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|000012e0| 65 20 77 69 74 68 20 61 | 0d 0a 63 6f 6e 65 2e 20 |e with a|..cone. |
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|00001440| 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e | 7b 61 72 72 61 79 7d 7b |..\begin|{array}{|
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|000014f0| 20 0d 0a 5c 5d 0d 0a 77 | 68 65 72 65 20 61 20 63 | ..\]..w|here a c|
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|00001a40| 66 28 78 29 67 28 78 29 | 20 26 3d 26 5c 6c 65 66 |f(x)g(x)| &=&\lef|
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|00001aa0| 78 7d 0d 0a 5c 65 6e 64 | 7b 65 71 6e 61 72 72 61 |x}..\end|{eqnarra|
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|00001b60| 5f 7b 32 7d 29 24 20 69 | 6e 20 74 68 65 20 70 6c |_{2})$ i|n the pl|
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|00001bc0| 74 68 65 73 65 20 70 6f | 69 6e 74 73 20 69 6e 20 |these po|ints in |
|00001bd0| 74 68 65 20 65 71 75 61 | 74 69 6f 6e 20 66 6f 72 |the equa|tion for|
|00001be0| 20 74 68 65 20 6c 69 6e | 65 0d 0a 67 69 76 65 73 | the lin|e..gives|
|00001bf0| 20 74 68 65 20 74 77 6f | 20 65 71 75 61 74 69 6f | the two| equatio|
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|00001ca0| 5c 5c 0d 0a 61 78 5f 7b | 32 7d 2b 62 79 5f 7b 32 |\\..ax_{|2}+by_{2|
|00001cb0| 7d 2b 63 20 26 3d 26 30 | 0d 0a 5c 65 6e 64 7b 65 |}+c &=&0|..\end{e|
|00001cc0| 71 6e 61 72 72 61 79 2a | 7d 0d 0a 6f 66 20 6c 69 |qnarray*|}..of li|
|00001cd0| 6e 65 61 72 20 65 71 75 | 61 74 69 6f 6e 73 2c 20 |near equ|ations, |
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|00001d10| 75 74 69 6f 6e 20 69 73 | 3a 20 7d 5c 6c 65 66 74 |ution is|: }\left|
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|00001d40| 7d 78 5f 7b 32 7d 2b 78 | 5f 7b 31 7d 79 5f 7b 32 |}x_{2}+x|_{1}y_{2|
|00001d50| 7d 7d 25 0d 0a 2c 61 3d | 63 5c 64 66 72 61 63 7b |}}%..,a=|c\dfrac{|
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|00001d70| 7b 31 7d 78 5f 7b 32 7d | 2b 78 5f 7b 31 7d 79 5f |{1}x_{2}|+x_{1}y_|
|00001d80| 7b 32 7d 7d 5c 72 69 67 | 68 74 5c 7d 20 0d 0a 5c |{2}}\rig|ht\} ..\|
|00001d90| 5d 0d 0a 43 6f 6e 73 65 | 71 75 65 6e 74 6c 79 2c |]..Conse|quently,|
|00001da0| 20 74 68 65 20 65 71 75 | 61 74 69 6f 6e 20 66 6f | the equ|ation fo|
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|00001de0| 79 5f 7b 31 7d 78 5f 7b | 32 7d 2b 78 5f 7b 31 7d |y_{1}x_{|2}+x_{1}|
|00001df0| 79 5f 7b 32 7d 7d 5c 72 | 69 67 68 74 29 20 78 2d |y_{2}}\r|ight) x-|
|00001e00| 63 5c 6c 65 66 74 28 20 | 5c 66 72 61 63 7b 25 0d |c\left( |\frac{%.|
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|00001e20| 5f 7b 31 7d 78 5f 7b 32 | 7d 2b 78 5f 7b 31 7d 79 |_{1}x_{2|}+x_{1}y|
|00001e30| 5f 7b 32 7d 7d 5c 72 69 | 67 68 74 29 20 79 2b 63 |_{2}}\ri|ght) y+c|
|00001e40| 3d 30 20 0d 0a 5c 5d 0d | 0a 6f 72 2c 20 63 6c 65 |=0 ..\].|.or, cle|
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|00001ea0| 79 5f 7b 31 7d 2d 79 5f | 7b 32 7d 5c 72 69 67 68 |y_{1}-y_|{2}\righ|
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|00001ec0| 7d 2d 78 5f 7b 32 7d 5c | 72 69 67 68 74 29 20 79 |}-x_{2}\|right) y|
|00001ed0| 2b 5c 6c 65 66 74 28 0d | 0a 78 5f 7b 31 7d 79 5f |+\left(.|.x_{1}y_|
|00001ee0| 7b 32 7d 2d 79 5f 7b 31 | 7d 78 5f 7b 32 7d 5c 72 |{2}-y_{1|}x_{2}\r|
|00001ef0| 69 67 68 74 29 20 3d 30 | 20 0d 0a 5c 5d 0d 0a 0d |ight) =0| ..\]...|
|00001f00| 0a 5c 68 66 69 6c 6c 20 | 5c 68 79 70 65 72 72 65 |.\hfill |\hyperre|
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|00001f50| 7d 7b 71 33 7d 0d 0a 0d | 0a 5c 69 74 65 6d 5b 34 |}{q3}...|.\item[4|
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|00001fa0| 5c 72 69 67 68 74 29 20 | 24 2c 20 74 68 65 20 73 |\right) |$, the s|
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|00002040| 74 6f 20 67 65 74 20 0d | 0a 5c 5b 0d 0a 5c 74 65 |to get .|.\[..\te|
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|00002080| 61 63 7b 31 32 7d 7b 32 | 39 7d 63 5c 72 69 67 68 |ac{12}{2|9}c\righ|
|00002090| 74 5c 7d 20 0d 0a 5c 5d | 0d 0a 43 6f 6e 73 65 71 |t\} ..\]|..Conseq|
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|000020f0| 5c 72 69 67 68 74 29 20 | 63 79 2b 63 3d 30 20 0d |\right) |cy+c=0 .|
|00002100| 0a 5c 5d 0d 0a 6f 72 2c | 20 63 6c 65 61 72 69 6e |.\]..or,| clearin|
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|00002120| 73 69 6d 70 6c 69 66 79 | 69 6e 67 2c 20 0d 0a 5c |simplify|ing, ..\|
|00002130| 5b 0d 0a 2d 31 32 78 2b | 79 2b 32 39 3d 30 20 0d |[..-12x+|y+29=0 .|
|00002140| 0a 5c 5d 0d 0a 0d 0a 5c | 68 66 69 6c 6c 20 5c 68 |.\]....\|hfill \h|
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|00002190| 7b 7d 7b 25 0d 0a 7d 7b | 71 34 7d 0d 0a 0d 0a 5c |{}{%..}{|q4}....\|
|000021a0| 69 74 65 6d 5b 35 2e 5d | 20 20 5c 6c 61 62 65 6c |item[5.]|  \label|
|000021b0| 7b 61 35 7d 53 69 6e 63 | 65 20 74 68 65 20 70 6f |{a5}Sinc|e the po|
|000021c0| 69 6e 74 20 24 5c 6c 65 | 66 74 28 20 30 2c 30 5c |int $\le|ft( 0,0\|
|000021d0| 72 69 67 68 74 29 20 24 | 20 6c 69 65 73 20 6f 6e |right) $| lies on|
|000021e0| 20 74 68 65 20 6c 69 6e | 65 2c 0d 0a 79 6f 75 20 | the lin|e,..you |
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|00002260| 6f 6d 20 74 68 65 20 5c | 74 65 78 74 73 66 7b 53 |om the \|textsf{S|
|00002270| 6f 6c 76 65 7d 20 73 75 | 62 6d 65 6e 75 20 61 6e |olve} su|bmenu an|
|00002280| 64 0d 0a 73 70 65 63 69 | 66 79 69 6e 67 20 24 61 |d..speci|fying $a|
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|000022c0| 2c 20 73 70 65 63 69 66 | 79 69 6e 67 20 24 25 0d |, specif|ying $%.|
|000022d0| 0a 61 2c 63 24 20 66 6f | 72 20 5c 74 65 78 74 73 |.a,c$ fo|r \texts|
|000022e0| 66 7b 56 61 72 69 61 62 | 6c 65 28 73 29 20 74 6f |f{Variab|le(s) to|
|000022f0| 20 53 6f 6c 76 65 20 66 | 6f 72 7d 20 67 69 76 65 | Solve f|or} give|
|00002300| 73 20 74 68 65 20 73 6f | 6c 75 74 69 6f 6e 20 0d |s the so|lution .|
|00002310| 0a 5c 5b 0d 0a 5c 6c 65 | 66 74 5c 7b 20 61 3d 2d |.\[..\le|ft\{ a=-|
|00002320| 32 62 2c 63 3d 30 5c 72 | 69 67 68 74 5c 7d 20 0d |2b,c=0\r|ight\} .|
|00002330| 0a 5c 5d 0d 0a 54 68 75 | 73 2c 20 74 68 65 20 65 |.\]..Thu|s, the e|
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|00003880| 20 74 68 69 73 0d 0a 70 | 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 | this..p|olynomia|
|00003890| 6c 3a 20 24 5c 73 71 72 | 74 7b 35 7d 5c 6c 65 66 |l: $\sqr|t{5}\lef|
|000038a0| 74 28 20 78 5e 7b 33 7d | 2b 33 78 5e 7b 32 7d 2d |t( x^{3}|+3x^{2}-|
|000038b0| 35 78 2b 31 5c 72 69 67 | 68 74 29 20 5c 2c 3d 5c |5x+1\rig|ht) \,=\|
|000038c0| 2c 5c 73 71 72 74 7b 35 | 7d 5c 6c 65 66 74 28 0d |,\sqrt{5|}\left(.|
|000038d0| 0a 78 2d 31 5c 72 69 67 | 68 74 29 20 5c 6c 65 66 |.x-1\rig|ht) \lef|
|000038e0| 74 28 20 78 2b 32 2b 5c | 73 71 72 74 7b 35 7d 5c |t( x+2+\|sqrt{5}\|
|000038f0| 72 69 67 68 74 29 20 5c | 6c 65 66 74 28 20 78 2b |right) \|left( x+|
|00003900| 32 2d 5c 73 71 72 74 7b | 35 7d 5c 72 69 67 68 74 |2-\sqrt{|5}\right|
|00003910| 29 20 24 2e 20 54 68 65 | 6e 2c 0d 0a 64 69 76 69 |) $. The|n,..divi|
|00003920| 64 69 6e 67 20 6f 75 74 | 20 74 68 65 20 65 78 74 |ding out| the ext|
|00003930| 72 61 6e 65 6f 75 73 20 | 66 61 63 74 6f 72 20 6f |raneous |factor o|
|00003940| 66 20 24 5c 73 71 72 74 | 7b 35 7d 2c 24 20 79 6f |f $\sqrt|{5},$ yo|
|00003950| 75 20 68 61 76 65 20 0d | 0a 5c 5b 0d 0a 78 5e 7b |u have .|.\[..x^{|
|00003960| 33 7d 2b 33 78 5e 7b 32 | 7d 2d 35 78 2b 31 5c 2c |3}+3x^{2|}-5x+1\,|
|00003970| 3d 5c 2c 5c 6c 65 66 74 | 28 20 78 2d 31 5c 72 69 |=\,\left|( x-1\ri|
|00003980| 67 68 74 29 20 5c 6c 65 | 66 74 28 20 78 2b 32 2b |ght) \le|ft( x+2+|
|00003990| 5c 73 71 72 74 7b 35 7d | 5c 72 69 67 68 74 29 20 |\sqrt{5}|\right) |
|000039a0| 5c 6c 65 66 74 28 0d 0a | 78 2b 32 2d 5c 73 71 72 |\left(..|x+2-\sqr|
|000039b0| 74 7b 35 7d 5c 72 69 67 | 68 74 29 20 0d 0a 5c 5d |t{5}\rig|ht) ..\]|
|000039c0| 0d 0a 0d 0a 5c 68 66 69 | 6c 6c 20 5c 68 79 70 65 |....\hfi|ll \hype|
|000039d0| 72 72 65 66 7b 5c 54 43 | 49 49 63 6f 6e 7b 42 49 |rref{\TC|IIcon{BI|
|000039e0| 54 4d 41 50 53 45 54 50 | 72 6f 62 53 6f 6c 76 48 |TMAPSETP|robSolvH|
|000039f0| 69 6e 74 7d 7b 30 2e 32 | 30 30 36 69 6e 7d 7b 30 |int}{0.2|006in}{0|
|00003a00| 2e 32 34 33 69 6e 7d 7b | 30 69 6e 7d 7d 7b 7d 7b |.243in}{|0in}}{}{|
|00003a10| 25 0d 0a 7d 7b 71 39 7d | 0d 0a 0d 0a 5c 69 74 65 |%..}{q9}|....\ite|
|00003a20| 6d 5b 31 30 2e 5d 20 20 | 5c 6c 61 62 65 6c 7b 61 |m[10.]  |\label{a|
|00003a30| 31 30 7d 5c 74 65 78 74 | 62 66 7b 41 6e 61 6c 79 |10}\text|bf{Analy|
|00003a40| 74 69 63 20 73 6f 6c 75 | 74 69 6f 6e 3a 7d 20 54 |tic solu|tion:} T|
|00003a50| 68 65 20 71 75 65 73 74 | 69 6f 6e 20 61 73 6b 73 |he quest|ion asks|
|00003a60| 20 77 68 65 6e 20 24 25 | 0d 0a 41 3d 32 50 24 2e | when $%|..A=2P$.|
|00003a70| 20 53 6f 6c 76 69 6e 67 | 20 74 68 65 20 65 71 75 | Solving| the equ|
|00003a80| 61 74 69 6f 6e 20 24 32 | 50 3d 50 5c 6c 65 66 74 |ation $2|P=P\left|
|00003a90| 28 20 31 2b 72 5c 72 69 | 67 68 74 29 20 5e 7b 74 |( 1+r\ri|ght) ^{t|
|00003aa0| 7d 24 20 66 6f 72 20 24 | 74 24 20 67 69 76 65 73 |}$ for $|t$ gives|
|00003ab0| 20 74 68 65 0d 0a 73 6f | 6c 75 74 69 6f 6e 20 0d | the..so|lution .|
|00003ac0| 0a 5c 5b 0d 0a 74 3d 5c | 66 72 61 63 7b 5c 6c 6e |.\[..t=\|frac{\ln|
|00003ad0| 20 32 7d 7b 5c 6c 6e 20 | 5c 6c 65 66 74 28 20 31 | 2}{\ln |\left( 1|
|00003ae0| 2b 72 5c 72 69 67 68 74 | 29 20 7d 20 0d 0a 5c 5d |+r\right|) } ..\]|
|00003af0| 0d 0a 5c 74 65 78 74 73 | 66 7b 45 76 61 6c 75 61 |..\texts|f{Evalua|
|00003b00| 74 65 20 4e 75 6d 65 72 | 69 63 61 6c 6c 79 7d 20 |te Numer|ically} |
|00003b10| 67 69 76 65 73 20 74 68 | 65 20 6e 75 6d 62 65 72 |gives th|e number|
|00003b20| 20 6f 66 20 79 65 61 72 | 73 20 66 6f 72 20 65 61 | of year|s for ea|
|00003b30| 63 68 20 6f 66 20 74 68 | 65 20 66 6f 75 72 0d 0a |ch of th|e four..|
|00003b40| 64 69 66 66 65 72 65 6e | 74 20 69 6e 74 65 72 65 |differen|t intere|
|00003b50| 73 74 20 72 61 74 65 73 | 20 61 73 20 66 6f 6c 6c |st rates| as foll|
|00003b60| 6f 77 73 2e 20 0d 0a 5c | 5b 0d 0a 5c 66 62 6f 78 |ows. ..\|[..\fbox|
|00003b70| 7b 24 0d 0a 5c 62 65 67 | 69 6e 7b 61 72 72 61 79 |{$..\beg|in{array|
|00003b80| 7d 7b 63 7d 0d 0a 5c 74 | 65 78 74 7b 46 6f 72 20 |}{c}..\t|ext{For |
|00003b90| 33 5c 25 2c 20 5c 20 7d | 5c 64 66 72 61 63 7b 5c |3\%, \ }|\dfrac{\|
|00003ba0| 6c 6e 20 32 7d 7b 5c 6c | 6e 20 5c 6c 65 66 74 28 |ln 2}{\l|n \left(|
|00003bb0| 20 31 2b 2e 30 33 5c 72 | 69 67 68 74 29 20 7d 3d | 1+.03\r|ight) }=|
|00003bc0| 32 33 2e 34 5c 74 65 78 | 74 7b 20 79 65 61 72 73 |23.4\tex|t{ years|
|00003bd0| 3b 0d 0a 46 6f 72 20 35 | 5c 25 2c 20 5c 20 7d 5c |;..For 5|\%, \ }\|
|00003be0| 64 66 72 61 63 7b 5c 6c | 6e 20 32 7d 7b 5c 6c 6e |dfrac{\l|n 2}{\ln|
|00003bf0| 20 5c 6c 65 66 74 28 20 | 31 2b 2e 30 35 5c 72 69 | \left( |1+.05\ri|
|00003c00| 67 68 74 29 20 7d 3d 31 | 34 2e 32 5c 74 65 78 74 |ght) }=1|4.2\text|
|00003c10| 7b 20 79 65 61 72 73 5c | 76 73 70 61 63 65 7b 25 |{ years\|vspace{%|
|00003c20| 0d 0a 31 32 70 74 7d 7d | 20 5c 5c 20 0d 0a 5c 74 |..12pt}}| \\ ..\t|
|00003c30| 65 78 74 7b 46 6f 72 20 | 38 5c 25 2c 5c 20 5c 20 |ext{For |8\%,\ \ |
|00003c40| 7d 5c 64 66 72 61 63 7b | 5c 6c 6e 20 32 7d 7b 5c |}\dfrac{|\ln 2}{\|
|00003c50| 6c 6e 20 5c 6c 65 66 74 | 28 20 31 2b 2e 30 38 5c |ln \left|( 1+.08\|
|00003c60| 72 69 67 68 74 29 20 7d | 3d 39 2e 30 31 5c 74 65 |right) }|=9.01\te|
|00003c70| 78 74 7b 20 79 65 61 72 | 73 3b 0d 0a 46 6f 72 20 |xt{ year|s;..For |
|00003c80| 31 30 5c 25 2c 20 7d 5c | 64 66 72 61 63 7b 5c 6c |10\%, }\|dfrac{\l|
|00003c90| 6e 20 32 7d 7b 5c 6c 6e | 20 5c 6c 65 66 74 28 20 |n 2}{\ln| \left( |
|00003ca0| 31 2b 2e 31 30 5c 72 69 | 67 68 74 29 20 7d 3d 37 |1+.10\ri|ght) }=7|
|00003cb0| 2e 32 37 5c 74 65 78 74 | 7b 20 79 65 61 72 73 7d |.27\text|{ years}|
|00003cc0| 0d 0a 5c 65 6e 64 7b 61 | 72 72 61 79 7d 0d 0a 24 |..\end{a|rray}..$|
|00003cd0| 7d 20 0d 0a 5c 5d 0d 0a | 24 5c 2c 5c 2c 24 0d 0a |} ..\]..|$\,\,$..|
|00003ce0| 0d 0a 5c 74 65 78 74 62 | 66 7b 45 78 70 65 72 69 |..\textb|f{Experi|
|00003cf0| 6d 65 6e 74 61 6c 20 73 | 6f 6c 75 74 69 6f 6e 3a |mental s|olution:|
|00003d00| 7d 20 46 6f 72 20 74 68 | 65 20 69 6e 74 65 72 65 |} For th|e intere|
|00003d10| 73 74 20 72 61 74 65 20 | 24 33 5c 25 24 2c 20 79 |st rate |$3\%$, y|
|00003d20| 6f 75 20 6d 69 67 68 74 | 20 73 74 61 72 74 0d 0a |ou might| start..|
|00003d30| 77 69 74 68 20 74 68 65 | 20 66 6f 6c 6c 6f 77 69 |with the| followi|
|00003d40| 6e 67 20 64 61 74 61 3a | 20 0d 0a 5c 5b 0d 0a 5c |ng data:| ..\[..\|
|00003d50| 66 62 6f 78 7b 24 0d 0a | 5c 62 65 67 69 6e 7b 61 |fbox{$..|\begin{a|
|00003d60| 72 72 61 79 7d 7b 63 63 | 7d 0d 0a 31 30 5c 74 65 |rray}{cc|}..10\te|
|00003d70| 78 74 7b 20 79 65 61 72 | 73 3a 7d 20 26 20 41 3d |xt{ year|s:} & A=|
|00003d80| 50 5c 6c 65 66 74 28 20 | 31 2b 2e 30 33 5c 72 69 |P\left( |1+.03\ri|
|00003d90| 67 68 74 29 20 5e 7b 31 | 30 7d 3d 31 2e 33 34 50 |ght) ^{1|0}=1.34P|
|00003da0| 20 5c 5c 20 0d 0a 31 35 | 5c 74 65 78 74 7b 20 79 | \\ ..15|\text{ y|
|00003db0| 65 61 72 73 3a 7d 20 26 | 20 41 3d 50 5c 6c 65 66 |ears:} &| A=P\lef|
|00003dc0| 74 28 20 31 2b 2e 30 33 | 5c 72 69 67 68 74 29 20 |t( 1+.03|\right) |
|00003dd0| 5e 7b 31 35 7d 3d 31 2e | 35 36 50 20 5c 5c 20 0d |^{15}=1.|56P \\ .|
|00003de0| 0a 32 30 5c 74 65 78 74 | 7b 20 79 65 61 72 73 3a |.20\text|{ years:|
|00003df0| 7d 20 26 20 41 3d 50 5c | 6c 65 66 74 28 20 31 2b |} & A=P\|left( 1+|
|00003e00| 2e 30 33 5c 72 69 67 68 | 74 29 20 5e 7b 32 30 7d |.03\righ|t) ^{20}|
|00003e10| 3d 5c 2c 31 2e 38 31 50 | 20 5c 5c 20 0d 0a 32 35 |=\,1.81P| \\ ..25|
|00003e20| 5c 74 65 78 74 7b 20 79 | 65 61 72 73 3a 7d 20 26 |\text{ y|ears:} &|
|00003e30| 20 41 3d 50 5c 6c 65 66 | 74 28 20 31 2b 2e 30 33 | A=P\lef|t( 1+.03|
|00003e40| 5c 72 69 67 68 74 29 20 | 5e 7b 32 35 7d 3d 5c 2c |\right) |^{25}=\,|
|00003e50| 32 2e 30 39 50 0d 0a 5c | 65 6e 64 7b 61 72 72 61 |2.09P..\|end{arra|
|00003e60| 79 7d 0d 0a 24 7d 20 0d | 0a 5c 5d 0d 0a 54 68 65 |y}..$} .|.\]..The|
|00003e70| 6e 2c 20 6c 6f 6f 6b 20 | 61 74 20 74 68 65 20 79 |n, look |at the y|
|00003e80| 65 61 72 73 20 62 65 74 | 77 65 65 6e 20 32 30 20 |ears bet|ween 20 |
|00003e90| 61 6e 64 20 32 35 3a 24 | 5c 2c 24 20 0d 0a 5c 5b |and 25:$|\,$ ..\[|
|00003ea0| 0d 0a 5c 66 62 6f 78 7b | 24 0d 0a 5c 62 65 67 69 |..\fbox{|$..\begi|
|00003eb0| 6e 7b 61 72 72 61 79 7d | 7b 63 63 7d 0d 0a 32 31 |n{array}|{cc}..21|
|00003ec0| 5c 74 65 78 74 7b 20 79 | 65 61 72 73 3a 7d 20 26 |\text{ y|ears:} &|
|00003ed0| 20 41 3d 50 5c 6c 65 66 | 74 28 20 31 2b 2e 30 33 | A=P\lef|t( 1+.03|
|00003ee0| 5c 72 69 67 68 74 29 20 | 5e 7b 32 31 7d 3d 31 2e |\right) |^{21}=1.|
|00003ef0| 38 36 50 20 5c 5c 20 0d | 0a 32 32 5c 74 65 78 74 |86P \\ .|.22\text|
|00003f00| 7b 20 79 65 61 72 73 3a | 7d 20 26 20 41 3d 50 5c |{ years:|} & A=P\|
|00003f10| 6c 65 66 74 28 20 31 2b | 2e 30 33 5c 72 69 67 68 |left( 1+|.03\righ|
|00003f20| 74 29 20 5e 7b 32 32 7d | 3d 5c 2c 31 2e 39 32 50 |t) ^{22}|=\,1.92P|
|00003f30| 20 5c 5c 20 0d 0a 32 33 | 5c 74 65 78 74 7b 20 79 | \\ ..23|\text{ y|
|00003f40| 65 61 72 73 3a 7d 20 26 | 20 41 3d 50 5c 6c 65 66 |ears:} &| A=P\lef|
|00003f50| 74 28 20 31 2b 2e 30 33 | 5c 72 69 67 68 74 29 20 |t( 1+.03|\right) |
|00003f60| 5e 7b 32 33 7d 3d 5c 2c | 31 2e 39 37 50 20 5c 5c |^{23}=\,|1.97P \\|
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|00004da0| 66 74 28 20 2d 5c 64 66 | 72 61 63 7b 76 62 2d 64 |ft( -\df|rac{vb-d|
|00004db0| 75 7d 7b 2d 63 62 2b 61 | 64 7d 5c 72 69 67 68 74 |u}{-cb+a|d}\right|
|00004dc0| 29 20 5e 7b 32 7d 2b 42 | 5c 6c 65 66 74 28 20 2d |) ^{2}+B|\left( -|
|00004dd0| 5c 64 66 72 61 63 7b 76 | 62 2d 64 75 7d 7b 2d 63 |\dfrac{v|b-du}{-c|
|00004de0| 62 2b 61 64 7d 25 0d 0a | 5c 72 69 67 68 74 29 20 |b+ad}%..|\right) |
|00004df0| 5c 6c 65 66 74 28 20 5c | 64 66 72 61 63 7b 2d 63 |\left( \|dfrac{-c|
|00004e00| 75 2b 61 76 7d 7b 2d 63 | 62 2b 61 64 7d 5c 72 69 |u+av}{-c|b+ad}\ri|
|00004e10| 67 68 74 29 20 2b 43 5c | 6c 65 66 74 28 20 5c 64 |ght) +C\|left( \d|
|00004e20| 66 72 61 63 7b 2d 63 75 | 2b 61 76 7d 7b 2d 63 62 |frac{-cu|+av}{-cb|
|00004e30| 2b 61 64 7d 25 0d 0a 5c | 72 69 67 68 74 29 20 5e |+ad}%..\|right) ^|
|00004e40| 7b 32 7d 5c 76 73 70 61 | 63 65 7b 36 70 74 7d 20 |{2}\vspa|ce{6pt} |
|00004e50| 5c 5c 20 0d 0a 2b 44 5c | 6c 65 66 74 28 20 2d 5c |\\ ..+D\|left( -\|
|00004e60| 64 66 72 61 63 7b 76 62 | 2d 64 75 7d 7b 2d 63 62 |dfrac{vb|-du}{-cb|
|00004e70| 2b 61 64 7d 5c 72 69 67 | 68 74 29 20 2b 45 5c 6c |+ad}\rig|ht) +E\l|
|00004e80| 65 66 74 28 20 5c 64 66 | 72 61 63 7b 2d 63 75 2b |eft( \df|rac{-cu+|
|00004e90| 61 76 7d 7b 2d 63 62 2b | 61 64 7d 25 0d 0a 5c 72 |av}{-cb+|ad}%..\r|
|00004ea0| 69 67 68 74 29 20 2b 46 | 3d 30 0d 0a 5c 65 6e 64 |ight) +F|=0..\end|
|00004eb0| 7b 61 72 72 61 79 7d 0d | 0a 5c 5d 0d 0a 54 6f 20 |{array}.|.\]..To |
|00004ec0| 73 69 6d 70 6c 69 66 79 | 20 74 68 69 73 20 65 71 |simplify| this eq|
|00004ed0| 75 61 74 69 6f 6e 20 61 | 6e 64 20 67 65 74 20 69 |uation a|nd get i|
|00004ee0| 74 20 69 6e 74 6f 20 73 | 74 61 6e 64 61 72 64 20 |t into s|tandard |
|00004ef0| 71 75 61 64 72 61 74 69 | 63 20 66 6f 72 6d 20 69 |quadrati|c form i|
|00004f00| 6e 20 74 65 72 6d 73 0d | 0a 6f 66 20 74 68 65 20 |n terms.|.of the |
|00004f10| 76 61 72 69 61 62 6c 65 | 73 20 24 75 24 20 61 6e |variable|s $u$ an|
|00004f20| 64 20 24 76 24 2c 20 66 | 69 72 73 74 20 66 61 63 |d $v$, f|irst fac|
|00004f30| 74 6f 72 20 74 68 65 20 | 6c 65 66 74 20 73 69 64 |tor the |left sid|
|00004f40| 65 20 6f 66 20 74 68 65 | 20 65 71 75 61 74 69 6f |e of the| equatio|
|00004f50| 6e 20 74 6f 0d 0a 66 69 | 6e 64 20 61 20 63 6f 6d |n to..fi|nd a com|
|00004f60| 6d 6f 6e 20 64 65 6e 6f | 6d 69 6e 61 74 6f 72 2e |mon deno|minator.|
|00004f70| 20 28 54 68 69 73 20 70 | 72 6f 63 65 64 75 72 65 | (This p|rocedure|
|00004f80| 20 67 69 76 65 73 20 61 | 20 66 72 61 63 74 69 6f | gives a| fractio|
|00004f90| 6e 20 74 6f 6f 20 6c 61 | 72 67 65 20 74 6f 20 66 |n too la|rge to f|
|00004fa0| 69 74 0d 0a 77 65 6c 6c | 20 6f 6e 20 74 68 65 20 |it..well| on the |
|00004fb0| 70 61 67 65 20 0d 0a 5c | 5b 0d 0a 2d 5c 66 72 61 |page ..\|[..-\fra|
|00004fc0| 63 7b 2d 41 76 5e 7b 32 | 7d 62 5e 7b 32 7d 2b 32 |c{-Av^{2|}b^{2}+2|
|00004fd0| 41 76 62 64 75 2d 41 64 | 5e 7b 32 7d 75 5e 7b 32 |Avbdu-Ad|^{2}u^{2|
|00004fe0| 7d 2d 5c 63 64 6f 74 73 | 20 2d 46 63 5e 7b 32 7d |}-\cdots| -Fc^{2}|
|00004ff0| 62 5e 7b 32 7d 2b 32 46 | 63 62 61 64 2d 46 61 5e |b^{2}+2F|cbad-Fa^|
|00005000| 7b 32 7d 64 5e 7b 32 7d | 25 0d 0a 7d 7b 5c 6c 65 |{2}d^{2}|%..}{\le|
|00005010| 66 74 28 20 61 64 2d 63 | 62 5c 72 69 67 68 74 29 |ft( ad-c|b\right)|
|00005020| 20 5e 7b 32 7d 7d 20 0d | 0a 5c 5d 0d 0a 62 75 74 | ^{2}} .|.\]..but|
|00005030| 20 79 6f 75 20 63 61 6e | 20 73 74 69 6c 6c 20 77 | you can| still w|
|00005040| 6f 72 6b 20 77 69 74 68 | 20 69 74 20 6f 6e 20 79 |ork with| it on y|
|00005050| 6f 75 72 20 73 63 72 65 | 65 6e 2e 29 20 4d 75 6c |our scre|en.) Mul|
|00005060| 74 69 70 6c 79 20 62 79 | 20 74 68 65 20 64 65 6e |tiply by| the den|
|00005070| 6f 6d 69 6e 61 74 6f 72 | 20 24 25 0d 0a 5c 6c 65 |ominator| $%..\le|
|00005080| 66 74 28 20 61 64 2d 63 | 62 5c 72 69 67 68 74 29 |ft( ad-c|b\right)|
|00005090| 20 5e 7b 32 7d 24 20 74 | 6f 20 67 65 74 20 74 68 | ^{2}$ t|o get th|
|000050a0| 65 20 66 6f 6c 6c 6f 77 | 69 6e 67 20 71 75 61 64 |e follow|ing quad|
|000050b0| 72 61 74 69 63 20 65 71 | 75 61 74 69 6f 6e 20 69 |ratic eq|uation i|
|000050c0| 6e 20 70 6f 77 65 72 73 | 0d 0a 6f 66 20 24 75 24 |n powers|..of $u$|
|000050d0| 20 61 6e 64 20 24 76 24 | 3a 20 0d 0a 5c 5b 0d 0a | and $v$|: ..\[..|
|000050e0| 5c 62 65 67 69 6e 7b 74 | 61 62 75 6c 61 72 7d 7b |\begin{t|abular}{|
|000050f0| 6c 7d 0d 0a 24 41 76 5e | 7b 32 7d 62 5e 7b 32 7d |l}..$Av^|{2}b^{2}|
|00005100| 2d 32 41 76 62 64 75 2b | 41 64 5e 7b 32 7d 75 5e |-2Avbdu+|Ad^{2}u^|
|00005110| 7b 32 7d 2b 42 76 62 63 | 75 2d 42 76 5e 7b 32 7d |{2}+Bvbc|u-Bv^{2}|
|00005120| 62 61 2d 42 64 75 5e 7b | 32 7d 63 24 20 5c 5c 20 |ba-Bdu^{|2}c$ \\ |
|00005130| 0d 0a 24 5c 71 71 75 61 | 64 20 2b 5c 2c 42 64 75 |..$\qqua|d +\,Bdu|
|00005140| 61 76 2b 43 63 5e 7b 32 | 7d 75 5e 7b 32 7d 2d 32 |av+Cc^{2|}u^{2}-2|
|00005150| 43 63 75 61 76 2b 43 61 | 5e 7b 32 7d 76 5e 7b 32 |Ccuav+Ca|^{2}v^{2|
|00005160| 7d 2b 44 76 62 5e 7b 32 | 7d 63 24 20 5c 5c 20 0d |}+Dvb^{2|}c$ \\ .|
|00005170| 0a 24 5c 71 71 75 61 64 | 20 2d 44 76 62 61 64 2d |.$\qquad| -Dvbad-|
|00005180| 5c 2c 44 64 75 63 62 2b | 44 64 5e 7b 32 7d 75 61 |\,Dducb+|Dd^{2}ua|
|00005190| 2b 45 63 5e 7b 32 7d 75 | 62 2d 45 63 75 61 64 24 |+Ec^{2}u|b-Ecuad$|
|000051a0| 20 5c 5c 20 0d 0a 24 5c | 71 71 75 61 64 20 2d 45 | \\ ..$\|qquad -E|
|000051b0| 61 76 63 62 2b 45 61 5e | 7b 32 7d 76 64 2b 5c 2c |avcb+Ea^|{2}vd+\,|
|000051c0| 46 63 5e 7b 32 7d 62 5e | 7b 32 7d 2d 32 46 63 62 |Fc^{2}b^|{2}-2Fcb|
|000051d0| 61 64 2b 46 61 5e 7b 32 | 7d 64 5e 7b 32 7d 3d 30 |ad+Fa^{2|}d^{2}=0|
|000051e0| 24 25 0d 0a 5c 65 6e 64 | 7b 74 61 62 75 6c 61 72 |$%..\end|{tabular|
|000051f0| 7d 0d 0a 5c 5d 0d 0a 24 | 5c 2c 24 4e 6f 77 2c 20 |}..\]..$|\,$Now, |
|00005200| 74 6f 20 69 64 65 6e 74 | 69 66 79 20 74 68 65 20 |to ident|ify the |
|00005210| 73 69 67 6e 20 6f 66 20 | 74 68 65 20 64 69 73 63 |sign of |the disc|
|00005220| 72 69 6d 69 6e 61 6e 74 | 20 66 6f 72 20 74 68 69 |riminant| for thi|
|00005230| 73 20 71 75 61 64 72 61 | 74 69 63 0d 0a 65 71 75 |s quadra|tic..equ|
|00005240| 61 74 69 6f 6e 2c 20 79 | 6f 75 20 6e 65 65 64 20 |ation, y|ou need |
|00005250| 74 6f 20 63 6f 6c 6c 65 | 63 74 20 63 6f 65 66 66 |to colle|ct coeff|
|00005260| 69 63 69 65 6e 74 73 20 | 6f 66 20 24 75 24 20 61 |icients |of $u$ a|
|00005270| 6e 64 20 24 76 24 2e 20 | 54 6f 20 63 6f 6c 6c 65 |nd $v$. |To colle|
|00005280| 63 74 20 74 68 65 6d 2c | 0d 0a 73 65 6c 65 63 74 |ct them,|..select|
|00005290| 20 61 6e 64 20 74 68 65 | 6e 20 63 6c 69 63 6b 20 | and the|n click |
|000052a0| 61 6e 64 20 64 72 61 67 | 20 74 65 72 6d 73 20 63 |and drag| terms c|
|000052b0| 6f 6e 74 61 69 6e 69 6e | 67 20 61 20 66 61 63 74 |ontainin|g a fact|
|000052c0| 6f 72 20 6f 66 20 24 75 | 5e 7b 32 7d 24 20 74 6f |or of $u|^{2}$ to|
|000052d0| 20 74 68 65 0d 0a 62 65 | 67 69 6e 6e 69 6e 67 20 | the..be|ginning |
|000052e0| 6f 66 20 74 68 65 20 65 | 78 70 72 65 73 73 69 6f |of the e|xpressio|
|000052f0| 6e 2e 20 54 68 65 6e 2c | 20 73 65 6c 65 63 74 20 |n. Then,| select |
|00005300| 61 6c 6c 20 74 68 65 73 | 65 20 74 65 72 6d 73 2c |all thes|e terms,|
|00005310| 20 61 6e 64 20 77 68 69 | 6c 65 20 68 6f 6c 64 69 | and whi|le holdi|
|00005320| 6e 67 0d 0a 64 6f 77 6e | 20 74 68 65 20 5c 74 65 |ng..down| the \te|
|00005330| 78 74 73 63 7b 63 74 72 | 6c 20 7d 20 6b 65 79 2c |xtsc{ctr|l } key,|
|00005340| 20 63 68 6f 6f 73 65 20 | 5c 74 65 78 74 73 66 7b | choose |\textsf{|
|00005350| 46 61 63 74 6f 72 7d 2e | 20 54 68 65 6e 2c 20 66 |Factor}.| Then, f|
|00005360| 6f 6c 6c 6f 77 20 74 68 | 69 73 20 73 61 6d 65 0d |ollow th|is same.|
|00005370| 0a 70 72 6f 63 65 64 75 | 72 65 20 66 6f 72 20 24 |.procedu|re for $|
|00005380| 75 76 24 2c 20 24 76 5e | 7b 32 7d 24 2c 20 24 75 |uv$, $v^|{2}$, $u|
|00005390| 24 2c 20 61 6e 64 20 24 | 76 24 20 69 6e 20 74 75 |$, and $|v$ in tu|
|000053a0| 72 6e 2e 20 59 6f 75 20 | 63 61 6e 20 67 65 74 20 |rn. You |can get |
|000053b0| 74 68 69 73 20 65 71 75 | 61 74 69 6f 6e 0d 0a 69 |this equ|ation..i|
|000053c0| 6e 74 6f 20 74 68 65 20 | 66 6f 6c 6c 6f 77 69 6e |nto the |followin|
|000053d0| 67 20 66 6f 72 6d 20 77 | 69 74 68 20 74 68 65 73 |g form w|ith thes|
|000053e0| 65 20 73 74 65 70 73 3a | 20 0d 0a 5c 5b 0d 0a 5c |e steps:| ..\[..\|
|000053f0| 62 65 67 69 6e 7b 74 61 | 62 75 6c 61 72 7d 7b 6c |begin{ta|bular}{l|
|00005400| 7d 0d 0a 24 5c 6c 65 66 | 74 28 20 64 5e 7b 32 7d |}..$\lef|t( d^{2}|
|00005410| 41 2d 42 63 64 2b 63 5e | 7b 32 7d 43 5c 72 69 67 |A-Bcd+c^|{2}C\rig|
|00005420| 68 74 29 20 75 5e 7b 32 | 7d 2b 5c 6c 65 66 74 28 |ht) u^{2|}+\left(|
|00005430| 20 2d 32 62 64 41 2b 61 | 42 64 2b 62 42 63 2d 32 | -2bdA+a|Bd+bBc-2|
|00005440| 61 63 43 5c 72 69 67 68 | 74 29 20 75 76 24 0d 0a |acC\righ|t) uv$..|
|00005450| 5c 5c 20 0d 0a 24 5c 71 | 71 75 61 64 20 2b 5c 6c |\\ ..$\q|quad +\l|
|00005460| 65 66 74 28 20 2d 61 62 | 42 2b 41 62 5e 7b 32 7d |eft( -ab|B+Ab^{2}|
|00005470| 2b 61 5e 7b 32 7d 43 5c | 72 69 67 68 74 29 20 76 |+a^{2}C\|right) v|
|00005480| 5e 7b 32 7d 2b 5c 6c 65 | 66 74 28 20 61 64 2d 63 |^{2}+\le|ft( ad-c|
|00005490| 62 5c 72 69 67 68 74 29 | 20 5c 6c 65 66 74 28 0d |b\right)| \left(.|
|000054a0| 0a 44 64 2d 63 45 5c 72 | 69 67 68 74 29 20 75 24 |.Dd-cE\r|ight) u$|
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