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|00000e40| 31 2c 37 2d 78 5e 7b 32 | 7d 5c 72 69 67 68 74 29 |1,7-x^{2|}\right)|
|00000e50| 20 24 20 61 73 20 61 0d | 0a 70 69 65 63 65 77 69 | $ as a.|.piecewi|
|00000e60| 73 65 2d 64 65 66 69 6e | 65 64 20 66 75 6e 63 74 |se-defin|ed funct|
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|00000e80| 74 68 61 74 20 74 68 65 | 20 65 71 75 61 74 69 6f |that the| equatio|
|00000e90| 6e 20 24 78 5e 7b 32 7d | 2d 31 3d 37 2d 78 5e 7b |n $x^{2}|-1=7-x^{|
|00000ea0| 32 7d 24 0d 0a 68 61 73 | 20 74 68 65 20 73 6f 6c |2}$..has| the sol|
|00000eb0| 75 74 69 6f 6e 73 20 24 | 78 3d 2d 32 24 20 61 6e |utions $|x=-2$ an|
|00000ec0| 64 20 24 78 3d 32 24 2e | 20 54 68 65 20 66 75 6e |d $x=2$.| The fun|
|00000ed0| 63 74 69 6f 6e 20 24 66 | 24 20 69 73 20 67 69 76 |ction $f|$ is giv|
|00000ee0| 65 6e 20 62 79 20 0d 0a | 5c 5b 0d 0a 67 28 78 29 |en by ..|\[..g(x)|
|00000ef0| 3d 5c 6c 65 66 74 5c 7b | 20 0d 0a 5c 62 65 67 69 |=\left\{| ..\begi|
|00000f00| 6e 7b 61 72 72 61 79 7d | 7b 6c 6c 6c 7d 0d 0a 78 |n{array}|{lll}..x|
|00000f10| 5e 7b 32 7d 2d 31 20 26 | 20 5c 74 65 78 74 7b 69 |^{2}-1 &| \text{i|
|00000f20| 66 7d 20 26 20 78 3c 2d | 32 20 5c 5c 20 0d 0a 37 |f} & x<-|2 \\ ..7|
|00000f30| 2d 78 5e 7b 32 7d 20 26 | 20 5c 74 65 78 74 7b 69 |-x^{2} &| \text{i|
|00000f40| 66 7d 20 26 20 2d 32 5c | 6c 65 71 20 78 5c 6c 65 |f} & -2\|leq x\le|
|00000f50| 71 20 32 20 5c 5c 20 0d | 0a 78 5e 7b 32 7d 2d 31 |q 2 \\ .|.x^{2}-1|
|00000f60| 20 26 20 5c 74 65 78 74 | 7b 69 66 7d 20 26 20 78 | & \text|{if} & x|
|00000f70| 3e 32 0d 0a 5c 65 6e 64 | 7b 61 72 72 61 79 7d 0d |>2..\end|{array}.|
|00000f80| 0a 5c 72 69 67 68 74 2e | 20 0d 0a 5c 5d 0d 0a 41 |.\right.| ..\]..A|
|00000f90| 73 20 61 20 63 68 65 63 | 6b 2c 20 6e 6f 74 65 20 |s a chec|k, note |
|00000fa0| 74 68 61 74 20 24 66 28 | 2d 35 29 3d 5c 61 6c 6c |that $f(|-5)=\all|
|00000fb0| 6f 77 62 72 65 61 6b 20 | 32 34 24 2c 20 24 67 28 |owbreak |24$, $g(|
|00000fc0| 2d 35 29 3d 5c 61 6c 6c | 6f 77 62 72 65 61 6b 20 |-5)=\all|owbreak |
|00000fd0| 32 34 24 2c 20 24 25 0d | 0a 66 28 31 29 3d 5c 61 |24$, $%.|.f(1)=\a|
|00000fe0| 6c 6c 6f 77 62 72 65 61 | 6b 20 36 24 2c 20 24 67 |llowbrea|k 6$, $g|
|00000ff0| 28 31 29 3d 5c 61 6c 6c | 6f 77 62 72 65 61 6b 20 |(1)=\all|owbreak |
|00001000| 36 24 2c 20 24 66 28 33 | 29 3d 5c 61 6c 6c 6f 77 |6$, $f(3|)=\allow|
|00001010| 62 72 65 61 6b 20 38 24 | 2c 20 61 6e 64 20 24 25 |break 8$|, and $%|
|00001020| 0d 0a 67 28 33 29 3d 5c | 61 6c 6c 6f 77 62 72 65 |..g(3)=\|allowbre|
|00001030| 61 6b 20 38 24 2e 0d 0a | 0d 0a 5c 69 74 65 6d 20 |ak 8$...|..\item |
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|00001050| 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 | 20 74 61 62 6c 65 3a 20 |ollowing| table: |
|00001060| 0d 0a 5c 5b 0d 0a 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 74 61 62 |..\[..\b|egin{tab|
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|000010a0| 24 5c 76 61 72 70 68 69 | 20 28 6e 29 24 20 26 20 |$\varphi| (n)$ & |
|000010b0| 20 26 20 24 6e 24 20 26 | 20 24 5c 76 61 72 70 68 | & $n$ &| $\varph|
|000010c0| 69 20 28 6e 29 24 20 5c | 5c 20 0d 0a 5c 68 6c 69 |i (n)$ \|\ ..\hli|
|000010d0| 6e 65 0d 0a 24 31 24 20 | 26 20 24 31 24 20 26 20 |ne..$1$ |& $1$ & |
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|00001130| 5c 5c 20 0d 0a 24 33 24 | 20 26 20 24 32 24 20 26 |\\ ..$3$| & $2$ &|
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|00001150| 26 20 20 26 20 24 32 33 | 24 20 26 20 24 32 32 24 |&  & $23|$ & $22$|
|00001160| 20 5c 5c 20 0d 0a 24 34 | 24 20 26 20 24 32 24 20 | \\ ..$4|$ & $2$ |
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|00001190| 5c 5c 20 0d 0a 24 35 24 | 20 26 20 24 34 24 20 26 |\\ ..$5$| & $4$ &|
|000011a0| 20 20 26 20 24 31 35 24 | 20 26 20 24 38 24 20 26 |  & $15$| & $8$ &|
|000011b0| 20 20 26 20 24 32 35 24 | 20 26 20 24 32 30 24 20 |  & $25$| & $20$ |
|000011c0| 5c 5c 20 0d 0a 24 36 24 | 20 26 20 24 32 24 20 26 |\\ ..$6$| & $2$ &|
|000011d0| 20 20 26 20 24 31 36 24 | 20 26 20 24 38 24 20 26 |  & $16$| & $8$ &|
|000011e0| 20 20 26 20 24 32 36 24 | 20 26 20 24 31 32 24 20 |  & $26$| & $12$ |
|000011f0| 5c 5c 20 0d 0a 24 37 24 | 20 26 20 24 36 24 20 26 |\\ ..$7$| & $6$ &|
|00001200| 20 20 26 20 24 31 37 24 | 20 26 20 24 31 36 24 20 |  & $17$| & $16$ |
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|00001220| 20 5c 5c 20 0d 0a 24 38 | 24 20 26 20 24 34 24 20 | \\ ..$8|$ & $4$ |
|00001230| 26 20 20 26 20 24 31 38 | 24 20 26 20 24 36 24 20 |&  & $18|$ & $6$ |
|00001240| 26 20 20 26 20 24 32 38 | 24 20 26 20 24 31 32 24 |&  & $28|$ & $12$|
|00001250| 20 5c 5c 20 0d 0a 24 39 | 24 20 26 20 24 36 24 20 | \\ ..$9|$ & $6$ |
|00001260| 26 20 20 26 20 24 31 39 | 24 20 26 20 24 31 38 24 |&  & $19|$ & $18$|
|00001270| 20 26 20 20 26 20 24 32 | 39 24 20 26 20 24 32 38 | &  & $2|9$ & $28|
|00001280| 24 20 5c 5c 20 0d 0a 24 | 31 30 24 20 26 20 24 34 |$ \\ ..$|10$ & $4|
|00001290| 24 20 26 20 20 26 20 24 | 32 30 24 20 26 20 24 38 |$ &  & $|20$ & $8|
|000012a0| 24 20 26 20 20 26 20 24 | 33 30 24 20 26 20 24 38 |$ &  & $|30$ & $8|
|000012b0| 24 25 0d 0a 5c 65 6e 64 | 7b 74 61 62 75 6c 61 72 |$%..\end|{tabular|
|000012c0| 7d 0d 0a 5c 5d 0d 0a 4e | 6f 74 69 63 65 2c 20 66 |}..\]..N|otice, f|
|000012d0| 6f 72 20 65 78 61 6d 70 | 6c 65 2c 20 74 68 61 74 |or examp|le, that|
|000012e0| 20 0d 0a 5c 62 65 67 69 | 6e 7b 65 71 6e 61 72 72 | ..\begi|n{eqnarr|
|000012f0| 61 79 2a 7d 0d 0a 5c 76 | 61 72 70 68 69 20 28 34 |ay*}..\v|arphi (4|
|00001300| 5c 63 64 6f 74 20 35 29 | 20 26 3d 26 5c 61 6c 6c |\cdot 5)| &=&\all|
|00001310| 6f 77 62 72 65 61 6b 20 | 38 3d 5c 76 61 72 70 68 |owbreak |8=\varph|
|00001320| 69 20 28 34 29 5c 76 61 | 72 70 68 69 20 28 35 29 |i (4)\va|rphi (5)|
|00001330| 20 5c 5c 0d 0a 5c 76 61 | 72 70 68 69 20 28 34 5c | \\..\va|rphi (4\|
|00001340| 63 64 6f 74 20 37 29 20 | 26 3d 26 5c 61 6c 6c 6f |cdot 7) |&=&\allo|
|00001350| 77 62 72 65 61 6b 20 31 | 32 3d 5c 76 61 72 70 68 |wbreak 1|2=\varph|
|00001360| 69 20 28 34 29 5c 76 61 | 72 70 68 69 20 28 37 29 |i (4)\va|rphi (7)|
|00001370| 20 5c 5c 0d 0a 5c 76 61 | 72 70 68 69 20 28 33 5c | \\..\va|rphi (3\|
|00001380| 63 64 6f 74 20 38 29 20 | 26 3d 26 5c 61 6c 6c 6f |cdot 8) |&=&\allo|
|00001390| 77 62 72 65 61 6b 20 38 | 3d 5c 76 61 72 70 68 69 |wbreak 8|=\varphi|
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|000013b0| 0a 5c 65 6e 64 7b 65 71 | 6e 61 72 72 61 79 2a 7d |.\end{eq|narray*}|
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|000013d0| 76 65 20 74 68 65 20 66 | 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 |ve the f|ollowing|
|000013e0| 20 74 61 62 6c 65 3a 20 | 0d 0a 5c 5b 0d 0a 5c 62 | table: |..\[..\b|
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|00001420| 29 24 20 26 20 24 6e 24 | 20 26 20 24 64 28 6e 29 |)$ & $n$| & $d(n)|
|00001430| 24 20 5c 5c 20 5c 68 6c | 69 6e 65 0d 0a 5c 6d 75 |$ \\ \hl|ine..\mu|
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|00001540| 63 6f 6c 75 6d 6e 7b 31 | 7d 7b 63 7d 7b 24 5c 6c |column{1|}{c}{$\l|
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|000015b0| 68 74 5c 7d 20 24 25 0d | 0a 7d 20 26 20 5c 6d 75 |ht\} $%.|.} & \mu|
|000015c0| 6c 74 69 63 6f 6c 75 6d | 6e 7b 31 7d 7b 72 7d 7b |lticolum|n{1}{r}{|
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|000015e0| 6c 75 6d 6e 7b 31 7d 7b | 63 7d 7b 24 5c 6c 65 66 |lumn{1}{|c}{$\lef|
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|00001600| 67 68 74 5c 7d 20 0d 0a | 24 7d 20 5c 5c 20 0d 0a |ght\} ..|$} \\ ..|
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|00001630| 63 6f 6c 75 6d 6e 7b 31 | 7d 7b 63 7d 7b 24 5c 6c |column{1|}{c}{$\l|
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|00001650| 7d 20 24 7d 20 26 20 0d | 0a 5c 6d 75 6c 74 69 63 |} $} & .|.\multic|
|00001660| 6f 6c 75 6d 6e 7b 31 7d | 7b 72 7d 7b 24 31 33 24 |olumn{1}|{r}{$13$|
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|000016a0| 26 20 0d 0a 5c 6d 75 6c | 74 69 63 6f 6c 75 6d 6e |& ..\mul|ticolumn|
|000016b0| 7b 31 7d 7b 72 7d 7b 24 | 32 33 24 7d 20 26 20 5c |{1}{r}{$|23$} & \|
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|000016e0| 72 69 67 68 74 5c 7d 20 | 24 7d 20 5c 5c 20 0d 0a |right\} |$} \\ ..|
|000016f0| 5c 6d 75 6c 74 69 63 6f | 6c 75 6d 6e 7b 31 7d 7b |\multico|lumn{1}{|
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|00001740| 69 63 6f 6c 75 6d 6e 7b | 31 7d 7b 72 7d 7b 24 31 |icolumn{|1}{r}{$1|
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|00001780| 5c 7d 20 24 7d 20 26 20 | 0d 0a 5c 6d 75 6c 74 69 |\} $} & |..\multi|
|00001790| 63 6f 6c 75 6d 6e 7b 31 | 7d 7b 72 7d 7b 24 32 34 |column{1|}{r}{$24|
|000017a0| 24 7d 20 26 20 5c 6d 75 | 6c 74 69 63 6f 6c 75 6d |$} & \mu|lticolum|
|000017b0| 6e 7b 31 7d 7b 63 7d 7b | 24 5c 6c 65 66 74 5c 7b |n{1}{c}{|$\left\{|
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|000017d0| 2c 32 34 5c 72 69 67 68 | 74 5c 7d 20 24 7d 20 5c |,24\righ|t\} $} \|
|000017e0| 5c 20 0d 0a 5c 6d 75 6c | 74 69 63 6f 6c 75 6d 6e |\ ..\mul|ticolumn|
|000017f0| 7b 31 7d 7b 72 7d 7b 24 | 35 24 7d 20 26 20 5c 6d |{1}{r}{$|5$} & \m|
|00001800| 75 6c 74 69 63 6f 6c 75 | 6d 6e 7b 31 7d 7b 63 7d |ulticolu|mn{1}{c}|
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|00001830| 6c 74 69 63 6f 6c 75 6d | 6e 7b 31 7d 7b 72 7d 7b |lticolum|n{1}{r}{|
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|00001850| 6c 75 6d 6e 7b 31 7d 7b | 63 7d 7b 24 5c 6c 65 66 |lumn{1}{|c}{$\lef|
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|00001870| 68 74 5c 7d 20 24 7d 20 | 26 20 0d 0a 5c 6d 75 6c |ht\} $} |& ..\mul|
|00001880| 74 69 63 6f 6c 75 6d 6e | 7b 31 7d 7b 72 7d 7b 24 |ticolumn|{1}{r}{$|
|00001890| 32 35 24 7d 20 26 20 5c | 6d 75 6c 74 69 63 6f 6c |25$} & \|multicol|
|000018a0| 75 6d 6e 7b 31 7d 7b 63 | 7d 7b 24 5c 6c 65 66 74 |umn{1}{c|}{$\left|
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|000018c0| 7d 20 24 7d 20 5c 5c 20 | 0d 0a 5c 6d 75 6c 74 69 |} $} \\ |..\multi|
|000018d0| 63 6f 6c 75 6d 6e 7b 31 | 7d 7b 72 7d 7b 24 36 24 |column{1|}{r}{$6$|
|000018e0| 7d 20 26 20 5c 6d 75 6c | 74 69 63 6f 6c 75 6d 6e |} & \mul|ticolumn|
|000018f0| 7b 31 7d 7b 63 7d 7b 24 | 5c 6c 65 66 74 5c 7b 20 |{1}{c}{$|\left\{ |
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|00001910| 24 7d 20 26 20 0d 0a 5c | 6d 75 6c 74 69 63 6f 6c |$} & ..\|multicol|
|00001920| 75 6d 6e 7b 31 7d 7b 72 | 7d 7b 24 31 36 24 7d 20 |umn{1}{r|}{$16$} |
|00001930| 26 20 5c 6d 75 6c 74 69 | 63 6f 6c 75 6d 6e 7b 31 |& \multi|column{1|
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|00001960| 20 24 7d 0d 0a 26 20 5c | 6d 75 6c 74 69 63 6f 6c | $}..& \|multicol|
|00001970| 75 6d 6e 7b 31 7d 7b 72 | 7d 7b 24 32 36 24 7d 20 |umn{1}{r|}{$26$} |
|00001980| 26 20 5c 6d 75 6c 74 69 | 63 6f 6c 75 6d 6e 7b 31 |& \multi|column{1|
|00001990| 7d 7b 63 7d 7b 24 5c 6c | 65 66 74 5c 7b 20 31 2c |}{c}{$\l|eft\{ 1,|
|000019a0| 32 2c 31 33 2c 32 36 5c | 72 69 67 68 74 5c 7d 20 |2,13,26\|right\} |
|000019b0| 24 7d 0d 0a 5c 5c 20 0d | 0a 5c 6d 75 6c 74 69 63 |$}..\\ .|.\multic|
|000019c0| 6f 6c 75 6d 6e 7b 31 7d | 7b 72 7d 7b 24 37 24 7d |olumn{1}|{r}{$7$}|
|000019d0| 20 26 20 5c 6d 75 6c 74 | 69 63 6f 6c 75 6d 6e 7b | & \mult|icolumn{|
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|000019f0| 2c 37 5c 72 69 67 68 74 | 5c 7d 20 24 7d 20 26 20 |,7\right|\} $} & |
|00001a00| 0d 0a 5c 6d 75 6c 74 69 | 63 6f 6c 75 6d 6e 7b 31 |..\multi|column{1|
|00001a10| 7d 7b 72 7d 7b 24 31 37 | 24 7d 20 26 20 5c 6d 75 |}{r}{$17|$} & \mu|
|00001a20| 6c 74 69 63 6f 6c 75 6d | 6e 7b 31 7d 7b 63 7d 7b |lticolum|n{1}{c}{|
|00001a30| 24 5c 6c 65 66 74 5c 7b | 20 31 2c 31 37 5c 72 69 |$\left\{| 1,17\ri|
|00001a40| 67 68 74 5c 7d 20 24 7d | 20 26 20 0d 0a 5c 6d 75 |ght\} $}| & ..\mu|
|00001a50| 6c 74 69 63 6f 6c 75 6d | 6e 7b 31 7d 7b 72 7d 7b |lticolum|n{1}{r}{|
|00001a60| 24 32 37 24 7d 20 26 20 | 5c 6d 75 6c 74 69 63 6f |$27$} & |\multico|
|00001a70| 6c 75 6d 6e 7b 31 7d 7b | 63 7d 7b 24 5c 6c 65 66 |lumn{1}{|c}{$\lef|
|00001a80| 74 5c 7b 20 31 2c 33 2c | 39 2c 32 37 5c 72 69 67 |t\{ 1,3,|9,27\rig|
|00001a90| 68 74 5c 7d 20 24 7d 0d | 0a 5c 5c 20 0d 0a 5c 6d |ht\} $}.|.\\ ..\m|
|00001aa0| 75 6c 74 69 63 6f 6c 75 | 6d 6e 7b 31 7d 7b 72 7d |ulticolu|mn{1}{r}|
|00001ab0| 7b 24 38 24 7d 20 26 20 | 5c 6d 75 6c 74 69 63 6f |{$8$} & |\multico|
|00001ac0| 6c 75 6d 6e 7b 31 7d 7b | 63 7d 7b 24 5c 6c 65 66 |lumn{1}{|c}{$\lef|
|00001ad0| 74 5c 7b 20 31 2c 32 2c | 34 2c 38 5c 72 69 67 68 |t\{ 1,2,|4,8\righ|
|00001ae0| 74 5c 7d 20 24 7d 20 26 | 20 0d 0a 5c 6d 75 6c 74 |t\} $} &| ..\mult|
|00001af0| 69 63 6f 6c 75 6d 6e 7b | 31 7d 7b 72 7d 7b 24 31 |icolumn{|1}{r}{$1|
|00001b00| 38 24 7d 20 26 20 5c 6d | 75 6c 74 69 63 6f 6c 75 |8$} & \m|ulticolu|
|00001b10| 6d 6e 7b 31 7d 7b 63 7d | 7b 24 5c 6c 65 66 74 5c |mn{1}{c}|{$\left\|
|00001b20| 7b 20 31 2c 32 2c 33 2c | 36 2c 39 2c 31 38 5c 72 |{ 1,2,3,|6,9,18\r|
|00001b30| 69 67 68 74 5c 7d 20 24 | 25 0d 0a 7d 20 26 20 5c |ight\} $|%..} & \|
|00001b40| 6d 75 6c 74 69 63 6f 6c | 75 6d 6e 7b 31 7d 7b 72 |multicol|umn{1}{r|
|00001b50| 7d 7b 24 32 38 24 7d 20 | 26 20 5c 6d 75 6c 74 69 |}{$28$} |& \multi|
|00001b60| 63 6f 6c 75 6d 6e 7b 31 | 7d 7b 63 7d 7b 24 5c 6c |column{1|}{c}{$\l|
|00001b70| 65 66 74 5c 7b 0d 0a 31 | 2c 32 2c 34 2c 37 2c 31 |eft\{..1|,2,4,7,1|
|00001b80| 34 2c 32 38 5c 72 69 67 | 68 74 5c 7d 20 24 7d 20 |4,28\rig|ht\} $} |
|00001b90| 5c 5c 20 0d 0a 5c 6d 75 | 6c 74 69 63 6f 6c 75 6d |\\ ..\mu|lticolum|
|00001ba0| 6e 7b 31 7d 7b 72 7d 7b | 24 39 24 7d 20 26 20 5c |n{1}{r}{|$9$} & \|
|00001bb0| 6d 75 6c 74 69 63 6f 6c | 75 6d 6e 7b 31 7d 7b 63 |multicol|umn{1}{c|
|00001bc0| 7d 7b 24 5c 6c 65 66 74 | 5c 7b 20 31 2c 33 2c 39 |}{$\left|\{ 1,3,9|
|00001bd0| 5c 72 69 67 68 74 5c 7d | 20 24 7d 20 26 20 0d 0a |\right\}| $} & ..|
|00001be0| 5c 6d 75 6c 74 69 63 6f | 6c 75 6d 6e 7b 31 7d 7b |\multico|lumn{1}{|
|00001bf0| 72 7d 7b 24 31 39 24 7d | 20 26 20 5c 6d 75 6c 74 |r}{$19$}| & \mult|
|00001c00| 69 63 6f 6c 75 6d 6e 7b | 31 7d 7b 63 7d 7b 24 5c |icolumn{|1}{c}{$\|
|00001c10| 6c 65 66 74 5c 7b 20 31 | 2c 31 39 5c 72 69 67 68 |left\{ 1|,19\righ|
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