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|00000720| 68 74 5c 7c 20 5c 72 69 | 67 68 74 61 72 72 6f 77 |ht\| \ri|ghtarrow|
|00000730| 0d 0a 30 7d 5c 73 75 6d | 5f 7b 69 3d 31 7d 5e 7b |..0}\sum|_{i=1}^{|
|00000740| 6e 7d 5c 73 75 6d 5f 7b | 6a 3d 31 7d 5e 7b 6e 7d |n}\sum_{|j=1}^{n}|
|00000750| 66 5c 6c 65 66 74 28 20 | 78 5f 7b 69 7d 2c 79 5f |f\left( |x_{i},y_|
|00000760| 7b 69 7d 2c 7a 5f 7b 69 | 7d 5c 72 69 67 68 74 29 |{i},z_{i|}\right)|
|00000770| 20 5c 44 65 6c 74 61 20 | 53 5f 7b 69 6a 7d 0d 0a | \Delta |S_{ij}..|
|00000780| 5c 5d 0d 0a 49 6e 20 74 | 68 69 73 20 66 6f 72 6d |\]..In t|his form|
|00000790| 75 6c 61 20 24 73 24 20 | 64 65 6e 6f 74 65 73 20 |ula $s$ |denotes |
|000007a0| 61 72 63 20 6c 65 6e 67 | 74 68 20 61 6c 6f 6e 67 |arc leng|th along|
|000007b0| 20 74 68 65 20 63 75 72 | 76 65 2c 20 24 50 24 20 | the cur|ve, $P$ |
|000007c0| 64 65 6e 6f 74 65 73 20 | 61 0d 0a 70 61 72 74 69 |denotes |a..parti|
|000007d0| 74 69 6f 6e 20 6f 66 20 | 74 68 65 20 73 75 72 66 |tion of |the surf|
|000007e0| 61 63 65 20 69 6e 74 6f | 20 24 6e 5e 7b 32 7d 24 |ace into| $n^{2}$|
|000007f0| 20 5c 20 70 61 74 63 68 | 65 73 2c 20 61 6e 64 20 | \ patch|es, and |
|00000800| 24 5c 6c 65 66 74 5c 7c | 20 50 5c 72 69 67 68 74 |$\left\|| P\right|
|00000810| 5c 7c 20 24 69 73 0d 0a | 74 68 65 20 61 72 65 61 |\| $is..|the area|
|00000820| 20 6f 66 20 74 68 65 20 | 6c 61 72 67 65 73 74 20 | of the |largest |
|00000830| 70 61 74 63 68 2e 20 24 | 5c 6c 65 66 74 28 20 78 |patch. $|\left( x|
|00000840| 5f 7b 69 7d 2c 79 5f 7b | 69 7d 2c 7a 5f 7b 69 7d |_{i},y_{|i},z_{i}|
|00000850| 5c 72 69 67 68 74 29 20 | 24 20 69 73 20 61 20 70 |\right) |$ is a p|
|00000860| 6f 69 6e 74 0d 0a 6f 6e | 20 74 68 65 20 24 5c 6c |oint..on| the $\l|
|00000870| 65 66 74 28 20 69 2c 6a | 5c 72 69 67 68 74 29 20 |eft( i,j|\right) |
|00000880| 5e 7b 74 68 7d 24 20 70 | 61 74 63 68 2e 20 5c 20 |^{th}$ p|atch. \ |
|00000890| 28 54 68 65 20 64 65 66 | 69 6e 69 74 69 6f 6e 20 |(The def|inition |
|000008a0| 6f 66 20 61 6e 20 6f 72 | 64 69 6e 61 72 79 0d 0a |of an or|dinary..|
|000008b0| 64 6f 75 62 6c 65 20 69 | 6e 74 65 67 72 61 6c 20 |double i|ntegral |
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|000008d0| 74 5f 7b 61 7d 5e 7b 62 | 7d 67 5c 6c 65 66 74 28 |t_{a}^{b|}g\left(|
|000008e0| 20 78 2c 79 5c 72 69 67 | 68 74 29 20 64 78 64 79 | x,y\rig|ht) dxdy|
|000008f0| 24 20 69 73 20 64 65 66 | 69 6e 65 64 0d 0a 62 79 |$ is def|ined..by|
|00000900| 20 61 20 73 70 65 63 69 | 61 6c 20 63 61 73 65 20 | a speci|al case |
|00000910| 6f 66 20 74 68 69 73 20 | 70 72 6f 63 65 73 73 2c |of this |process,|
|00000920| 20 69 6e 20 77 68 69 63 | 68 20 74 68 65 20 73 75 | in whic|h the su|
|00000930| 72 66 61 63 65 20 24 53 | 24 20 69 73 20 61 20 72 |rface $S|$ is a r|
|00000940| 65 63 74 61 6e 67 6c 65 | 0d 0a 69 6e 20 74 68 65 |ectangle|..in the|
|00000950| 20 70 6c 61 6e 65 2e 29 | 20 5c 20 49 6e 20 70 72 | plane.)| \ In pr|
|00000960| 61 63 74 69 63 65 2c 20 | 74 68 69 73 20 6c 69 6d |actice, |this lim|
|00000970| 69 74 69 6e 67 20 70 72 | 6f 63 65 73 73 20 69 73 |iting pr|ocess is|
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|000009c0| 64 53 3d 5c 69 69 6e 74 | 5f 7b 44 7d 66 5c 6c 65 |dS=\iint|_{D}f\le|
|000009d0| 66 74 28 20 5c 6d 61 74 | 68 62 66 7b 72 7d 5c 6c |ft( \mat|hbf{r}\l|
|000009e0| 65 66 74 28 0d 0a 75 2c | 76 5c 72 69 67 68 74 29 |eft(..u,|v\right)|
|000009f0| 20 5c 72 69 67 68 74 29 | 20 5c 6c 65 66 74 7c 20 | \right)| \left| |
|00000a00| 5c 6d 61 74 68 62 66 7b | 72 7d 5f 7b 75 7d 5c 6d |\mathbf{|r}_{u}\m|
|00000a10| 61 74 68 62 66 7b 5c 74 | 69 6d 65 73 20 72 7d 5f |athbf{\t|imes r}_|
|00000a20| 7b 76 7d 5c 72 69 67 68 | 74 7c 20 64 41 0d 0a 5c |{v}\righ|t| dA..\|
|00000a30| 5d 0d 0a 77 68 65 72 65 | 20 74 68 65 20 69 6e 74 |]..where| the int|
|00000a40| 65 67 72 61 6c 20 6f 6e | 20 74 68 65 20 72 69 67 |egral on| the rig|
|00000a50| 68 74 20 69 73 20 61 6e | 20 6f 72 64 69 6e 61 72 |ht is an| ordinar|
|00000a60| 79 20 64 6f 75 62 6c 65 | 20 69 6e 74 65 67 72 61 |y double| integra|
|00000a70| 6c 20 69 6e 74 65 67 72 | 61 6c 2e 0d 0a 5c 65 6e |l integr|al...\en|
|00000a80| 64 7b 69 74 65 6d 69 7a | 65 7d 0d 0a 0d 0a 5c 73 |d{itemiz|e}....\s|
|00000a90| 75 62 73 75 62 73 65 63 | 74 69 6f 6e 7b 53 75 72 |ubsubsec|tion{Sur|
|00000aa0| 66 61 63 65 20 49 6e 74 | 65 67 72 61 6c 20 6f 66 |face Int|egral of|
|00000ab0| 20 61 20 56 65 63 74 6f | 72 20 46 75 6e 63 74 69 | a Vecto|r Functi|
|00000ac0| 6f 6e 7d 0d 0a 0d 0a 5c | 62 65 67 69 6e 7b 69 74 |on}....\|begin{it|
|00000ad0| 65 6d 69 7a 65 7d 0d 0a | 5c 69 74 65 6d 20 20 4c |emize}..|\item  L|
|00000ae0| 65 74 20 24 53 24 20 64 | 65 6e 6f 74 65 20 61 6e |et $S$ d|enote an|
|00000af0| 20 6f 72 69 65 6e 74 65 | 64 20 73 75 72 66 61 63 | oriente|d surfac|
|00000b00| 65 20 67 69 76 65 6e 20 | 62 79 20 74 68 65 20 76 |e given |by the v|
|00000b10| 65 63 74 6f 72 20 65 71 | 75 61 74 69 6f 6e 20 0d |ector eq|uation .|
|00000b20| 0a 5c 5b 0d 0a 5c 6d 61 | 74 68 62 66 7b 72 7d 5c |.\[..\ma|thbf{r}\|
|00000b30| 6c 65 66 74 28 20 75 2c | 76 5c 72 69 67 68 74 29 |left( u,|v\right)|
|00000b40| 20 3d 78 5c 6c 65 66 74 | 28 20 75 2c 76 5c 72 69 | =x\left|( u,v\ri|
|00000b50| 67 68 74 29 20 5c 6d 61 | 74 68 62 66 7b 69 7d 2b |ght) \ma|thbf{i}+|
|00000b60| 79 5c 6c 65 66 74 28 0d | 0a 75 2c 76 5c 72 69 67 |y\left(.|.u,v\rig|
|00000b70| 68 74 29 20 5c 6d 61 74 | 68 62 66 7b 6a 7d 2b 7a |ht) \mat|hbf{j}+z|
|00000b80| 5c 6c 65 66 74 28 20 75 | 2c 76 5c 72 69 67 68 74 |\left( u|,v\right|
|00000b90| 29 20 5c 6d 61 74 68 62 | 66 7b 6b 7d 5c 71 71 75 |) \mathb|f{k}\qqu|
|00000ba0| 61 64 20 5c 6c 65 66 74 | 28 20 75 2c 76 5c 72 69 |ad \left|( u,v\ri|
|00000bb0| 67 68 74 29 0d 0a 5c 69 | 6e 20 44 5c 74 65 78 74 |ght)..\i|n D\text|
|00000bc0| 7b 2e 7d 0d 0a 5c 5d 0d | 0a 5c 20 4c 65 74 20 24 |{.}..\].|.\ Let $|
|00000bd0| 5c 6d 61 74 68 62 66 7b | 46 7d 3d 50 5c 6d 61 74 |\mathbf{|F}=P\mat|
|00000be0| 68 62 66 7b 69 7d 2b 51 | 5c 6d 61 74 68 62 66 7b |hbf{i}+Q|\mathbf{|
|00000bf0| 6a 7d 2b 52 5c 6d 61 74 | 68 62 66 7b 6b 7d 24 20 |j}+R\mat|hbf{k}$ |
|00000c00| 64 65 6e 6f 74 65 20 61 | 20 76 65 63 74 6f 72 20 |denote a| vector |
|00000c10| 66 69 65 6c 64 0d 0a 66 | 6f 72 20 77 68 69 63 68 |field..f|or which|
|00000c20| 20 74 68 65 20 70 61 72 | 74 69 61 6c 20 64 65 72 | the par|tial der|
|00000c30| 69 76 61 74 69 76 65 73 | 20 6f 66 20 5c 20 24 50 |ivatives| of \ $P|
|00000c40| 24 2c 20 24 51 24 2c 20 | 61 6e 64 20 24 52 24 20 |$, $Q$, |and $R$ |
|00000c50| 61 72 65 20 61 6c 6c 20 | 63 6f 6e 74 69 6e 75 6f |are all |continuo|
|00000c60| 75 73 2e 0d 0a 5c 20 54 | 68 65 20 5c 74 65 78 74 |us...\ T|he \text|
|00000c70| 62 66 7b 73 75 72 66 61 | 63 65 20 69 6e 74 65 67 |bf{surfa|ce integ|
|00000c80| 72 61 6c 20 6f 66 20 7d | 24 5c 6d 61 74 68 62 66 |ral of }|$\mathbf|
|00000c90| 7b 46 7d 24 5c 74 65 78 | 74 62 66 7b 5c 20 6f 76 |{F}$\tex|tbf{\ ov|
|00000ca0| 65 72 20 7d 24 5c 6d 61 | 74 68 62 66 7b 53 7d 24 |er }$\ma|thbf{S}$|
|00000cb0| 0d 0a 69 73 20 64 65 66 | 69 6e 65 64 20 62 79 20 |..is def|ined by |
|00000cc0| 0d 0a 5c 5b 0d 0a 5c 69 | 69 6e 74 5f 7b 53 7d 5c |..\[..\i|int_{S}\|
|00000cd0| 6d 61 74 68 62 66 7b 46 | 7d 5c 63 64 6f 74 20 64 |mathbf{F|}\cdot d|
|00000ce0| 5c 6d 61 74 68 62 66 7b | 53 7d 3d 5c 69 69 6e 74 |\mathbf{|S}=\iint|
|00000cf0| 5f 7b 44 7d 5c 6d 61 74 | 68 62 66 7b 46 7d 5c 63 |_{D}\mat|hbf{F}\c|
|00000d00| 64 6f 74 20 5c 6c 65 66 | 74 28 20 5c 6d 61 74 68 |dot \lef|t( \math|
|00000d10| 62 66 7b 25 0d 0a 72 7d | 5f 7b 75 7d 5c 6d 61 74 |bf{%..r}|_{u}\mat|
|00000d20| 68 62 66 7b 5c 74 69 6d | 65 73 20 72 7d 5f 7b 76 |hbf{\tim|es r}_{v|
|00000d30| 7d 5c 72 69 67 68 74 29 | 20 64 41 0d 0a 5c 5d 0d |}\right)| dA..\].|
|00000d40| 0a 54 68 69 73 20 69 6e | 74 65 67 72 61 6c 20 69 |.This in|tegral i|
|00000d50| 73 20 61 6c 73 6f 20 63 | 61 6c 6c 65 64 20 74 68 |s also c|alled th|
|00000d60| 65 20 5c 74 65 78 74 62 | 66 7b 66 6c 75 78 7d 20 |e \textb|f{flux} |
|00000d70| 6f 66 20 24 5c 6d 61 74 | 68 62 66 7b 46 7d 24 20 |of $\mat|hbf{F}$ |
|00000d80| 61 63 72 6f 73 73 20 24 | 53 24 2e 20 5c 0d 0a 5c |across $|S$. \..\|
|00000d90| 68 66 69 6c 6c 20 0d 0a | 5c 65 6e 64 7b 69 74 65 |hfill ..|\end{ite|
|00000da0| 6d 69 7a 65 7d 0d 0a 0d | 0a 5c 73 75 62 73 65 63 |mize}...|.\subsec|
|00000db0| 74 69 6f 6e 7b 5c 20 52 | 65 6c 61 74 65 64 20 53 |tion{\ R|elated S|
|00000dc0| 63 69 65 6e 74 69 66 69 | 63 20 4e 6f 74 65 62 6f |cientifi|c Notebo|
|00000dd0| 6f 6b 20 54 6f 70 69 63 | 73 7d 0d 0a 0d 0a 7b 5c |ok Topic|s}....{\|
|00000de0| 73 6d 61 6c 6c 20 5c 68 | 79 70 65 72 72 65 66 7b |small \h|yperref{|
|00000df0| 43 72 6f 73 73 20 70 72 | 6f 64 75 63 74 7d 7b 7d |Cross pr|oduct}{}|
|00000e00| 7b 7d 7b 2e 2e 2f 2e 2e | 2f 48 65 6c 70 2f 44 4d |{}{../..|/Help/DM|
|00000e10| 39 2d 31 2e 74 65 78 23 | 43 72 6f 73 73 20 70 72 |9-1.tex#|Cross pr|
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