63 7b 31 7d | 7b 34 7d 62 5e 7b 34 7d |\frac{1}|{4}b^{4}|
|00003600| 2d 5c 66 72 61 63 7b 31 | 7d 7b 34 7d 61 5e 7b 34 |-\frac{1|}{4}a^{4|
|00003610| 7d 20 0d 0a 5c 5d 0d 0a | 77 68 69 63 68 20 69 73 |} ..\]..|which is|
|00003620| 20 74 68 65 20 73 61 6d | 65 20 61 73 20 0d 0a 5c | the sam|e as ..\|
|00003630| 5b 0d 0a 5c 69 6e 74 5f | 7b 61 7d 5e 7b 62 7d 78 |[..\int_|{a}^{b}x|
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|00003660| 7b 34 7d 2d 5c 66 72 61 | 63 7b 31 7d 7b 34 7d 61 |{4}-\fra|c{1}{4}a|
|00003670| 5e 7b 34 7d 20 0d 0a 5c | 5d 0d 0a 0d 0a 46 6f 72 |^{4} ..\|]....For|
|00003680| 20 24 66 28 78 29 3d 78 | 65 5e 7b 78 7d 24 2c 20 | $f(x)=x|e^{x}$, |
|00003690| 0d 0a 5c 5b 0d 0a 67 28 | 78 29 3d 5c 69 6e 74 5f |..\[..g(|x)=\int_|
|000036a0| 7b 61 7d 5e 7b 78 7d 74 | 65 5e 7b 74 7d 64 74 3d |{a}^{x}t|e^{t}dt=|
|000036b0| 5c 61 6c 6c 6f 77 62 72 | 65 61 6b 20 78 65 5e 7b |\allowbr|eak xe^{|
|000036c0| 78 7d 2d 65 5e 7b 78 7d | 2d 61 65 5e 7b 61 7d 2b |x}-e^{x}|-ae^{a}+|
|000036d0| 65 5e 7b 61 7d 20 0d 0a | 5c 5d 0d 0a 61 6e 64 20 |e^{a} ..|\]..and |
|000036e0| 0d 0a 5c 5b 0d 0a 67 5e | 7b 5c 70 72 69 6d 65 20 |..\[..g^|{\prime |
|000036f0| 7d 28 78 29 3d 5c 66 72 | 61 63 7b 64 7d 7b 64 78 |}(x)=\fr|ac{d}{dx|
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|00003720| 7d 5c 72 69 67 68 74 29 | 0d 0a 3d 5c 61 6c 6c 6f |}\right)|..=\allo|
|00003730| 77 62 72 65 61 6b 20 78 | 65 5e 7b 78 7d 20 0d 0a |wbreak x|e^{x} ..|
|00003740| 5c 5d 0d 0a 54 68 65 20 | 61 6e 74 69 64 65 72 69 |\]..The |antideri|
|00003750| 76 61 74 69 76 65 73 20 | 6f 66 20 24 66 24 20 61 |vatives |of $f$ a|
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|00003770| 0a 5c 5b 0d 0a 46 28 78 | 29 3d 5c 69 6e 74 20 78 |.\[..F(x|)=\int x|
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|000037a0| 2b 43 20 0d 0a 5c 5d 0d | 0a 66 6f 72 20 64 69 66 |+C ..\].|.for dif|
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|000037c0| 20 24 43 24 2e 20 4e 6f | 77 20 0d 0a 5c 5b 0d 0a | $C$. No|w ..\[..|
|000037d0| 46 28 62 29 2d 46 28 78 | 29 3d 5c 6c 65 66 74 5b |F(b)-F(x|)=\left[|
|000037e0| 20 78 65 5e 7b 78 7d 2d | 65 5e 7b 78 7d 2b 43 5c | xe^{x}-|e^{x}+C\|
|000037f0| 72 69 67 68 74 5d 20 5f | 7b 78 3d 61 7d 5e 7b 78 |right] _|{x=a}^{x|
|00003800| 3d 62 7d 3d 5c 61 6c 6c | 6f 77 62 72 65 61 6b 0d |=b}=\all|owbreak.|
|00003810| 0a 62 65 5e 7b 62 7d 2d | 65 5e 7b 62 7d 2d 61 65 |.be^{b}-|e^{b}-ae|
|00003820| 5e 7b 61 7d 2b 65 5e 7b | 61 7d 20 0d 0a 5c 5d 0d |^{a}+e^{|a} ..\].|
|00003830| 0a 77 68 69 63 68 20 69 | 73 20 74 68 65 20 73 61 |.which i|s the sa|
|00003840| 6d 65 20 61 73 20 0d 0a | 5c 5b 0d 0a 5c 69 6e 74 |me as ..|\[..\int|
|00003850| 5f 7b 61 7d 5e 7b 62 7d | 78 65 5e 7b 78 7d 64 78 |_{a}^{b}|xe^{x}dx|
|00003860| 3d 5c 61 6c 6c 6f 77 62 | 72 65 61 6b 20 62 65 5e |=\allowb|reak be^|
|00003870| 7b 62 7d 2d 65 5e 7b 62 | 7d 2d 61 65 5e 7b 61 7d |{b}-e^{b|}-ae^{a}|
|00003880| 2b 65 5e 7b 61 7d 20 0d | 0a 5c 5d 0d 0a 0d 0a 46 |+e^{a} .|.\]....F|
|00003890| 6f 72 20 24 66 28 78 29 | 3d 5c 73 69 6e 20 5e 7b |or $f(x)|=\sin ^{|
|000038a0| 32 7d 78 5c 63 6f 73 20 | 78 24 2c 20 0d 0a 5c 5b |2}x\cos |x$, ..\[|
|000038b0| 0d 0a 67 28 78 29 3d 5c | 69 6e 74 5f 7b 61 7d 5e |..g(x)=\|int_{a}^|
|000038c0| 7b 78 7d 5c 73 69 6e 20 | 5e 7b 32 7d 74 5c 63 6f |{x}\sin |^{2}t\co|
|000038d0| 73 20 74 64 74 3d 5c 61 | 6c 6c 6f 77 62 72 65 61 |s tdt=\a|llowbrea|
|000038e0| 6b 20 5c 66 72 61 63 7b | 31 7d 7b 33 7d 5c 73 69 |k \frac{|1}{3}\si|
|000038f0| 6e 20 78 2d 5c 66 72 61 | 63 7b 31 7d 7b 33 7d 25 |n x-\fra|c{1}{3}%|
|00003900| 0d 0a 5c 73 69 6e 20 78 | 5c 63 6f 73 20 5e 7b 32 |..\sin x|\cos ^{2|
|00003910| 7d 78 2d 5c 66 72 61 63 | 7b 31 7d 7b 33 7d 5c 73 |}x-\frac|{1}{3}\s|
|00003920| 69 6e 20 61 2b 5c 66 72 | 61 63 7b 31 7d 7b 33 7d |in a+\fr|ac{1}{3}|
|00003930| 5c 73 69 6e 20 61 5c 63 | 6f 73 20 5e 7b 32 7d 61 |\sin a\c|os ^{2}a|
|00003940| 20 0d 0a 5c 5d 0d 0a 61 | 6e 64 20 0d 0a 5c 62 65 | ..\]..a|nd ..\be|
|00003950| 67 69 6e 7b 65 71 6e 61 | 72 72 61 79 2a 7d 0d 0a |gin{eqna|rray*}..|
|00003960| 67 5e 7b 5c 70 72 69 6d | 65 20 7d 28 78 29 20 26 |g^{\prim|e }(x) &|
|00003970| 3d 26 5c 66 72 61 63 7b | 64 7d 7b 64 78 7d 5c 6c |=&\frac{|d}{dx}\l|
|00003980| 65 66 74 28 20 5c 66 72 | 61 63 7b 31 7d 7b 33 7d |eft( \fr|ac{1}{3}|
|00003990| 5c 73 69 6e 20 78 2d 5c | 66 72 61 63 7b 31 7d 7b |\sin x-\|frac{1}{|
|000039a0| 33 7d 5c 73 69 6e 20 78 | 5c 63 6f 73 0d 0a 5e 7b |3}\sin x|\cos..^{|
|000039b0| 32 7d 78 2d 5c 66 72 61 | 63 7b 31 7d 7b 33 7d 5c |2}x-\fra|c{1}{3}\|
|000039c0| 73 69 6e 20 61 2b 5c 66 | 72 61 63 7b 31 7d 7b 33 |sin a+\f|rac{1}{3|
|000039d0| 7d 5c 73 69 6e 20 61 5c | 63 6f 73 20 5e 7b 32 7d |}\sin a\|cos ^{2}|
|000039e0| 61 5c 72 69 67 68 74 29 | 20 5c 5c 0d 0a 26 3d 26 |a\right)| \\..&=&|
|000039f0| 5c 61 6c 6c 6f 77 62 72 | 65 61 6b 20 5c 63 6f 73 |\allowbr|eak \cos|
|00003a00| 20 78 2d 5c 63 6f 73 20 | 5e 7b 33 7d 78 3d 5c 61 | x-\cos |^{3}x=\a|
|00003a10| 6c 6c 6f 77 62 72 65 61 | 6b 20 5c 6c 65 66 74 28 |llowbrea|k \left(|
|00003a20| 20 31 2d 5c 63 6f 73 20 | 5e 7b 32 7d 78 5c 72 69 | 1-\cos |^{2}x\ri|
|00003a30| 67 68 74 29 0d 0a 5c 6c | 65 66 74 28 20 5c 63 6f |ght)..\l|eft( \co|
|00003a40| 73 20 78 5c 72 69 67 68 | 74 29 20 3d 5c 73 69 6e |s x\righ|t) =\sin|
|00003a50| 20 5e 7b 32 7d 78 5c 63 | 6f 73 20 78 0d 0a 5c 65 | ^{2}x\c|os x..\e|
|00003a60| 6e 64 7b 65 71 6e 61 72 | 72 61 79 2a 7d 0d 0a 54 |nd{eqnar|ray*}..T|
|00003a70| 68 65 20 61 6e 74 69 64 | 65 72 69 76 61 74 69 76 |he antid|erivativ|
|00003a80| 65 73 20 6f 66 20 24 66 | 24 20 61 72 65 20 6f 66 |es of $f|$ are of|
|00003a90| 20 74 68 65 20 66 6f 72 | 6d 20 0d 0a 5c 5b 0d 0a | the for|m ..\[..|
|00003aa0| 46 28 78 29 3d 5c 69 6e | 74 20 5c 73 69 6e 20 5e |F(x)=\in|t \sin ^|
|00003ab0| 7b 32 7d 78 5c 63 6f 73 | 20 78 64 78 3d 5c 61 6c |{2}x\cos| xdx=\al|
|00003ac0| 6c 6f 77 62 72 65 61 6b | 20 5c 66 72 61 63 7b 31 |lowbreak| \frac{1|
|00003ad0| 7d 7b 33 7d 5c 73 69 6e | 20 5e 7b 33 7d 78 2b 43 |}{3}\sin| ^{3}x+C|
|00003ae0| 20 0d 0a 5c 5d 0d 0a 66 | 6f 72 20 64 69 66 66 65 | ..\]..f|or diffe|
|00003af0| 72 65 6e 74 20 63 6f 6e | 73 74 61 6e 74 73 20 24 |rent con|stants $|
|00003b00| 43 24 2e 20 4e 6f 77 20 | 0d 0a 5c 5b 0d 0a 46 28 |C$. Now |..\[..F(|
|00003b10| 62 29 2d 46 28 78 29 3d | 5c 6c 65 66 74 5b 20 5c |b)-F(x)=|\left[ \|
|00003b20| 66 72 61 63 7b 31 7d 7b | 33 7d 5c 73 69 6e 20 5e |frac{1}{|3}\sin ^|
|00003b30| 7b 33 7d 78 2b 43 5c 72 | 69 67 68 74 5d 20 5f 7b |{3}x+C\r|ight] _{|
|00003b40| 78 3d 61 7d 5e 7b 78 3d | 62 7d 3d 5c 61 6c 6c 6f |x=a}^{x=|b}=\allo|
|00003b50| 77 62 72 65 61 6b 20 0d | 0a 5c 66 72 61 63 7b 31 |wbreak .|.\frac{1|
|00003b60| 7d 7b 33 7d 5c 73 69 6e | 20 5e 7b 33 7d 62 2d 5c |}{3}\sin| ^{3}b-\|
|00003b70| 66 72 61 63 7b 31 7d 7b | 33 7d 5c 73 69 6e 20 5e |frac{1}{|3}\sin ^|
|00003b80| 7b 33 7d 61 20 0d 0a 5c | 5d 0d 0a 77 68 69 6c 65 |{3}a ..\|]..while|
|00003b90| 20 0d 0a 5c 5b 0d 0a 5c | 69 6e 74 5f 7b 61 7d 5e | ..\[..\|int_{a}^|
|00003ba0| 7b 62 7d 5c 73 69 6e 20 | 5e 7b 32 7d 78 5c 63 6f |{b}\sin |^{2}x\co|
|00003bb0| 73 20 78 64 78 3d 5c 61 | 6c 6c 6f 77 62 72 65 61 |s xdx=\a|llowbrea|
|00003bc0| 6b 20 5c 66 72 61 63 7b | 31 7d 7b 33 7d 5c 73 69 |k \frac{|1}{3}\si|
|00003bd0| 6e 20 62 2d 5c 66 72 61 | 63 7b 31 7d 7b 33 7d 5c |n b-\fra|c{1}{3}\|
|00003be0| 73 69 6e 0d 0a 62 5c 63 | 6f 73 20 5e 7b 32 7d 62 |sin..b\c|os ^{2}b|
|00003bf0| 2d 5c 66 72 61 63 7b 31 | 7d 7b 33 7d 5c 73 69 6e |-\frac{1|}{3}\sin|
|00003c00| 20 61 2b 5c 66 72 61 63 | 7b 31 7d 7b 33 7d 5c 73 | a+\frac|{1}{3}\s|
|00003c10| 69 6e 20 61 5c 63 6f 73 | 20 5e 7b 32 7d 61 20 0d |in a\cos| ^{2}a .|
|00003c20| 0a 5c 5d 0d 0a 41 70 70 | 6c 79 69 6e 67 20 5c 74 |.\]..App|lying \t|
|00003c30| 65 78 74 73 66 7b 43 6f | 6d 62 69 6e 65 20 2b 20 |extsf{Co|mbine + |
|00003c40| 54 72 69 67 20 46 75 6e | 63 74 69 6f 6e 73 7d 20 |Trig Fun|ctions} |
|00003c50| 74 6f 20 62 6f 74 68 20 | 6f 66 20 74 68 65 73 65 |to both |of these|
|00003c60| 20 65 78 70 72 65 73 73 | 69 6f 6e 20 73 68 6f 77 | express|ion show|
|00003c70| 73 0d 0a 74 68 61 74 20 | 74 68 65 79 20 61 72 65 |s..that |they are|
|00003c80| 20 65 71 75 61 6c 2e 20 | 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e | equal. |..\begin|
|00003c90| 7b 65 71 6e 61 72 72 61 | 79 2a 7d 0d 0a 5c 66 72 |{eqnarra|y*}..\fr|
|00003ca0| 61 63 7b 31 7d 7b 33 7d | 5c 73 69 6e 20 62 2d 5c |ac{1}{3}|\sin b-\|
|00003cb0| 61 6c 6c 6f 77 62 72 65 | 61 6b 20 5c 66 72 61 63 |allowbre|ak \frac|
|00003cc0| 7b 31 7d 7b 33 7d 5c 73 | 69 6e 20 62 5c 63 6f 73 |{1}{3}\s|in b\cos|
|00003cd0| 20 5e 7b 32 7d 62 2d 5c | 66 72 61 63 7b 31 7d 7b | ^{2}b-\|frac{1}{|
|00003ce0| 33 7d 5c 73 69 6e 20 61 | 2b 25 0d 0a 5c 66 72 61 |3}\sin a|+%..\fra|
|00003cf0| 63 7b 31 7d 7b 33 7d 5c | 73 69 6e 20 61 5c 63 6f |c{1}{3}\|sin a\co|
|00003d00| 73 20 5e 7b 32 7d 61 20 | 26 3d 26 5c 61 6c 6c 6f |s ^{2}a |&=&\allo|
|00003d10| 77 62 72 65 61 6b 20 5c | 66 72 61 63 7b 31 7d 7b |wbreak \|frac{1}{|
|00003d20| 34 7d 5c 73 69 6e 20 62 | 2d 5c 66 72 61 63 7b 31 |4}\sin b|-\frac{1|
|00003d30| 7d 7b 31 32 7d 25 0d 0a | 5c 73 69 6e 20 33 62 2d |}{12}%..|\sin 3b-|
|00003d40| 5c 66 72 61 63 7b 31 7d | 7b 34 7d 5c 73 69 6e 20 |\frac{1}|{4}\sin |
|00003d50| 61 2b 5c 66 72 61 63 7b | 31 7d 7b 31 32 7d 5c 73 |a+\frac{|1}{12}\s|
|00003d60| 69 6e 20 33 61 20 5c 5c | 0d 0a 5c 66 72 61 63 7b |in 3a \\|..\frac{|
|00003d70| 31 7d 7b 33 7d 5c 73 69 | 6e 20 5e 7b 33 7d 62 2d |1}{3}\si|n ^{3}b-|
|00003d80| 5c 66 72 61 63 7b 31 7d | 7b 33 7d 5c 73 69 6e 20 |\frac{1}|{3}\sin |
|00003d90| 5e 7b 33 7d 61 20 26 3d | 26 5c 61 6c 6c 6f 77 62 |^{3}a &=|&\allowb|
|00003da0| 72 65 61 6b 20 5c 66 72 | 61 63 7b 31 7d 7b 34 7d |reak \fr|ac{1}{4}|
|00003db0| 5c 73 69 6e 20 62 2d 25 | 0d 0a 5c 66 72 61 63 7b |\sin b-%|..\frac{|
|00003dc0| 31 7d 7b 31 32 7d 5c 73 | 69 6e 20 33 62 2d 5c 66 |1}{12}\s|in 3b-\f|
|00003dd0| 72 61 63 7b 31 7d 7b 34 | 7d 5c 73 69 6e 20 61 2b |rac{1}{4|}\sin a+|
|00003de0| 5c 66 72 61 63 7b 31 7d | 7b 31 32 7d 5c 73 69 6e |\frac{1}|{12}\sin|
|00003df0| 20 33 61 0d 0a 5c 65 6e | 64 7b 65 71 6e 61 72 72 | 3a..\en|d{eqnarr|
|00003e00| 61 79 2a 7d 0d 0a 0d 0a | 41 6e 6f 74 68 65 72 20 |ay*}....|Another |
|00003e10| 77 61 79 20 74 6f 20 64 | 65 6d 6f 6e 73 74 72 61 |way to d|emonstra|
|00003e20| 74 65 20 74 68 69 73 20 | 65 71 75 61 6c 69 74 79 |te this |equality|
|00003e30| 20 69 73 20 74 6f 20 72 | 65 70 6c 61 63 65 20 24 | is to r|eplace $|
|00003e40| 5c 63 6f 73 20 5e 7b 32 | 7d 78 24 20 62 79 20 24 |\cos ^{2|}x$ by $|
|00003e50| 25 0d 0a 31 2d 5c 73 69 | 6e 20 5e 7b 32 7d 78 24 |%..1-\si|n ^{2}x$|
|00003e60| 20 61 6e 64 20 61 70 70 | 6c 79 20 5c 74 65 78 74 | and app|ly \text|
|00003e70| 73 66 7b 45 78 70 61 6e | 64 7d 20 74 6f 20 67 65 |sf{Expan|d} to ge|
|00003e80| 74 0d 0a 0d 0a 5c 5b 0d | 0a 5c 66 72 61 63 7b 31 |t....\[.|.\frac{1|
|00003e90| 7d 7b 33 7d 5c 73 69 6e | 20 62 2d 5c 61 6c 6c 6f |}{3}\sin| b-\allo|
|00003ea0| 77 62 72 65 61 6b 20 5c | 66 72 61 63 7b 31 7d 7b |wbreak \|frac{1}{|
|00003eb0| 33 7d 5c 6c 65 66 74 28 | 20 5c 73 69 6e 20 62 5c |3}\left(| \sin b\|
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