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|00001550| 66 61 63 65 20 24 7a 3d | 78 5e 7b 33 7d 2d 33 78 |face $z=|x^{3}-3x|
|00001560| 79 2b 79 5e 7b 33 7d 24 | 20 61 72 65 20 6e 65 67 |y+y^{3}$| are neg|
|00001570| 61 74 69 76 65 0d 0a 69 | 6e 73 69 64 65 20 74 68 |ative..i|nside th|
|00001580| 65 20 6c 6f 6f 70 20 69 | 6e 20 74 68 65 20 66 69 |e loop i|n the fi|
|00001590| 72 73 74 20 71 75 61 64 | 72 61 6e 74 20 61 6e 64 |rst quad|rant and|
|000015a0| 20 69 6e 20 74 68 65 20 | 6c 6f 77 65 72 20 6c 65 | in the |lower le|
|000015b0| 66 74 20 63 6f 72 6e 65 | 72 20 6f 66 20 74 68 65 |ft corne|r of the|
|000015c0| 20 24 25 0d 0a 78 79 20 | 24 2d 70 6c 61 6e 65 2e | $%..xy |$-plane.|
|000015d0| 5c 6d 65 64 73 6b 69 70 | 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 67 |\medskip|....\beg|
|000015e0| 69 6e 7b 65 78 61 6d 70 | 6c 65 7d 0d 0a 5c 62 65 |in{examp|le}..\be|
|000015f0| 67 69 6e 7b 71 75 6f 74 | 61 74 69 6f 6e 7d 0d 0a |gin{quot|ation}..|
|00001600| 41 20 70 61 70 65 72 20 | 63 75 70 20 0d 0a 5c 69 |A paper |cup ..\i|
|00001610| 6e 64 65 78 7b 50 61 70 | 65 72 20 63 75 70 20 70 |ndex{Pap|er cup p|
|00001620| 72 6f 62 6c 65 6d 7d 5c | 6c 61 62 65 6c 7b 50 61 |roblem}\|label{Pa|
|00001630| 70 65 72 20 63 75 70 20 | 70 72 6f 62 6c 65 6d 7d |per cup |problem}|
|00001640| 69 73 20 74 6f 20 62 65 | 20 6d 61 64 65 20 66 72 |is to be| made fr|
|00001650| 6f 6d 20 61 0d 0a 63 69 | 72 63 75 6c 61 72 20 70 |om a..ci|rcular p|
|00001660| 69 65 63 65 20 6f 66 20 | 70 61 70 65 72 20 6f 66 |iece of |paper of|
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|000016c0| 6c 69 74 79 20 69 73 20 | 74 6f 20 6d 61 6b 65 20 |lity is |to make |
|000016d0| 61 20 63 69 72 63 75 6c | 61 72 20 62 61 73 65 20 |a circul|ar base |
|000016e0| 6f 75 74 20 6f 66 20 74 | 68 65 0d 0a 63 65 6e 74 |out of t|he..cent|
|000016f0| 72 61 6c 20 70 61 72 74 | 20 6f 66 20 74 68 65 20 |ral part| of the |
|00001700| 70 69 65 63 65 20 6f 66 | 20 70 61 70 65 72 2c 20 |piece of| paper, |
|00001710| 61 6e 64 20 74 68 65 6e | 20 74 6f 20 63 72 75 6d |and then| to crum|
|00001720| 70 6c 65 20 74 68 65 20 | 72 65 6d 61 69 6e 64 65 |ple the |remainde|
|00001730| 72 20 6f 66 20 74 68 65 | 0d 0a 70 61 70 65 72 20 |r of the|..paper |
|00001740| 74 6f 20 66 6f 72 6d 20 | 61 20 72 69 67 68 74 20 |to form |a right |
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|00001770| 2c 20 74 68 65 20 68 65 | 69 67 68 74 20 70 6c 75 |, the he|ight plu|
|00001780| 73 0d 0a 72 61 64 69 75 | 73 20 69 73 20 24 31 24 |s..radiu|s is $1$|
|00001790| 2e 29 20 42 79 20 75 73 | 69 6e 67 20 61 6e 20 61 |.) By us|ing an a|
|000017a0| 6e 67 6c 65 20 6c 65 73 | 73 20 74 68 61 6e 20 24 |ngle les|s than $|
|000017b0| 39 30 5e 7b 5c 63 69 72 | 63 20 7d 24 2c 20 79 6f |90^{\cir|c }$, yo|
|000017c0| 75 20 63 61 6e 20 61 6c | 73 6f 20 66 6f 72 6d 0d |u can al|so form.|
|000017d0| 0a 63 75 70 73 20 69 6e | 20 74 68 65 20 73 68 61 |.cups in| the sha|
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|00001800| 0d 0a 56 3d 25 0d 0a 5c | 66 72 61 63 7b 5c 70 69 |..V=%..\|frac{\pi|
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|00001820| 63 7b 5c 70 69 20 72 5e | 7b 32 7d 68 7d 7b 33 7d |c{\pi r^|{2}h}{3}|
|00001830| 0d 0a 5c 5d 0d 0a 64 65 | 6e 6f 74 65 20 74 68 65 |..\]..de|note the|
|00001840| 20 76 6f 6c 75 6d 65 20 | 6f 66 20 61 20 74 72 75 | volume |of a tru|
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|000018a0| 24 20 61 6e 64 20 24 68 | 24 20 72 65 70 72 65 73 |$ and $h|$ repres|
|000018b0| 65 6e 74 20 74 68 65 20 | 72 61 64 69 75 73 20 61 |ent the |radius a|
|000018c0| 6e 64 20 68 65 69 67 68 | 74 0d 0a 6f 66 20 74 68 |nd heigh|t..of th|
|000018d0| 65 20 74 69 70 20 6f 66 | 20 61 20 63 6f 6e 65 20 |e tip of| a cone |
|000018e0| 74 68 61 74 20 68 61 73 | 20 62 65 65 6e 20 63 75 |that has| been cu|
|000018f0| 74 20 6f 66 66 2e 20 59 | 6f 75 20 6f 62 74 61 69 |t off. Y|ou obtai|
|00001900| 6e 20 61 20 63 6f 6e 65 | 20 62 79 20 73 65 74 74 |n a cone| by sett|
|00001910| 69 6e 67 20 24 25 0d 0a | 72 3d 30 2e 24 20 53 65 |ing $%..|r=0.$ Se|
|00001920| 74 74 69 6e 67 20 24 52 | 3d 72 24 20 67 69 76 65 |tting $R|=r$ give|
|00001930| 73 20 61 20 72 69 67 68 | 74 20 63 69 72 63 75 6c |s a righ|t circul|
|00001940| 61 72 20 63 6f 6e 65 2e | 20 4f 66 20 61 6c 6c 20 |ar cone.| Of all |
|00001950| 73 75 63 68 20 70 6f 73 | 73 69 62 6c 65 0d 0a 73 |such pos|sible..s|
|00001960| 68 61 70 65 73 2c 20 77 | 68 69 63 68 20 77 69 6c |hapes, w|hich wil|
|00001970| 6c 20 68 6f 6c 64 20 74 | 68 65 20 6d 6f 73 74 20 |l hold t|he most |
|00001980| 77 61 74 65 72 3f 20 4c | 65 74 20 24 78 24 20 72 |water? L|et $x$ r|
|00001990| 65 70 72 65 73 65 6e 74 | 20 74 68 65 20 68 65 69 |epresent| the hei|
|000019a0| 67 68 74 20 6f 66 20 74 | 68 65 0d 0a 74 72 75 6e |ght of t|he..trun|
|000019b0| 63 61 74 65 64 20 63 6f | 6e 65 2c 20 73 6f 20 74 |cated co|ne, so t|
|000019c0| 68 61 74 20 24 48 3d 68 | 2b 78 24 2e 20 54 68 65 |hat $H=h|+x$. The|
|000019d0| 6e 20 0d 0a 5c 5b 0d 0a | 56 3d 5c 61 6c 6c 6f 77 |n ..\[..|V=\allow|
|000019e0| 62 72 65 61 6b 20 5c 66 | 72 61 63 7b 31 7d 7b 33 |break \f|rac{1}{3|
|000019f0| 7d 5c 70 69 20 52 5e 7b | 32 7d 5c 6c 65 66 74 28 |}\pi R^{|2}\left(|
|00001a00| 20 68 2b 78 5c 72 69 67 | 68 74 29 20 2d 5c 66 72 | h+x\rig|ht) -\fr|
|00001a10| 61 63 7b 31 7d 7b 33 7d | 5c 70 69 20 72 5e 7b 32 |ac{1}{3}|\pi r^{2|
|00001a20| 7d 68 0d 0a 5c 5d 0d 0a | 55 73 69 6e 67 20 73 69 |}h..\]..|Using si|
|00001a30| 6d 69 6c 61 72 20 74 72 | 69 61 6e 67 6c 65 73 2c |milar tr|iangles,|
|00001a40| 20 24 5c 66 72 61 63 7b | 78 7d 7b 52 2d 72 7d 3d | $\frac{|x}{R-r}=|
|00001a50| 5c 66 72 61 63 7b 68 7d | 7b 72 7d 24 20 61 6e 64 |\frac{h}|{r}$ and|
|00001a60| 20 73 6f 6c 76 69 6e 67 | 20 66 6f 72 20 24 25 0d | solving| for $%.|
|00001a70| 0a 68 5c 61 6c 6c 6f 77 | 62 72 65 61 6b 20 24 20 |.h\allow|break $ |
|00001a80| 79 69 65 6c 64 73 20 24 | 68 3d 5c 66 72 61 63 7b |yields $|h=\frac{|
|00001a90| 78 72 7d 7b 52 2d 72 7d | 24 61 6e 64 20 68 65 6e |xr}{R-r}|$and hen|
|00001aa0| 63 65 20 0d 0a 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 65 71 6e 61 |ce ..\be|gin{eqna|
|00001ab0| 72 72 61 79 2a 7d 0d 0a | 56 20 26 3d 26 5c 61 6c |rray*}..|V &=&\al|
|00001ac0| 6c 6f 77 62 72 65 61 6b | 20 2d 5c 66 72 61 63 7b |lowbreak| -\frac{|
|00001ad0| 31 7d 7b 33 7d 5c 70 69 | 20 5c 6c 65 66 74 28 20 |1}{3}\pi| \left( |
|00001ae0| 2d 78 5c 66 72 61 63 7b | 72 7d 7b 52 2d 72 7d 52 |-x\frac{|r}{R-r}R|
|00001af0| 5e 7b 32 7d 2d 78 52 5e | 7b 32 7d 2b 78 5c 66 72 |^{2}-xR^|{2}+x\fr|
|00001b00| 61 63 7b 25 0d 0a 72 5e | 7b 33 7d 7d 7b 52 2d 72 |ac{%..r^|{3}}{R-r|
|00001b10| 7d 5c 72 69 67 68 74 29 | 20 20 5c 5c 0d 0a 26 3d |}\right)|  \\..&=|
|00001b20| 26 5c 61 6c 6c 6f 77 62 | 72 65 61 6b 20 5c 66 72 |&\allowb|reak \fr|
|00001b30| 61 63 7b 31 7d 7b 33 7d | 5c 6c 65 66 74 28 20 72 |ac{1}{3}|\left( r|
|00001b40| 5e 7b 32 7d 2b 52 72 2b | 52 5e 7b 32 7d 5c 72 69 |^{2}+Rr+|R^{2}\ri|
|00001b50| 67 68 74 29 20 78 5c 70 | 69 20 0d 0a 5c 65 6e 64 |ght) x\p|i ..\end|
|00001b60| 7b 65 71 6e 61 72 72 61 | 79 2a 7d 0d 0a 53 69 6e |{eqnarra|y*}..Sin|
|00001b70| 63 65 20 74 68 65 20 73 | 6c 61 6e 74 20 68 65 69 |ce the s|lant hei|
|00001b80| 67 68 74 20 6f 66 20 74 | 68 65 20 74 72 75 6e 63 |ght of t|he trunc|
|00001b90| 61 74 65 64 20 63 6f 6e | 65 20 69 73 20 24 31 2d |ated con|e is $1-|
|00001ba0| 72 24 2c 20 69 74 20 66 | 6f 6c 6c 6f 77 73 20 66 |r$, it f|ollows f|
|00001bb0| 72 6f 6d 20 74 68 65 0d | 0a 50 79 74 68 61 67 6f |rom the.|.Pythago|
|00001bc0| 72 65 61 6e 20 74 68 65 | 6f 72 65 6d 20 74 68 61 |rean the|orem tha|
|00001bd0| 74 20 24 28 31 2d 72 29 | 5e 7b 32 7d 3d 78 5e 7b |t $(1-r)|^{2}=x^{|
|00001be0| 32 7d 2b 28 52 2d 72 29 | 5e 7b 32 7d 24 2c 20 61 |2}+(R-r)|^{2}$, a|
|00001bf0| 6e 64 20 68 65 6e 63 65 | 20 24 78 3d 5c 73 71 72 |nd hence| $x=\sqr|
|00001c00| 74 7b 25 0d 0a 28 31 2d | 72 29 5e 7b 32 7d 2d 28 |t{%..(1-|r)^{2}-(|
|00001c10| 52 2d 72 29 5e 7b 32 7d | 7d 24 2e 20 52 65 77 72 |R-r)^{2}|}$. Rewr|
|00001c20| 69 74 69 6e 67 20 24 56 | 24 20 6f 6e 65 20 6d 6f |iting $V|$ one mo|
|00001c30| 72 65 20 74 69 6d 65 2c | 20 77 65 20 68 61 76 65 |re time,| we have|
|00001c40| 20 0d 0a 5c 5b 0d 0a 56 | 3d 5c 61 6c 6c 6f 77 62 | ..\[..V|=\allowb|
|00001c50| 72 65 61 6b 20 5c 66 72 | 61 63 7b 31 7d 7b 33 7d |reak \fr|ac{1}{3}|
|00001c60| 5c 6c 65 66 74 28 20 72 | 5e 7b 32 7d 2b 52 72 2b |\left( r|^{2}+Rr+|
|00001c70| 52 5e 7b 32 7d 5c 72 69 | 67 68 74 29 20 5c 70 69 |R^{2}\ri|ght) \pi|
|00001c80| 20 5c 73 71 72 74 7b 25 | 0d 0a 31 2d 32 72 2d 52 | \sqrt{%|..1-2r-R|
|00001c90| 5e 7b 32 7d 2b 32 52 72 | 7d 0d 0a 5c 5d 0d 0a 54 |^{2}+2Rr|}..\]..T|
|00001ca0| 68 65 20 70 61 72 74 69 | 61 6c 20 64 65 72 69 76 |he parti|al deriv|
|00001cb0| 61 74 69 76 65 73 20 61 | 72 65 20 67 69 76 65 6e |atives a|re given|
|00001cc0| 20 62 79 20 0d 0a 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 65 71 6e | by ..\b|egin{eqn|
|00001cd0| 61 72 72 61 79 2a 7d 0d | 0a 5c 66 72 61 63 7b 5c |array*}.|.\frac{\|
|00001ce0| 70 61 72 74 69 61 6c 20 | 56 7d 7b 5c 70 61 72 74 |partial |V}{\part|
|00001cf0| 69 61 6c 20 72 7d 20 26 | 3d 26 5c 61 6c 6c 6f 77 |ial r} &|=&\allow|
|00001d00| 62 72 65 61 6b 20 5c 66 | 72 61 63 7b 31 7d 7b 33 |break \f|rac{1}{3|
|00001d10| 7d 5c 6c 65 66 74 28 20 | 2d 31 2b 52 5c 72 69 67 |}\left( |-1+R\rig|
|00001d20| 68 74 29 0d 0a 5c 6c 65 | 66 74 28 20 52 72 2d 52 |ht)..\le|ft( Rr-R|
|00001d30| 2b 35 72 5e 7b 32 7d 2d | 32 72 5c 72 69 67 68 74 |+5r^{2}-|2r\right|
|00001d40| 29 20 20 5c 5c 0d 0a 26 | 26 5c 74 69 6d 65 73 20 |)  \\..&|&\times |
|00001d50| 5c 66 72 61 63 7b 5c 70 | 69 20 7d 7b 5c 73 71 72 |\frac{\p|i }{\sqr|
|00001d60| 74 7b 5c 6c 65 66 74 28 | 20 5c 6c 65 66 74 28 20 |t{\left(| \left( |
|00001d70| 2d 31 2b 52 5c 72 69 67 | 68 74 29 20 5c 6c 65 66 |-1+R\rig|ht) \lef|
|00001d80| 74 28 20 2d 52 2b 32 72 | 2d 31 5c 72 69 67 68 74 |t( -R+2r|-1\right|
|00001d90| 29 0d 0a 5c 72 69 67 68 | 74 29 20 7d 7d 20 5c 5c |)..\righ|t) }} \\|
|00001da0| 0d 0a 5c 66 72 61 63 7b | 5c 70 61 72 74 69 61 6c |..\frac{|\partial|
|00001db0| 20 56 7d 7b 5c 70 61 72 | 74 69 61 6c 20 52 7d 20 | V}{\par|tial R} |
|00001dc0| 26 3d 26 5c 61 6c 6c 6f | 77 62 72 65 61 6b 20 5c |&=&\allo|wbreak \|
|00001dd0| 66 72 61 63 7b 31 7d 7b | 33 7d 5c 6c 65 66 74 28 |frac{1}{|3}\left(|
|00001de0| 0d 0a 72 5e 7b 33 7d 2b | 72 2d 32 72 5e 7b 32 7d |..r^{3}+|r-2r^{2}|
|00001df0| 2b 33 72 52 5e 7b 32 7d | 2b 32 52 72 5e 7b 32 7d |+3rR^{2}|+2Rr^{2}|
|00001e00| 2d 33 52 5e 7b 33 7d 2b | 32 52 2d 34 52 72 5c 72 |-3R^{3}+|2R-4Rr\r|
|00001e10| 69 67 68 74 29 20 20 5c | 5c 0d 0a 26 26 5c 74 69 |ight)  \|\..&&\ti|
|00001e20| 6d 65 73 20 5c 66 72 61 | 63 7b 5c 70 69 20 7d 7b |mes \fra|c{\pi }{|
|00001e30| 5c 73 71 72 74 7b 5c 6c | 65 66 74 28 20 5c 6c 65 |\sqrt{\l|eft( \le|
|00001e40| 66 74 28 20 2d 31 2b 52 | 5c 72 69 67 68 74 29 20 |ft( -1+R|\right) |
|00001e50| 5c 6c 65 66 74 28 20 2d | 52 2b 32 72 2d 31 5c 72 |\left( -|R+2r-1\r|
|00001e60| 69 67 68 74 29 0d 0a 5c | 72 69 67 68 74 29 20 7d |ight)..\|right) }|
|00001e70| 7d 0d 0a 5c 65 6e 64 7b | 65 71 6e 61 72 72 61 79 |}..\end{|eqnarray|
|00001e80| 2a 7d 0d 0a 0d 0a 53 65 | 74 74 69 6e 67 20 74 68 |*}....Se|tting th|
|00001e90| 65 20 70 61 72 74 69 61 | 6c 73 20 65 71 75 61 6c |e partia|ls equal|
|00001ea0| 20 74 6f 20 7a 65 72 6f | 20 61 6e 64 20 73 6f 6c | to zero| and sol|
|00001eb0| 76 69 6e 67 2c 20 77 65 | 20 67 65 74 0d 0a 0d 0a |ving, we| get....|
|00001ec0| 5c 62 65 67 69 6e 7b 65 | 71 6e 61 72 72 61 79 2a |\begin{e|qnarray*|
|00001ed0| 7d 0d 0a 5c 66 72 61 63 | 7b 5c 70 61 72 74 69 61 |}..\frac|{\partia|
|00001ee0| 6c 20 56 7d 7b 5c 70 61 | 72 74 69 61 6c 20 72 7d |l V}{\pa|rtial r}|
|00001ef0| 20 26 3d 26 30 20 5c 5c | 0d 0a 5c 66 72 61 63 7b | &=&0 \\|..\frac{|
|00001f00| 5c 70 61 72 74 69 61 6c | 20 56 7d 7b 5c 70 61 72 |\partial| V}{\par|
|00001f10| 74 69 61 6c 20 52 7d 20 | 26 3d 26 30 0d 0a 5c 65 |tial R} |&=&0..\e|
|00001f20| 6e 64 7b 65 71 6e 61 72 | 72 61 79 2a 7d 0d 0a 54 |nd{eqnar|ray*}..T|
|00001f30| 68 65 20 73 6f 6c 75 74 | 69 6f 6e 20 69 73 20 0d |he solut|ion is .|
|00001f40| 0a 5c 5b 0d 0a 5c 6c 65 | 66 74 5c 7b 20 52 3d 30 |.\[..\le|ft\{ R=0|
|00001f50| 2c 72 3d 30 5c 72 69 67 | 68 74 5c 7d 20 2c 5c 61 |,r=0\rig|ht\} ,\a|
|00001f60| 6c 6c 6f 77 62 72 65 61 | 6b 20 5c 6c 65 66 74 5c |llowbrea|k \left\|
|00001f70| 7b 20 52 3d 37 5c 72 68 | 6f 20 5e 7b 32 7d 2d 5c |{ R=7\rh|o ^{2}-\|
|00001f80| 66 72 61 63 7b 35 7d 7b | 33 7d 5c 72 68 6f 20 2d |frac{5}{|3}\rho -|
|00001f90| 25 0d 0a 5c 66 72 61 63 | 7b 31 7d 7b 33 7d 2c 72 |%..\frac|{1}{3},r|
|00001fa0| 3d 5c 72 68 6f 20 5c 72 | 69 67 68 74 5c 7d 20 0d |=\rho \r|ight\} .|
|00001fb0| 0a 5c 5d 0d 0a 77 68 65 | 72 65 20 24 5c 72 68 6f |.\]..whe|re $\rho|
|00001fc0| 20 24 20 69 73 20 61 20 | 72 6f 6f 74 20 6f 66 20 | $ is a |root of |
|00001fd0| 24 32 31 5a 5e 7b 33 7d | 2d 31 31 5a 5e 7b 32 7d |$21Z^{3}|-11Z^{2}|
|00001fe0| 2d 32 5a 2b 31 24 2c 20 | 77 68 69 63 68 20 68 61 |-2Z+1$, |which ha|
|00001ff0| 73 20 74 68 72 65 65 20 | 72 6f 6f 74 73 20 0d 0a |s three |roots ..|
|00002000| 5c 62 65 67 69 6e 7b 65 | 71 6e 61 72 72 61 79 2a |\begin{e|qnarray*|
|00002010| 7d 0d 0a 5a 20 26 3d 26 | 2d 2e 33 30 34 31 33 36 |}..Z &=&|-.304136|
|00002020| 39 38 30 32 20 5c 5c 0d | 0a 5a 20 26 3d 26 2e 32 |9802 \\.|.Z &=&.2|
|00002030| 39 32 33 30 36 34 39 37 | 36 20 5c 5c 0d 0a 5a 20 |92306497|6 \\..Z |
|00002040| 26 3d 26 2e 35 33 35 36 | 34 30 30 30 36 34 0d 0a |&=&.5356|400064..|
|00002050| 5c 65 6e 64 7b 65 71 6e | 61 72 72 61 79 2a 7d 0d |\end{eqn|array*}.|
|00002060| 0a 54 68 65 20 66 6f 6c | 6c 6f 77 69 6e 67 20 74 |.The fol|lowing t|
|00002070| 61 62 6c 65 20 69 6e 63 | 6c 75 64 65 73 20 61 6c |able inc|ludes al|
|00002080| 6c 20 6f 66 20 74 68 65 | 20 70 6f 73 73 69 62 6c |l of the| possibl|
|00002090| 65 20 65 78 74 72 65 6d | 65 20 76 61 6c 75 65 73 |e extrem|e values|
|000020a0| 2e 20 0d 0a 5c 5b 0d 0a | 5c 62 65 67 69 6e 7b 74 |. ..\[..|\begin{t|
|000020b0| 61 62 75 6c 61 72 7d 7b | 63 63 63 7d 0d 0a 24 56 |abular}{|ccc}..$V|
|000020c0| 24 20 26 20 24 72 24 20 | 26 20 24 52 24 20 5c 5c |$ & $r$ |& $R$ \\|
|000020d0| 20 5c 68 6c 69 6e 65 0d | 0a 5c 6d 75 6c 74 69 63 | \hline.|.\multic|
|000020e0| 6f 6c 75 6d 6e 7b 31 7d | 7b 6c 7d 7b 24 2e 33 35 |olumn{1}|{l}{$.35|
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|00002100| 6c 74 69 63 6f 6c 75 6d | 6e 7b 31 7d 7b 6c 7d 7b |lticolum|n{1}{l}{|
|00002110| 24 2d 2e 33 30 34 31 33 | 36 39 38 30 32 24 7d 20 |$-.30413|69802$} |
|00002120| 26 20 0d 0a 5c 6d 75 6c | 74 69 63 6f 6c 75 6d 6e |& ..\mul|ticolumn|
|00002130| 7b 31 7d 7b 6c 7d 7b 24 | 2e 38 32 31 30 35 36 37 |{1}{l}{$|.8210567|
|00002140| 35 32 37 24 7d 20 5c 5c | 20 0d 0a 5c 6d 75 6c 74 |527$} \\| ..\mult|
|00002150| 69 63 6f 6c 75 6d 6e 7b | 31 7d 7b 6c 7d 7b 24 33 |icolumn{|1}{l}{$3|
|00002160| 2e 35 35 35 30 39 32 36 | 32 32 5c 74 69 6d 65 73 |.5550926|22\times|
|00002170| 20 31 30 5e 7b 2d 32 7d | 24 7d 20 26 20 5c 6d 75 | 10^{-2}|$} & \mu|
|00002180| 6c 74 69 63 6f 6c 75 6d | 6e 7b 31 7d 7b 6c 7d 7b |lticolum|n{1}{l}{|
|00002190| 24 25 0d 0a 2e 32 39 32 | 33 30 36 34 39 37 36 24 |$%...292|3064976$|
|000021a0| 7d 20 26 20 5c 6d 75 6c | 74 69 63 6f 6c 75 6d 6e |} & \mul|ticolumn|
|000021b0| 7b 31 7d 7b 6c 7d 7b 24 | 2d 2e 32 32 32 34 30 39 |{1}{l}{$|-.222409|
|000021c0| 32 30 39 36 24 7d 20 5c | 5c 20 0d 0a 5c 6d 75 6c |2096$} \|\ ..\mul|
|000021d0| 74 69 63 6f 6c 75 6d 6e | 7b 31 7d 7b 6c 7d 7b 24 |ticolumn|{1}{l}{$|
|000021e0| 2e 35 34 32 39 39 30 39 | 39 31 35 24 7d 20 26 20 |.5429909|915$} & |
|000021f0| 5c 6d 75 6c 74 69 63 6f | 6c 75 6d 6e 7b 31 7d 7b |\multico|lumn{1}{|
|00002200| 6c 7d 7b 24 2e 35 33 35 | 36 34 30 30 30 36 34 24 |l}{$.535|6400064$|
|00002210| 7d 20 26 20 0d 0a 5c 6d | 75 6c 74 69 63 6f 6c 75 |} & ..\m|ulticolu|
|00002220| 6d 6e 7b 31 7d 7b 6c 7d | 7b 24 2e 37 38 32 33 30 |mn{1}{l}|{$.78230|
|00002230| 34 38 33 37 39 24 7d 0d | 0a 5c 65 6e 64 7b 74 61 |48379$}.|.\end{ta|
|00002240| 62 75 6c 61 72 7d 0d 0a | 5c 5d 0d 0a 53 69 6e 63 |bular}..|\]..Sinc|
|00002250| 65 20 24 72 24 20 61 6e | 64 20 24 52 24 20 6d 75 |e $r$ an|d $R$ mu|
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|00002270| 69 76 65 2c 20 74 68 65 | 20 6f 6e 6c 79 20 70 6f |ive, the| only po|
|00002280| 73 73 69 62 6c 65 20 65 | 78 74 72 65 6d 65 20 76 |ssible e|xtreme v|
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|000022a0| 39 39 30 39 39 31 35 2e | 5c 73 6d 61 6c 6c 73 6b |9909915.|\smallsk|
|000022b0| 69 70 20 24 0d 0a 0d 0a | 41 73 20 61 6e 20 61 73 |ip $....|As an as|
|000022c0| 69 64 65 2c 20 74 68 65 | 20 66 6f 72 6d 75 6c 61 |ide, the| formula|
|000022d0| 20 0d 0a 5c 5b 0d 0a 56 | 3d 5c 66 72 61 63 7b 31 | ..\[..V|=\frac{1|
|000022e0| 7d 7b 33 7d 5c 6c 65 66 | 74 28 20 72 5e 7b 32 7d |}{3}\lef|t( r^{2}|
|000022f0| 2b 72 52 2b 52 5e 7b 32 | 7d 5c 72 69 67 68 74 29 |+rR+R^{2|}\right)|
|00002300| 20 5c 70 69 20 78 20 0d | 0a 5c 5d 0d 0a 66 6f 72 | \pi x .|.\]..for|
|00002310| 20 74 68 65 20 76 6f 6c | 75 6d 65 20 6f 66 20 61 | the vol|ume of a|
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|00002a90| 7d 2b 78 65 5e 7b 79 7d | 0d 0a 5c 65 6e 64 7b 61 |}+xe^{y}|..\end{a|
|00002aa0| 72 72 61 79 7d 0d 0a 5c | 72 69 67 68 74 5d 20 0d |rray}..\|right] .|
|00002ab0| 0a 5c 5d 0d 0a 73 6f 20 | 74 68 65 20 63 6f 6e 64 |.\]..so |the cond|
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|00002ad0| 78 2c 79 29 3d 5c 6c 61 | 6d 62 64 61 20 67 28 78 |x,y)=\la|mbda g(x|
|00002ae0| 2c 79 29 24 20 69 73 20 | 65 71 75 69 76 61 6c 65 |,y)$ is |equivale|
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|00002b40| 69 67 68 74 29 20 5c 5c | 0d 0a 32 20 26 3d 26 5c |ight) \\|..2 &=&\|
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|00002b70| 29 0d 0a 5c 65 6e 64 7b | 65 71 6e 61 72 72 61 79 |)..\end{|eqnarray|
|00002b80| 2a 7d 0d 0a 49 66 20 24 | 6b 3d 67 28 78 2c 79 29 |*}..If $|k=g(x,y)|
|00002b90| 3d 35 24 2c 20 74 68 65 | 6e 20 74 68 69 73 20 67 |=5$, the|n this g|
|00002ba0| 69 76 65 73 20 61 20 74 | 68 69 72 64 20 65 71 75 |ives a t|hird equ|
|00002bb0| 61 74 69 6f 6e 20 24 79 | 65 5e 7b 78 7d 2b 78 65 |ation $y|e^{x}+xe|
|00002bc0| 5e 7b 79 7d 3d 35 24 2e | 20 59 6f 75 20 63 61 6e |^{y}=5$.| You can|
|00002bd0| 0d 0a 66 69 6e 64 20 61 | 20 73 6f 6c 75 74 69 6f |..find a| solutio|
|00002be0| 6e 20 66 6f 72 20 74 68 | 65 20 74 68 72 65 65 20 |n for th|e three |
|00002bf0| 65 71 75 61 74 69 6f 6e | 73 2c 20 77 69 74 68 20 |equation|s, with |
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|00002c10| 20 61 6e 64 20 24 30 5c | 6c 65 71 0d 0a 79 5c 6c | and $0\|leq..y\l|
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|00002ca0| 79 7d 5c 72 69 67 68 74 | 29 20 26 3d 26 31 20 5c |y}\right|) &=&1 \|
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|00002cd0| 69 67 68 74 29 20 26 3d | 26 32 20 5c 5c 0d 0a 78 |ight) &=|&2 \\..x|
|00002ce0| 20 26 5c 69 6e 20 26 5c | 6c 65 66 74 28 20 30 2c | &\in &\|left( 0,|
|00002cf0| 31 30 5c 72 69 67 68 74 | 29 20 5c 5c 0d 0a 79 20 |10\right|) \\..y |
|00002d00| 26 5c 69 6e 20 26 5c 6c | 65 66 74 28 20 30 2c 31 |&\in &\l|eft( 0,1|
|00002d10| 30 5c 72 69 67 68 74 29 | 0d 0a 5c 65 6e 64 7b 65 |0\right)|..\end{e|
|00002d20| 71 6e 61 72 72 61 79 2a | 7d 0d 0a 54 68 65 20 73 |qnarray*|}..The s|
|00002d30| 6f 6c 75 74 69 6f 6e 20 | 69 73 20 0d 0a 5c 5b 0d |olution |is ..\[.|
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|00002d70| 20 0d 0a 5c 5d 0d 0a 54 | 68 65 73 65 20 6e 75 6d | ..\]..T|hese num|
|00002d80| 62 65 72 73 20 67 69 76 | 65 20 0d 0a 5c 5b 0d 0a |bers giv|e ..\[..|
|00002d90| 67 28 31 2e 36 36 36 34 | 35 39 35 34 37 2c 2e 34 |g(1.6664|59547,.4|
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|00002dc0| 39 39 20 0d 0a 5c 5d 0d | 0a 61 6e 64 20 0d 0a 5c |99 ..\].|.and ..\|
|00002dd0| 5b 0d 0a 66 28 31 2e 36 | 36 36 34 35 39 35 34 37 |[..f(1.6|66459547|
|00002de0| 2c 2e 34 35 30 35 36 31 | 39 39 36 38 29 3d 5c 61 |,.450561|9968)=\a|
|00002df0| 6c 6c 6f 77 62 72 65 61 | 6b 20 32 2e 35 36 37 35 |llowbrea|k 2.5675|
|00002e00| 38 33 35 34 31 20 0d 0a | 5c 5d 0d 0a 54 68 69 73 |83541 ..|\]..This|
|00002e10| 20 67 69 76 65 73 20 61 | 20 70 6f 73 73 69 62 6c | gives a| possibl|
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|00002e60| 29 3d 35 24 2e 5c 6d 65 | 64 73 6b 69 70 0d 0a 5c |)=5$.\me|dskip..\|
|00002e70| 65 6e 64 7b 65 78 61 6d | 70 6c 65 7d 0d 0a 0d 0a |end{exam|ple}....|
|00002e80| 5c 73 75 62 73 65 63 74 | 69 6f 6e 7b 5c 20 49 74 |\subsect|ion{\ It|
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|00002eb0| 69 6e 74 65 67 72 61 6c | 73 7d 7d 0d 0a 0d 0a 59 |integral|s}}....Y|
|00002ec0| 6f 75 20 63 61 6e 20 65 | 6e 74 65 72 20 61 6e 64 |ou can e|nter and|
|00002ed0| 20 65 76 61 6c 75 61 74 | 65 20 69 74 65 72 61 74 | evaluat|e iterat|
|00002ee0| 65 64 20 69 6e 74 65 67 | 72 61 6c 73 20 0d 0a 5c |ed integ|rals ..\|
|00002ef0| 69 6e 64 65 78 7b 49 6e | 74 65 67 72 61 6c 73 21 |index{In|tegrals!|
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|00002f30| 20 24 78 5c 69 6e 0d 0a | 5c 6c 65 66 74 5b 20 61 | $x\in..|\left[ a|
|00002f40| 2c 62 5c 72 69 67 68 74 | 5d 20 24 2c 20 61 6e 64 |,b\right|] $, and|
|00002f50| 20 24 6b 28 78 2c 79 29 | 5c 67 65 71 20 30 24 20 | $k(x,y)|\geq 0$ |
|00002f60| 66 6f 72 20 61 6c 6c 20 | 24 78 5c 69 6e 20 5c 6c |for all |$x\in \l|
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|00002f80| 24 0d 0a 61 6e 64 20 61 | 6c 6c 20 24 79 5c 69 6e |$..and a|ll $y\in|
|00002f90| 20 5c 6c 65 66 74 5b 20 | 66 28 78 29 2c 67 28 78 | \left[ |f(x),g(x|
|00002fa0| 29 5c 72 69 67 68 74 5d | 20 24 20 74 68 65 6e 20 |)\right]| $ then |
|00002fb0| 74 68 65 20 69 74 65 72 | 61 74 65 64 20 69 6e 74 |the iter|ated int|
|00002fc0| 65 67 72 61 6c 20 0d 0a | 5c 5b 0d 0a 5c 69 6e 74 |egral ..|\[..\int|
|00002fd0| 5f 7b 61 7d 5e 7b 62 7d | 5c 69 6e 74 5f 7b 66 28 |_{a}^{b}|\int_{f(|
|00002fe0| 78 29 7d 5e 7b 67 28 78 | 29 7d 6b 28 78 2c 79 29 |x)}^{g(x|)}k(x,y)|
|00002ff0| 5c 2c 64 79 5c 2c 64 78 | 20 0d 0a 5c 5d 0d 0a 63 |\,dy\,dx| ..\]..c|
|00003000| 61 6e 20 62 65 20 69 6e | 74 65 72 70 72 65 74 65 |an be in|terprete|
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|00003020| 6f 66 20 74 68 65 20 73 | 6f 6c 69 64 20 62 6f 75 |of the s|olid bou|
|00003030| 6e 64 65 64 20 62 79 20 | 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e |nded by |..\begin|
|00003040| 7b 65 71 6e 61 72 72 61 | 79 2a 7d 0d 0a 26 26 61 |{eqnarra|y*}..&&a|
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|00003070| 71 20 67 28 78 29 20 5c | 5c 0d 0a 26 26 30 5c 6c |q g(x) \|\..&&0\l|
|00003080| 65 71 20 7a 5c 6c 65 71 | 20 6b 28 78 2c 79 29 0d |eq z\leq| k(x,y).|
|00003090| 0a 5c 65 6e 64 7b 65 71 | 6e 61 72 72 61 79 2a 7d |.\end{eq|narray*}|
|000030a0| 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 67 | 69 6e 7b 65 78 61 6d 70 |....\beg|in{examp|
|000030b0| 6c 65 7d 0d 0a 46 69 6e | 64 20 74 68 65 20 76 6f |le}..Fin|d the vo|
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|000030e0| 61 63 65 20 24 7a 3d 31 | 2b 78 79 24 20 61 6e 64 |ace $z=1|+xy$ and|
|000030f0| 20 61 62 6f 76 65 20 74 | 68 65 0d 0a 74 72 69 61 | above t|he..tria|
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