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|000007a0| 65 61 73 69 65 73 74 20 | 77 61 79 20 74 6f 20 72 |easiest |way to r|
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|000007d0| 20 6f 66 20 74 68 65 20 | 73 79 6d 62 6f 6c 69 63 | of the |symbolic|
|000007e0| 0d 0a 65 78 70 72 65 73 | 73 69 6f 6e 20 0d 0a 5c |..expres|sion ..\|
|000007f0| 5b 0d 0a 5c 6c 69 6d 66 | 75 6e 63 7b 63 75 72 6c |[..\limf|unc{curl|
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|000008c0| 72 74 69 61 6c 20 7a 7d | 20 5c 5c 20 0d 0a 50 20 |rtial z}| \\ ..P |
|000008d0| 26 20 51 20 26 20 52 0d | 0a 5c 65 6e 64 7b 61 72 |& Q & R.|.\end{ar|
|000008e0| 72 61 79 7d 0d 0a 5c 72 | 69 67 68 74 7c 20 0d 0a |ray}..\r|ight| ..|
|000008f0| 5c 5d 0d 0a 48 65 72 65 | 20 77 65 20 68 61 76 65 |\]..Here| we have|
|00000900| 20 6d 61 64 65 20 75 73 | 65 20 6f 66 20 74 68 65 | made us|e of the|
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|00000920| 6f 6e 20 0d 0a 5c 5b 0d | 0a 5c 6e 61 62 6c 61 20 |on ..\[.|.\nabla |
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|00000960| 61 72 74 69 61 6c 20 7d | 7b 5c 70 61 72 74 69 61 |artial }|{\partia|
|00000970| 6c 20 79 7d 25 0d 0a 5c | 6d 61 74 68 62 66 7b 6a |l y}%..\|mathbf{j|
|00000980| 2b 7d 5c 66 72 61 63 7b | 5c 70 61 72 74 69 61 6c |+}\frac{|\partial|
|00000990| 20 7d 7b 5c 70 61 72 74 | 69 61 6c 20 7a 7d 5c 6d | }{\part|ial z}\m|
|000009a0| 61 74 68 62 66 7b 6b 7d | 5c 74 65 78 74 7b 2e 7d |athbf{k}|\text{.}|
|000009b0| 0d 0a 5c 5d 0d 0a 54 68 | 65 20 6d 61 69 6e 20 74 |..\]..Th|e main t|
|000009c0| 68 65 6f 72 65 6d 20 61 | 62 6f 75 74 20 63 75 72 |heorem a|bout cur|
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|000009f0| 65 7d 0d 0a 0d 0a 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 74 68 65 |e}....\b|egin{the|
|00000a00| 6f 72 65 6d 7d 0d 0a 4c | 65 74 20 24 5c 6d 61 74 |orem}..L|et $\mat|
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|00000a20| 74 6f 72 20 66 69 65 6c | 64 20 64 65 66 69 6e 65 |tor fiel|d define|
|00000a30| 64 20 6f 6e 20 61 6c 6c | 20 6f 66 20 74 68 72 65 |d on all| of thre|
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|00000aa0| 7d 3d 30 24 20 69 66 20 | 61 6e 64 20 6f 6e 6c 79 |}=0$ if |and only|
|00000ab0| 20 69 66 20 24 5c 6d 61 | 74 68 62 66 7b 46 7d 24 | if $\ma|thbf{F}$|
|00000ac0| 20 69 73 20 61 20 63 6f | 6e 73 65 72 76 61 74 69 | is a co|nservati|
|00000ad0| 76 65 20 76 65 63 74 6f | 72 20 66 69 65 6c 64 2e |ve vecto|r field.|
|00000ae0| 20 5c 20 49 6e 0d 0a 70 | 61 72 74 69 63 75 6c 61 | \ In..p|articula|
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|00000b10| 5c 72 69 67 68 74 29 20 | 3d 30 2e 24 0d 0a 5c 65 |\right) |=0.$..\e|
|00000b20| 6e 64 7b 74 68 65 6f 72 | 65 6d 7d 0d 0a 0d 0a 5c |nd{theor|em}....\|
|00000b30| 73 75 62 73 75 62 73 65 | 63 74 69 6f 6e 7b 44 69 |subsubse|ction{Di|
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|00000b50| 67 69 6e 7b 69 74 65 6d | 69 7a 65 7d 0d 0a 5c 69 |gin{item|ize}..\i|
|00000b60| 74 65 6d 20 20 4c 65 74 | 20 24 5c 6d 61 74 68 62 |tem  Let| $\mathb|
|00000b70| 66 7b 46 7d 3d 50 5c 6d | 61 74 68 62 66 7b 69 7d |f{F}=P\m|athbf{i}|
|00000b80| 2b 51 5c 6d 61 74 68 62 | 66 7b 6a 7d 2b 52 5c 6d |+Q\mathb|f{j}+R\m|
|00000b90| 61 74 68 62 66 7b 6b 7d | 24 20 64 65 6e 6f 74 65 |athbf{k}|$ denote|
|00000ba0| 20 61 20 76 65 63 74 6f | 72 0d 0a 66 69 65 6c 64 | a vecto|r..field|
|00000bb0| 20 66 6f 72 20 77 68 69 | 63 68 20 74 68 65 20 70 | for whi|ch the p|
|00000bc0| 61 72 74 69 61 6c 20 64 | 65 72 69 76 61 74 69 76 |artial d|erivativ|
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|00000be0| 2c 20 61 6e 64 20 24 52 | 24 20 61 6c 6c 20 65 78 |, and $R|$ all ex|
|00000bf0| 69 73 74 2e 20 5c 0d 0a | 54 68 65 20 5c 74 65 78 |ist. \..|The \tex|
|00000c00| 74 62 66 7b 64 69 76 65 | 72 67 65 6e 63 65 7d 20 |tbf{dive|rgence} |
|00000c10| 6f 66 20 24 5c 6d 61 74 | 68 62 66 7b 46 7d 24 20 |of $\mat|hbf{F}$ |
|00000c20| 69 73 20 74 68 65 20 76 | 65 63 74 6f 72 20 66 69 |is the v|ector fi|
|00000c30| 65 6c 64 20 64 65 66 69 | 6e 65 64 20 62 79 20 0d |eld defi|ned by .|
|00000c40| 0a 5c 5b 0d 0a 5c 6c 69 | 6d 66 75 6e 63 7b 64 69 |.\[..\li|mfunc{di|
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|00000c60| 62 6c 61 20 5c 63 64 6f | 74 20 5c 6d 61 74 68 62 |bla \cdo|t \mathb|
|00000c70| 66 7b 46 3d 7d 5c 66 72 | 61 63 7b 5c 70 61 72 74 |f{F=}\fr|ac{\part|
|00000c80| 69 61 6c 20 50 7d 7b 5c | 70 61 72 74 69 61 6c 20 |ial P}{\|partial |
|00000c90| 78 7d 25 0d 0a 2b 5c 66 | 72 61 63 7b 5c 70 61 72 |x}%..+\f|rac{\par|
|00000ca0| 74 69 61 6c 20 51 7d 7b | 5c 70 61 72 74 69 61 6c |tial Q}{|\partial|
|00000cb0| 20 79 7d 2b 5c 66 72 61 | 63 7b 5c 70 61 72 74 69 | y}+\fra|c{\parti|
|00000cc0| 61 6c 20 52 7d 7b 5c 70 | 61 72 74 69 61 6c 20 7a |al R}{\p|artial z|
|00000cd0| 7d 20 0d 0a 5c 5d 0d 0a | 0d 0a 54 68 65 20 6d 61 |} ..\]..|..The ma|
|00000ce0| 69 6e 20 74 68 65 6f 72 | 65 6d 20 61 62 6f 75 74 |in theor|em about|
|00000cf0| 20 64 69 76 65 72 67 65 | 6e 63 65 20 69 73 20 74 | diverge|nce is t|
|00000d00| 68 65 20 66 6f 6c 6c 6f | 77 69 6e 67 3a 0d 0a 5c |he follo|wing:..\|
|00000d10| 65 6e 64 7b 69 74 65 6d | 69 7a 65 7d 0d 0a 0d 0a |end{item|ize}....|
|00000d20| 5c 62 65 67 69 6e 7b 74 | 68 65 6f 72 65 6d 7d 0d |\begin{t|heorem}.|
|00000d30| 0a 4c 65 74 20 24 5c 6d | 61 74 68 62 66 7b 46 7d |.Let $\m|athbf{F}|
|00000d40| 24 20 62 65 20 61 20 76 | 65 63 74 6f 72 20 66 69 |$ be a v|ector fi|
|00000d50| 65 6c 64 20 64 65 66 69 | 6e 65 64 20 6f 6e 20 61 |eld defi|ned on a|
|00000d60| 6c 6c 20 6f 66 20 74 68 | 72 65 65 20 64 69 6d 65 |ll of th|ree dime|
|00000d70| 6e 73 69 6f 6e 61 6c 0d | 0a 73 70 61 63 65 2c 20 |nsional.|.space, |
|00000d80| 77 68 69 63 68 20 68 61 | 73 20 63 6f 6e 74 69 6e |which ha|s contin|
|00000d90| 75 6f 75 73 20 70 61 72 | 74 69 61 6c 20 64 65 72 |uous par|tial der|
|00000da0| 69 76 61 74 69 76 65 73 | 2e 20 54 68 65 6e 20 24 |ivatives|. Then $|
|00000db0| 5c 6c 69 6d 66 75 6e 63 | 7b 64 69 76 7d 5c 6d 61 |\limfunc|{div}\ma|
|00000dc0| 74 68 62 66 7b 46 25 0d | 0a 7d 3d 30 24 20 69 66 |thbf{F%.|.}=0$ if|
|00000dd0| 20 61 6e 64 20 6f 6e 6c | 79 20 69 66 20 24 5c 6d | and onl|y if $\m|
|00000de0| 61 74 68 62 66 7b 46 7d | 24 20 69 73 20 61 20 63 |athbf{F}|$ is a c|
|00000df0| 75 72 6c 20 6f 66 20 61 | 6e 6f 74 68 65 72 20 76 |url of a|nother v|
|00000e00| 65 63 74 6f 72 20 66 69 | 65 6c 64 20 24 5c 6d 61 |ector fi|eld $\ma|
|00000e10| 74 68 62 66 7b 47 25 0d | 0a 7d 24 20 28 63 61 6c |thbf{G%.|.}$ (cal|
|00000e20| 6c 65 64 20 74 68 65 20 | 76 65 63 74 6f 72 20 70 |led the |vector p|
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