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|00000720| 3d 48 20 0d 0a 5c 5d 0d | 0a 77 68 65 72 65 20 24 |=H ..\].|.where $|
|00000730| 41 24 2c 20 24 42 24 2c | 20 24 43 24 2c 20 24 45 |A$, $B$,| $C$, $E|
|00000740| 24 2c 20 24 46 24 2c 20 | 24 47 24 2c 20 61 6e 64 |$, $F$, |$G$, and|
|00000750| 20 24 48 24 20 61 72 65 | 20 63 6f 6e 73 74 61 6e | $H$ are| constan|
|00000760| 74 73 20 6f 72 20 66 75 | 6e 63 74 69 6f 6e 73 20 |ts or fu|nctions |
|00000770| 6f 66 20 24 78 24 0d 0a | 61 6e 64 20 24 79 24 2e |of $x$..|and $y$.|
|00000780| 20 54 68 65 73 65 20 65 | 71 75 61 74 69 6f 6e 73 | These e|quations|
|00000790| 20 63 61 6e 20 61 6c 73 | 6f 20 62 65 20 77 72 69 | can als|o be wri|
|000007a0| 74 74 65 6e 20 75 73 69 | 6e 67 20 74 68 65 20 6f |tten usi|ng the o|
|000007b0| 70 65 72 61 74 6f 72 20 | 6e 6f 74 61 74 69 6f 6e |perator |notation|
|000007c0| 20 0d 0a 5c 5b 0d 0a 41 | 44 5f 7b 78 7d 75 2b 42 | ..\[..A|D_{x}u+B|
|000007d0| 44 5f 7b 79 7d 75 2b 43 | 75 3d 45 20 0d 0a 5c 5d |D_{y}u+C|u=E ..\]|
|000007e0| 0d 0a 6f 72 20 0d 0a 5c | 5b 0d 0a 41 44 5f 7b 78 |..or ..\|[..AD_{x|
|000007f0| 78 7d 75 2b 42 44 5f 7b | 78 79 7d 75 2b 43 44 5f |x}u+BD_{|xy}u+CD_|
|00000800| 7b 79 79 7d 75 2b 45 44 | 5f 7b 78 7d 75 2b 46 44 |{yy}u+ED|_{x}u+FD|
|00000810| 5f 7b 79 7d 75 2b 47 75 | 3d 48 20 0d 0a 5c 5d 0d |_{y}u+Gu|=H ..\].|
|00000820| 0a 4f 74 68 65 72 20 74 | 72 61 64 69 74 69 6f 6e |.Other t|radition|
|00000830| 61 6c 20 6e 6f 74 61 74 | 69 6f 6e 2c 20 73 75 63 |al notat|ion, suc|
|00000840| 68 20 61 73 20 24 75 5f | 7b 78 79 7d 24 2c 20 6d |h as $u_|{xy}$, m|
|00000850| 61 79 20 6e 6f 74 20 62 | 65 20 72 65 63 6f 67 6e |ay not b|e recogn|
|00000860| 69 7a 65 64 2e 0d 0a 0d | 0a 5c 73 74 72 75 74 0d |ized....|.\strut.|
|00000870| 0a 0d 0a 5c 73 75 62 73 | 65 63 74 69 6f 6e 7b 5c |...\subs|ection{\|
|00000880| 20 53 6f 6c 76 69 6e 67 | 20 50 61 72 74 69 61 6c | Solving| Partial|
|00000890| 20 44 69 66 66 65 72 65 | 6e 74 69 61 6c 20 45 71 | Differe|ntial Eq|
|000008a0| 75 61 74 69 6f 6e 73 5c | 6c 61 62 65 6c 7b 53 6f |uations\|label{So|
|000008b0| 6c 76 65 20 50 44 45 7d | 7d 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 |lve PDE}|}....\be|
|000008c0| 67 69 6e 7b 71 75 6f 74 | 65 7d 0d 0a 24 5c 62 6c |gin{quot|e}..$\bl|
|000008d0| 61 63 6b 74 72 69 61 6e | 67 6c 65 72 69 67 68 74 |acktrian|gleright|
|000008e0| 20 24 20 54 6f 20 73 6f | 6c 76 65 20 61 20 70 61 | $ To so|lve a pa|
|000008f0| 72 74 69 61 6c 20 64 69 | 66 66 65 72 65 6e 74 69 |rtial di|fferenti|
|00000900| 61 6c 20 65 71 75 61 74 | 69 6f 6e 20 0d 0a 5c 69 |al equat|ion ..\i|
|00000910| 6e 64 65 78 7b 53 6f 6c | 76 65 40 53 6f 6c 76 65 |ndex{Sol|ve@Solve|
|00000920| 21 64 69 66 66 65 72 65 | 6e 74 69 61 6c 20 65 71 |!differe|ntial eq|
|00000930| 75 61 74 69 6f 6e 40 64 | 69 66 66 65 72 65 6e 74 |uation@d|ifferent|
|00000940| 69 61 6c 20 65 71 75 61 | 74 69 6f 6e 7d 0d 0a 5c |ial equa|tion}..\|
|00000950| 65 6e 64 7b 71 75 6f 74 | 65 7d 0d 0a 0d 0a 5c 62 |end{quot|e}....\b|
|00000960| 65 67 69 6e 7b 65 6e 75 | 6d 65 72 61 74 65 7d 0d |egin{enu|merate}.|
|00000970| 0a 5c 69 74 65 6d 5b 31 | 2e 5d 20 20 54 79 70 65 |.\item[1|.]  Type|
|00000980| 20 74 68 65 20 70 61 72 | 74 69 61 6c 20 64 69 66 | the par|tial dif|
|00000990| 66 65 72 65 6e 74 69 61 | 6c 20 65 71 75 61 74 69 |ferentia|l equati|
|000009a0| 6f 6e 20 75 73 69 6e 67 | 20 73 74 61 6e 64 61 72 |on using| standar|
|000009b0| 64 0d 0a 6d 61 74 68 65 | 6d 61 74 69 63 61 6c 20 |d..mathe|matical |
|000009c0| 6e 6f 74 61 74 69 6f 6e | 2e 0d 0a 0d 0a 5c 69 74 |notation|.....\it|
|000009d0| 65 6d 5b 32 2e 5d 20 20 | 57 69 74 68 20 74 68 65 |em[2.]  |With the|
|000009e0| 20 69 6e 73 65 72 74 69 | 6f 6e 20 70 6f 69 6e 74 | inserti|on point|
|000009f0| 20 69 6e 20 74 68 65 20 | 65 71 75 61 74 69 6f 6e | in the |equation|
|00000a00| 2c 20 63 68 6f 6f 73 65 | 20 5c 74 65 78 74 73 66 |, choose| \textsf|
|00000a10| 7b 53 6f 6c 76 65 0d 0a | 50 44 45 2e 7d 20 0d 0a |{Solve..|PDE.} ..|
|00000a20| 5c 69 6e 64 65 78 7b 53 | 6f 6c 76 65 20 50 44 45 |\index{S|olve PDE|
|00000a30| 7d 0d 0a 5c 65 6e 64 7b | 65 6e 75 6d 65 72 61 74 |}..\end{|enumerat|
|00000a40| 65 7d 0d 0a 0d 0a 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 71 75 6f |e}....\b|egin{quo|
|00000a50| 74 65 7d 0d 0a 24 5c 62 | 6c 61 63 6b 74 72 69 61 |te}..$\b|lacktria|
|00000a60| 6e 67 6c 65 72 69 67 68 | 74 20 24 20 5c 74 65 78 |nglerigh|t $ \tex|
|00000a70| 74 73 66 7b 53 6f 6c 76 | 65 20 50 44 45 20 7d 0d |tsf{Solv|e PDE }.|
|00000a80| 0a 5c 65 6e 64 7b 71 75 | 6f 74 65 7d 0d 0a 0d 0a |.\end{qu|ote}....|
|00000a90| 5c 62 65 67 69 6e 7b 71 | 75 6f 74 61 74 69 6f 6e |\begin{q|uotation|
|00000aa0| 7d 0d 0a 24 25 0d 0a 5c | 66 72 61 63 7b 5c 70 61 |}..$%..\|frac{\pa|
|00000ab0| 72 74 69 61 6c 20 5e 7b | 32 7d 75 7d 7b 5c 70 61 |rtial ^{|2}u}{\pa|
|00000ac0| 72 74 69 61 6c 20 78 5e | 7b 32 7d 7d 2d 5c 66 72 |rtial x^|{2}}-\fr|
|00000ad0| 61 63 7b 5c 70 61 72 74 | 69 61 6c 20 5e 7b 32 7d |ac{\part|ial ^{2}|
|00000ae0| 75 7d 7b 5c 70 61 72 74 | 69 61 6c 20 79 5e 7b 32 |u}{\part|ial y^{2|
|00000af0| 7d 7d 25 0d 0a 3d 30 20 | 24 2c 20 45 78 61 63 74 |}}%..=0 |$, Exact|
|00000b00| 20 73 6f 6c 75 74 69 6f | 6e 20 69 73 20 3a 20 24 | solutio|n is : $|
|00000b10| 75 28 78 2c 79 29 3d 46 | 5f 7b 31 7d 28 79 2b 78 |u(x,y)=F|_{1}(y+x|
|00000b20| 29 2b 46 5f 7b 32 7d 28 | 79 2d 78 29 24 0d 0a 5c |)+F_{2}(|y-x)$..\|
|00000b30| 65 6e 64 7b 71 75 6f 74 | 61 74 69 6f 6e 7d 0d 0a |end{quot|ation}..|
|00000b40| 0d 0a 5c 73 74 72 75 74 | 0d 0a 0d 0a 54 6f 20 76 |..\strut|....To v|
|00000b50| 65 72 69 66 79 20 74 68 | 61 74 20 24 75 28 78 2c |erify th|at $u(x,|
|00000b60| 79 29 3d 46 5f 7b 31 7d | 28 79 2b 78 29 2b 46 5f |y)=F_{1}|(y+x)+F_|
|00000b70| 7b 32 7d 28 79 2d 78 29 | 24 20 69 73 20 61 63 74 |{2}(y-x)|$ is act|
|00000b80| 75 61 6c 6c 79 20 61 20 | 73 6f 6c 75 74 69 6f 6e |ually a |solution|
|00000b90| 2c 20 64 65 66 69 6e 65 | 20 0d 0a 24 46 5f 7b 31 |, define| ..$F_{1|
|00000ba0| 7d 28 78 29 24 20 61 6e | 64 20 24 46 5f 7b 32 7d |}(x)$ an|d $F_{2}|
|00000bb0| 28 78 29 24 20 74 6f 20 | 62 65 20 67 65 6e 65 72 |(x)$ to |be gener|
|00000bc0| 69 63 20 66 75 6e 63 74 | 69 6f 6e 73 20 61 6e 64 |ic funct|ions and|
|00000bd0| 20 64 65 66 69 6e 65 20 | 0d 0a 5c 5b 0d 0a 75 28 | define |..\[..u(|
|00000be0| 78 2c 79 29 3d 46 5f 7b | 31 7d 28 79 2b 78 29 2b |x,y)=F_{|1}(y+x)+|
|00000bf0| 46 5f 7b 32 7d 28 79 2d | 78 29 20 0d 0a 5c 5d 0d |F_{2}(y-|x) ..\].|
|00000c00| 0a 54 68 65 6e 20 5c 74 | 65 78 74 73 66 7b 45 76 |.Then \t|extsf{Ev|
|00000c10| 61 6c 75 61 74 65 7d 20 | 79 69 65 6c 64 73 20 0d |aluate} |yields .|
|00000c20| 0a 5c 5b 0d 0a 5c 66 72 | 61 63 7b 5c 70 61 72 74 |.\[..\fr|ac{\part|
|00000c30| 69 61 6c 20 5e 7b 32 7d | 75 28 78 2c 79 29 7d 7b |ial ^{2}|u(x,y)}{|
|00000c40| 5c 70 61 72 74 69 61 6c | 20 78 5e 7b 32 7d 7d 3d |\partial| x^{2}}=|
|00000c50| 5c 61 6c 6c 6f 77 62 72 | 65 61 6b 20 46 5f 7b 31 |\allowbr|eak F_{1|
|00000c60| 7d 5e 7b 5c 70 72 69 6d | 65 20 5c 70 72 69 6d 65 |}^{\prim|e \prime|
|00000c70| 0d 0a 7d 5c 6c 65 66 74 | 28 20 79 2b 78 5c 72 69 |..}\left|( y+x\ri|
|00000c80| 67 68 74 29 20 2b 46 5f | 7b 32 7d 5e 7b 5c 70 72 |ght) +F_|{2}^{\pr|
|00000c90| 69 6d 65 20 5c 70 72 69 | 6d 65 20 7d 5c 6c 65 66 |ime \pri|me }\lef|
|00000ca0| 74 28 20 79 2d 78 5c 72 | 69 67 68 74 29 20 0d 0a |t( y-x\r|ight) ..|
|00000cb0| 5c 5d 0d 0a 61 6e 64 20 | 0d 0a 5c 5b 0d 0a 5c 66 |\]..and |..\[..\f|
|00000cc0| 72 61 63 7b 5c 70 61 72 | 74 69 61 6c 20 5e 7b 32 |rac{\par|tial ^{2|
|00000cd0| 7d 75 28 78 2c 79 29 7d | 7b 5c 70 61 72 74 69 61 |}u(x,y)}|{\partia|
|00000ce0| 6c 20 79 5e 7b 32 7d 7d | 3d 5c 61 6c 6c 6f 77 62 |l y^{2}}|=\allowb|
|00000cf0| 72 65 61 6b 20 46 5f 7b | 31 7d 5e 7b 5c 70 72 69 |reak F_{|1}^{\pri|
|00000d00| 6d 65 20 5c 70 72 69 6d | 65 0d 0a 7d 5c 6c 65 66 |me \prim|e..}\lef|
|00000d10| 74 28 20 79 2b 78 5c 72 | 69 67 68 74 29 20 2b 46 |t( y+x\r|ight) +F|
|00000d20| 5f 7b 32 7d 5e 7b 5c 70 | 72 69 6d 65 20 5c 70 72 |_{2}^{\p|rime \pr|
|00000d30| 69 6d 65 20 7d 5c 6c 65 | 66 74 28 20 79 2d 78 5c |ime }\le|ft( y-x\|
|00000d40| 72 69 67 68 74 29 20 0d | 0a 5c 5d 0d 0a 61 6e 64 |right) .|.\]..and|
|00000d50| 20 68 65 6e 63 65 20 0d | 0a 5c 5b 0d 0a 5c 66 72 | hence .|.\[..\fr|
|00000d60| 61 63 7b 5c 70 61 72 74 | 69 61 6c 20 5e 7b 32 7d |ac{\part|ial ^{2}|
|00000d70| 75 28 78 2c 79 29 7d 7b | 5c 70 61 72 74 69 61 6c |u(x,y)}{|\partial|
|00000d80| 20 78 5e 7b 32 7d 7d 2d | 5c 66 72 61 63 7b 5c 70 | x^{2}}-|\frac{\p|
|00000d90| 61 72 74 69 61 6c 20 5e | 7b 32 7d 75 28 78 2c 79 |artial ^|{2}u(x,y|
|00000da0| 29 7d 7b 25 0d 0a 5c 70 | 61 72 74 69 61 6c 20 79 |)}{%..\p|artial y|
|00000db0| 5e 7b 32 7d 7d 3d 30 20 | 0d 0a 5c 5d 0d 0a 0d 0a |^{2}}=0 |..\]....|
|00000dc0| 5c 73 74 72 75 74 0d 0a | 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e |\strut..|..\begin|
|00000dd0| 7b 65 78 61 6d 70 6c 65 | 7d 0d 0a 54 68 65 20 63 |{example|}..The c|
|00000de0| 68 6f 69 63 65 20 0d 0a | 5c 5b 0d 0a 75 28 78 2c |hoice ..|\[..u(x,|
|00000df0| 79 29 3d 5c 73 69 6e 20 | 28 79 2b 78 29 2b 5c 63 |y)=\sin |(y+x)+\c|
|00000e00| 6f 73 20 28 79 2d 78 29 | 20 0d 0a 5c 5d 0d 0a 79 |os (y-x)| ..\]..y|
|00000e10| 69 65 6c 64 73 20 0d 0a | 5c 5b 0d 0a 5c 66 72 61 |ields ..|\[..\fra|
|00000e20| 63 7b 5c 70 61 72 74 69 | 61 6c 20 5e 7b 32 7d 75 |c{\parti|al ^{2}u|
|00000e30| 28 78 2c 79 29 7d 7b 5c | 70 61 72 74 69 61 6c 20 |(x,y)}{\|partial |
|00000e40| 78 5e 7b 32 7d 7d 3d 5c | 61 6c 6c 6f 77 62 72 65 |x^{2}}=\|allowbre|
|00000e50| 61 6b 20 2d 5c 73 69 6e | 20 5c 6c 65 66 74 28 0d |ak -\sin| \left(.|
|00000e60| 0a 79 2b 78 5c 72 69 67 | 68 74 29 20 2d 5c 63 6f |.y+x\rig|ht) -\co|
|00000e70| 73 20 5c 6c 65 66 74 28 | 20 2d 79 2b 78 5c 72 69 |s \left(| -y+x\ri|
|00000e80| 67 68 74 29 20 0d 0a 5c | 5d 0d 0a 61 6e 64 20 0d |ght) ..\|]..and .|
|00000e90| 0a 5c 5b 0d 0a 5c 66 72 | 61 63 7b 5c 70 61 72 74 |.\[..\fr|ac{\part|
|00000ea0| 69 61 6c 20 5e 7b 32 7d | 75 28 78 2c 79 29 7d 7b |ial ^{2}|u(x,y)}{|
|00000eb0| 5c 70 61 72 74 69 61 6c | 20 79 5e 7b 32 7d 7d 3d |\partial| y^{2}}=|
|00000ec0| 5c 61 6c 6c 6f 77 62 72 | 65 61 6b 20 2d 5c 73 69 |\allowbr|eak -\si|
|00000ed0| 6e 20 5c 6c 65 66 74 28 | 0d 0a 79 2b 78 5c 72 69 |n \left(|..y+x\ri|
|00000ee0| 67 68 74 29 20 2d 5c 63 | 6f 73 20 5c 6c 65 66 74 |ght) -\c|os \left|
|00000ef0| 28 20 2d 79 2b 78 5c 72 | 69 67 68 74 29 20 0d 0a |( -y+x\r|ight) ..|
|00000f00| 5c 5d 0d 0a 61 6e 64 20 | 63 6c 65 61 72 6c 79 20 |\]..and |clearly |
|00000f10| 0d 0a 5c 5b 0d 0a 5c 66 | 72 61 63 7b 5c 70 61 72 |..\[..\f|rac{\par|
|00000f20| 74 69 61 6c 20 5e 7b 32 | 7d 75 28 78 2c 79 29 7d |tial ^{2|}u(x,y)}|
|00000f30| 7b 5c 70 61 72 74 69 61 | 6c 20 78 5e 7b 32 7d 7d |{\partia|l x^{2}}|
|00000f40| 2d 5c 66 72 61 63 7b 5c | 70 61 72 74 69 61 6c 20 |-\frac{\|partial |
|00000f50| 5e 7b 32 7d 75 28 78 2c | 79 29 7d 7b 25 0d 0a 5c |^{2}u(x,|y)}{%..\|
|00000f60| 70 61 72 74 69 61 6c 20 | 79 5e 7b 32 7d 7d 3d 30 |partial |y^{2}}=0|
|00000f70| 20 0d 0a 5c 5d 0d 0a 5c | 65 6e 64 7b 65 78 61 6d | ..\]..\|end{exam|
|00000f80| 70 6c 65 7d 0d 0a 0d 0a | 5c 73 74 72 75 74 0d 0a |ple}....|\strut..|
|00000f90| 0d 0a 5c 73 75 62 73 65 | 63 74 69 6f 6e 7b 5c 20 |..\subse|ction{\ |
|00000fa0| 57 61 76 65 20 45 71 75 | 61 74 69 6f 6e 5c 6c 61 |Wave Equ|ation\la|
|00000fb0| 62 65 6c 7b 57 61 76 65 | 20 65 71 75 61 74 69 6f |bel{Wave| equatio|
|00000fc0| 6e 7d 7d 0d 0a 0d 0a 55 | 73 65 20 5c 74 65 78 74 |n}}....U|se \text|
|00000fd0| 73 66 7b 53 6f 6c 76 65 | 20 50 44 45 7d 20 74 6f |sf{Solve| PDE} to|
|00000fe0| 20 73 6f 6c 76 65 20 74 | 68 65 20 77 61 76 65 20 | solve t|he wave |
|00000ff0| 65 71 75 61 74 69 6f 6e | 2e 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 |equation|.....\be|
|00001000| 67 69 6e 7b 71 75 6f 74 | 65 7d 0d 0a 24 5c 62 6c |gin{quot|e}..$\bl|
|00001010| 61 63 6b 74 72 69 61 6e | 67 6c 65 72 69 67 68 74 |acktrian|gleright|
|00001020| 20 24 20 53 6f 6c 76 65 | 20 50 44 45 0d 0a 5c 65 | $ Solve| PDE..\e|
|00001030| 6e 64 7b 71 75 6f 74 65 | 7d 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 |nd{quote|}....\be|
|00001040| 67 69 6e 7b 71 75 6f 74 | 61 74 69 6f 6e 7d 0d 0a |gin{quot|ation}..|
|00001050| 24 5c 64 66 72 61 63 7b | 5c 70 61 72 74 69 61 6c |$\dfrac{|\partial|
|00001060| 20 5e 7b 32 7d 79 7d 7b | 5c 70 61 72 74 69 61 6c | ^{2}y}{|\partial|
|00001070| 20 74 5e 7b 32 7d 7d 3d | 61 5e 7b 32 7d 5c 64 66 | t^{2}}=|a^{2}\df|
|00001080| 72 61 63 7b 5c 70 61 72 | 74 69 61 6c 20 5e 7b 32 |rac{\par|tial ^{2|
|00001090| 7d 79 7d 7b 5c 70 61 72 | 74 69 61 6c 0d 0a 78 5e |}y}{\par|tial..x^|
|000010a0| 7b 32 7d 7d 24 2c 20 45 | 78 61 63 74 20 73 6f 6c |{2}}$, E|xact sol|
|000010b0| 75 74 69 6f 6e 20 69 73 | 20 3a 20 24 79 5c 6c 65 |ution is| : $y\le|
|000010c0| 66 74 28 20 74 2c 78 5c | 72 69 67 68 74 29 20 3d |ft( t,x\|right) =|
|000010d0| 46 5f 7b 31 7d 5c 6c 65 | 66 74 28 20 2d 78 2d 61 |F_{1}\le|ft( -x-a|
|000010e0| 74 5c 72 69 67 68 74 29 | 0d 0a 2b 46 5f 7b 32 7d |t\right)|..+F_{2}|
|000010f0| 5c 6c 65 66 74 28 20 78 | 2d 61 74 5c 72 69 67 68 |\left( x|-at\righ|
|00001100| 74 29 20 24 0d 0a 5c 65 | 6e 64 7b 71 75 6f 74 61 |t) $..\e|nd{quota|
|00001110| 74 69 6f 6e 7d 0d 0a 0d | 0a 5c 73 74 72 75 74 0d |tion}...|.\strut.|
|00001120| 0a 0d 0a 5c 62 65 67 69 | 6e 7b 65 78 61 6d 70 6c |...\begi|n{exampl|
|00001130| 65 7d 0d 0a 4c 65 74 20 | 24 79 28 78 2c 74 29 24 |e}..Let |$y(x,t)$|
|00001140| 20 64 65 6e 6f 74 65 20 | 61 20 76 65 72 74 69 63 | denote |a vertic|
|00001150| 61 6c 20 64 69 73 70 6c | 61 63 65 6d 65 6e 74 20 |al displ|acement |
|00001160| 6f 66 20 61 20 76 69 62 | 72 61 74 69 6e 67 20 73 |of a vib|rating s|
|00001170| 74 72 69 6e 67 20 61 74 | 0d 0a 70 6f 73 69 74 69 |tring at|..positi|
|00001180| 6f 6e 20 24 78 24 20 61 | 6e 64 20 74 69 6d 65 20 |on $x$ a|nd time |
|00001190| 24 74 24 2e 20 54 68 65 | 6e 20 24 79 28 78 2c 74 |$t$. The|n $y(x,t|
|000011a0| 29 24 20 73 61 74 69 73 | 66 69 65 73 20 74 68 65 |)$ satis|fies the|
|000011b0| 20 77 61 76 65 20 65 71 | 75 61 74 69 6f 6e 20 0d | wave eq|uation .|
|000011c0| 0a 5c 5b 0d 0a 5c 64 66 | 72 61 63 7b 5c 70 61 72 |.\[..\df|rac{\par|
|000011d0| 74 69 61 6c 20 5e 7b 32 | 7d 79 7d 7b 5c 70 61 72 |tial ^{2|}y}{\par|
|000011e0| 74 69 61 6c 20 74 5e 7b | 32 7d 7d 3d 61 5e 7b 32 |tial t^{|2}}=a^{2|
|000011f0| 7d 5c 64 66 72 61 63 7b | 5c 70 61 72 74 69 61 6c |}\dfrac{|\partial|
|00001200| 20 5e 7b 32 7d 79 7d 7b | 5c 70 61 72 74 69 61 6c | ^{2}y}{|\partial|
|00001210| 0d 0a 78 5e 7b 32 7d 7d | 20 0d 0a 5c 5d 0d 0a 61 |..x^{2}}| ..\]..a|
|00001220| 6e 64 20 68 61 73 20 74 | 68 65 20 73 6f 6c 75 74 |nd has t|he solut|
|00001230| 69 6f 6e 20 0d 0a 5c 5b | 0d 0a 79 28 78 2c 74 29 |ion ..\[|..y(x,t)|
|00001240| 3d 46 5f 7b 31 7d 28 2d | 74 2d 61 78 29 2b 46 5f |=F_{1}(-|t-ax)+F_|
|00001250| 7b 32 7d 28 74 2d 61 78 | 29 20 0d 0a 5c 5d 0d 0a |{2}(t-ax|) ..\]..|
|00001260| 54 61 6b 65 20 0d 0a 5c | 5b 0d 0a 46 5f 7b 31 7d |Take ..\|[..F_{1}|
|00001270| 28 78 29 3d 5c 73 69 6e | 20 5c 6c 65 66 74 28 20 |(x)=\sin| \left( |
|00001280| 5c 70 69 20 78 5c 72 69 | 67 68 74 29 20 2b 5c 73 |\pi x\ri|ght) +\s|
|00001290| 69 6e 20 5c 6c 65 66 74 | 28 20 33 5c 70 69 20 78 |in \left|( 3\pi x|
|000012a0| 5c 72 69 67 68 74 29 20 | 0d 0a 5c 5d 0d 0a 61 6e |\right) |..\]..an|
|000012b0| 64 20 0d 0a 5c 5b 0d 0a | 46 5f 7b 32 7d 28 78 29 |d ..\[..|F_{2}(x)|
|000012c0| 3d 5c 73 69 6e 20 28 35 | 5c 70 69 20 78 29 20 0d |=\sin (5|\pi x) .|
|000012d0| 0a 5c 5d 0d 0a 61 6e 64 | 20 64 65 66 69 6e 65 20 |.\]..and| define |
|000012e0| 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e | 7b 65 71 6e 61 72 72 61 |..\begin|{eqnarra|
|000012f0| 79 2a 7d 0d 0a 79 28 78 | 2c 74 29 20 26 3d 26 46 |y*}..y(x|,t) &=&F|
|00001300| 5f 7b 31 7d 28 2d 74 2d | 33 78 29 2b 46 5f 7b 32 |_{1}(-t-|3x)+F_{2|
|00001310| 7d 28 74 2d 33 78 29 20 | 5c 5c 0d 0a 26 3d 26 5c |}(t-3x) |\\..&=&\|
|00001320| 61 6c 6c 6f 77 62 72 65 | 61 6b 20 5c 73 69 6e 20 |allowbre|ak \sin |
|00001330| 5c 6c 65 66 74 28 20 5c | 70 69 20 5c 6c 65 66 74 |\left( \|pi \left|
|00001340| 28 20 2d 74 2d 33 78 5c | 72 69 67 68 74 29 20 5c |( -t-3x\|right) \|
|00001350| 72 69 67 68 74 29 20 2b | 5c 73 69 6e 20 5c 6c 65 |right) +|\sin \le|
|00001360| 66 74 28 20 33 5c 70 69 | 0d 0a 5c 6c 65 66 74 28 |ft( 3\pi|..\left(|
|00001370| 20 2d 74 2d 33 78 5c 72 | 69 67 68 74 29 20 5c 72 | -t-3x\r|ight) \r|
|00001380| 69 67 68 74 29 20 2b 5c | 73 69 6e 20 5c 6c 65 66 |ight) +\|sin \lef|
|00001390| 74 28 20 35 5c 70 69 20 | 5c 6c 65 66 74 28 20 74 |t( 5\pi |\left( t|
|000013a0| 2d 33 78 5c 72 69 67 68 | 74 29 20 5c 72 69 67 68 |-3x\righ|t) \righ|
|000013b0| 74 29 0d 0a 5c 65 6e 64 | 7b 65 71 6e 61 72 72 61 |t)..\end|{eqnarra|
|000013c0| 79 2a 7d 0d 0a 54 68 65 | 20 66 6f 6c 6c 6f 77 69 |y*}..The| followi|
|000013d0| 6e 67 20 66 69 67 75 72 | 65 20 69 6e 63 6c 75 64 |ng figur|e includ|
|000013e0| 65 73 20 67 72 61 70 68 | 73 20 6f 66 20 24 79 28 |es graph|s of $y(|
|000013f0| 30 2c 78 29 24 20 28 69 | 6e 20 72 65 64 29 2c 20 |0,x)$ (i|n red), |
|00001400| 24 79 28 30 2e 30 31 2c | 78 29 24 20 28 69 6e 0d |$y(0.01,|x)$ (in.|
|00001410| 0a 62 6c 75 65 29 2c 20 | 61 6e 64 20 24 79 28 30 |.blue), |and $y(0|
|00001420| 2e 30 32 2c 78 29 24 20 | 28 69 6e 20 67 72 65 65 |.02,x)$ |(in gree|
|00001430| 6e 29 2e 0d 0a 5c 65 6e | 64 7b 65 78 61 6d 70 6c |n)...\en|d{exampl|
|00001440| 65 7d 0d 0a 0d 0a 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 71 75 6f |e}....\b|egin{quo|
|00001450| 74 65 7d 0d 0a 24 5c 62 | 6c 61 63 6b 74 72 69 61 |te}..$\b|lacktria|
|00001460| 6e 67 6c 65 72 69 67 68 | 74 20 24 20 5c 74 65 78 |nglerigh|t $ \tex|
|00001470| 74 73 66 7b 50 6c 6f 74 | 20 32 44 20 2b 20 52 65 |tsf{Plot| 2D + Re|
|00001480| 63 74 61 6e 67 75 6c 61 | 72 7d 20 24 79 28 30 2c |ctangula|r} $y(0,|
|00001490| 78 29 24 0d 0a 5c 65 6e | 64 7b 71 75 6f 74 65 7d |x)$..\en|d{quote}|
|000014a0| 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 67 | 69 6e 7b 69 74 65 6d 69 |....\beg|in{itemi|
|000014b0| 7a 65 7d 0d 0a 5c 69 74 | 65 6d 20 20 53 65 6c 65 |ze}..\it|em  Sele|
|000014c0| 63 74 20 61 6e 64 20 64 | 72 61 67 20 74 6f 20 74 |ct and d|rag to t|
|000014d0| 68 65 20 66 72 61 6d 65 | 20 24 79 28 2e 30 31 2c |he frame| $y(.01,|
|000014e0| 78 29 24 0d 0a 0d 0a 5c | 69 74 65 6d 20 20 53 65 |x)$....\|item  Se|
|000014f0| 6c 65 63 74 20 61 6e 64 | 20 64 72 61 67 20 74 6f |lect and| drag to|
|00001500| 20 74 68 65 20 66 72 61 | 6d 65 20 24 79 28 2e 30 | the fra|me $y(.0|
|00001510| 32 2c 78 29 24 5c 46 52 | 41 4d 45 7b 64 74 62 70 |2,x)$\FR|AME{dtbp|
|00001520| 46 7d 7b 33 69 6e 7d 7b | 32 2e 30 30 30 33 69 6e |F}{3in}{|2.0003in|
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