home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Trigonometry / ProOneSoftware-Trigonometry-Win31.iso / trig / chapter4.1r < prev    next >
Text File  |  1995-04-09  |  6KB  |  195 lines
  1.  193 
  2. à 4.1ïThe Fundamental Trigonometric Identities
  3.  
  4. äïPlease show which of the following equations is an iden-
  5. êêtity.
  6. â
  7. êïShow that the equation, sin Θ = 1/csc Θ, is an identity.
  8.  
  9. êë sin Θï=ïy/rï=ï1/(r/y)ï=ï1/csc Θ
  10.  
  11. êë Thus, sin Θ = 1/csc Θ is an identity.
  12. êêê (Please see Details)
  13. éSïA trigonometric identity is an equation, involving trigonometric
  14. functions, that is true for every value of the variable that is in the
  15. domains of the particular trigonometric functions in the equation.ïFor
  16. #example, since sinìΘ + cosìΘ = 1 is a true sentence for all values of Θ,
  17. it is an identity.ïThere are eight fundamental trigonometric identi-
  18. ties.ïThey are listed below by category.
  19. êïReciprocal IdentitiesêèPythagorean Identities
  20. #êï1.ïsin Θ = 1/csc Θêë4.ïsinìΘ + cosìΘ = 1
  21. #êï2.ïcos Θ = 1/sec Θêë5.ï1 + tanìΘ = secìΘ
  22. #êï3.ïtan Θ = 1/cot Θêë6.ï1 + cotìΘ = cscìΘ
  23. êêêëRatio Identities
  24. êêêï7.ïtan Θ = sin Θ/cos Θ
  25. êêêï8.ïcot Θ = cos Θ/sin Θ
  26. è The first method we will use to prove an equation is an identity is
  27. by using the original definitions of the trigonometric ratios. They are
  28. given below.
  29. êêêè 1.ïsin Θ = y/rêï4.ïcsc Θ = r/y
  30.  
  31. êêêè 2.ïcos Θ = x/rêï5.ïsec Θ = r/x
  32.  
  33. êêêè 3.ïtan Θ = y/xêï6.ïcot Θ = x/y
  34.  
  35. @fig4101.bmp,10,160
  36. êêêê In the example, to show that sin Θ =
  37. êêêè 1/csc Θ is an identity, we can start with one
  38. êêêè side of the equation and substitute in the cor-
  39. êêêè rect ratio.
  40. êêêêêë sin Θ = y/r
  41. êêêè We can then algebraically manipulate this ratio
  42. êêêè until it equals the other side of the equation.
  43. êêêêsin Θï=ïy/rï=ï1/(r/y)ï=ï1/csc Θ
  44. êêêè At this point we have established that the
  45. êêêè equation, sin Θ = 1/csc Θ, is an identity.
  46. êêêê To show an equation is not an identity,
  47. êêêè you should substitute a value of the variable
  48. êêêè that produces a false sentence.ïThen, the
  49. êêêè equation can not be an identity.ïFor example,
  50. êêêè to show that sin Θ = 1 - cos Θ is not an
  51. identity, we could substitute 30° for Θ.ïThen sin 30° = 1/2, and
  52. #1 - cos 30° = 1 - √3/2 ƒ 1/2.ïTherefore, sin Θ = 1 - cos Θ is not an
  53. identity.ïThis technique of showing that an equation is not an identi-
  54. ty is called proof by counterexample.ïThus, in order to show that an
  55. equation is not true for all angles, you just have to find one angle
  56. where it is false.
  57.  1ïCan you show which of the following equations is an identity?
  58.  
  59. êêè1êêêè1
  60. #èA)ïcos Θ = ─────ê B)ïtan Θ = ─────ë C)ïå of ç
  61. êê csc Θêêë cot Θ
  62. ü
  63. a)ïShow that cos Θ = 1/csc Θë b)ïShow that tan Θ = 1/cot Θ is an
  64. è is not an identity.êêïidentity.
  65.  
  66. è Let Θ = 30°.ïThen, cos 30°êêë tan Θ
  67. è = √3/2, but 1/csc 30° = 2.êêè =ïy/x
  68. #è Since √3/2 ƒ 2, the equa-êêë=ï1/(x/y)
  69. è tion, cos Θ = 1/csc Θ, isêêë=ï1/cot Θ
  70. è not an identity.êêë Therefore, tan Θ = 1/cot Θ is an
  71. êêêêêëidentity.
  72. Ç B
  73.  2ïCan you show which of the following equations is an identity?
  74.  
  75.  
  76. #èA)ï1 + tanìΘ = secìΘè B)ïcscìΘ = 1 - secìΘè C)ïå of ç
  77.  
  78. ü
  79. #a)ïShow that 1 + tanìΘ = secìΘè b)ïShow that cscìΘ = 1 - secìΘ is
  80. è is an identity.êêïnot an identity.
  81.  
  82. #êè1 + tanìΘêêïLet Θ = 30°.ïThen, cscì30° = 4, but
  83. #ê=ï1 + (y/x)ìêê 1 - secì30° = 1 - (2/√3)ì = -1/3.
  84. #ê=ï1 + yì/xìêêïSince 4 ƒ -1/3, cscìΘ = 1 - secìΘ is
  85. #ê=ï(xì + yì)/xìêë not an identity.
  86. #ê=ïrì/xì
  87. #ê=ï(r/x)ì
  88. #ê=ïsecìΘ
  89. #Therefore, 1 + tanìΘ = secìΘ
  90. is an identity.
  91. Ç A
  92.  3ïCan you show which of the following equations is an identity?
  93.  
  94. êêè1
  95. #èA)ïsec Θ = ─────ë B)ïcotìΘ + tanìΘ = 1ëC)ïå of ç
  96. êê cos Θ
  97. ü
  98. #a)ïShow that sec Θ = 1/cos Θë b)ïShow that cotìΘ + tanìΘ = 1 is
  99. è is an identity.êêïnot an identity.
  100.  
  101. #êèsec Θêêë Let Θ = 45°.ïThen, cotì45° + tanì45°
  102. #ê=ïr/xêêê = 1 + 1 = 2.ïSince 2 ƒ 1, cotìΘ +
  103. #ê=ï1/(x/r)êêè tanìΘ = 1 is not an identity.
  104. ê=ï1/ cos Θ
  105. Therefore, sec Θ = 1/cos Θ
  106. is an identity.
  107. Ç A
  108.  4ïCan you show which of the following equations is an identity?
  109.  
  110. êêè1
  111. #èA)ïsec Θ = ─────ë B)ï1 + cotìΘ = secìΘè C)ïå of ç
  112. êê sin Θ
  113. ü
  114. #a)ïShow that cos Θ = 1/csc Θë b)ïShow that 1 + cotìΘ = secìΘ is an
  115. è is not an identity.êêïidentity.
  116.  
  117. #è Let Θ = 30°.ïThen, cos 30°êêë 1 + cotìΘ
  118. #è = √3/2, but 1/csc 30° = 2.êêè =ï1 + (x/y)ì
  119. #è Since √3/2 ƒ 2, the equa-êêë=ï1 + xì/yì
  120. #è tion, cos Θ = 1/csc Θ, isêêë=ï(yì + xì)/yì
  121. #è not an identity.êêêê=ïrì/yì
  122. #êêêêêêë =ï(r/y)ì
  123. #êêêêêêë =ïsecìΘ
  124. #êêêêêè Therefore, 1 + cotìΘ = secìΘ is
  125. êêêêêè an identity.
  126. Ç B
  127.  5ïCan you show which of the following equations is an identity?
  128.  
  129. êêè1
  130. #èA)ïsin Θ = ─────ë B)ïsecìΘ = 1 - cotìΘè C)ïå of ç
  131. êê cos Θ
  132. ü
  133. #a)ïShow that sin Θ = 1/cos Θë b)ïShow that secìΘ = 1 - cotìΘ is
  134. is not an identity.êêïnot an identity.
  135.  
  136. #Let Θ = 30°.ïThen, sin 30°ê Let Θ = 45°.ïThen, secì45° = 2, but
  137. #= 1/2, but 1/cos 30° = 2/√3.ê1 - cotì45° = 0.ïSince 2 ƒ 0, secìΘ
  138. #Since 1/2 ƒ 2/√3, sin Θ =êè= 1 - cotìΘ is not an identity.
  139. 1/ cos Θ is not an identi-
  140. ty.
  141. Ç C
  142.  6ïCan you show which of the following equations is an identity?
  143.  
  144. êêè1
  145. #èA)ïcsc Θ = ─────ë B)ïtan Θ - 1 = sec Θè C)ïå of ç
  146. êê sin Θ
  147. ü
  148. a)ïShow that csc Θ = 1/sin Θë b)ïShow that tan Θ - 1 = sec Θ is
  149. è is an identity.êêïnot an identity.
  150.  
  151. êècsc Θêêë Let Θ = 45°.ïThen, tan 45° - 1 = 0,
  152. #ê=ïr/yêêê but sec 45° = √2.ïSince 0 ƒ √2,
  153. ê=ï1/(y/r)êêè tan Θ - 1 = sec Θ is not an identity.
  154. ê=ï1/ sin Θ
  155. Therefore, csc Θ = 1/sin Θ
  156. is an identity.
  157. Ç A
  158.  7ïCan you show which of the following equations is an identity?
  159.  
  160. êêè1
  161. #èA)ïcot Θ = ─────ë B)ïsinìΘ + cosìΘ = 1ëC)ïå of ç
  162. êê csc Θ
  163. ü
  164. #a)ïShow that cot Θ = 1/csc Θë b)ïShow that sinìΘ + cosìΘ = 1 is an
  165. è is not an identity.êêïidentity.
  166.  
  167. #è Let Θ = 30°.ïThen, cot 30°êêë sinìΘ + cosìΘ
  168. #è = √3/1, but 1/csc 30° = 2.êêè =ï(y/r)ì + (x/r)ì
  169. #è Since √3/1 ƒ 2, the equa-êêë=ïyì/rì + xì/rì
  170. #è tion, cot Θ = 1/csc Θ, isêêë=ï(yì + xì)/rì
  171. #è not an identity.êêêê=ïrì/rì
  172. êêêêêêë =ï1
  173. #êêêêêè Therefore, sinìΘ + cosìΘ = 1 is
  174. êêêêêè an identity.
  175. Ç B
  176.  8ïCan you show which of the following equations is an identity?
  177.  
  178. êê cos Θêêë sin Θ
  179. #èA)ïsin Θ = ─────ê B)ïtan Θ = ─────ë C)ïå of ç
  180. êê sec Θêêë cos Θ
  181. ü
  182. a)ïShow that sin Θ = cosΘ/secΘè b)ïShow that tan Θ = sin Θ/cos Θ is
  183. è is not an identity.êêïan identity.
  184.  
  185. è Let Θ = 30°.ïThen, sin 30°êêë tan Θ
  186. è = 1/2, but cos 30°/sec 30° =êêï=ïy/x
  187. #è 3/4.ïSince 1/2 ƒ 3/4, the equa-êë=ï(y/r)/(x/r)
  188. è tion, sin Θ = cos Θ/sec Θ isêêï=ïsin Θ/cos Θ
  189. è not an identity.
  190. êêêêêè Therefore, tan Θ = sin Θ/cos Θ is
  191. êêêêêè an identity.
  192. Ç B
  193.  
  194.  
  195.