home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ The Hacker's Encyclopedia 1998 / hackers_encyclopedia.iso / etc / scams / wager.txt < prev    next >
Encoding:
Text File  |  2003-06-11  |  8.6 KB  |  224 lines
  1.  
  2.                          Optimal Wagering
  3.                      Copyright 1991, Michael Hall
  4.                Permission to repost, print for own use.
  5.  
  6. I think I've got some good discoveries here... even if you don't
  7. follow the math, you can get some useful blackjack information here.
  8.  
  9. The question of optimal wagering has been brewing on rec.gambling
  10. for a while.  I rephrase this question as the following:
  11.  
  12. * What's the optimal win per hand as a portion of bankroll and
  13.   what is the betting pattern necessary for this?
  14.  
  15. That is, we want to maximize E/a' where E is the win per hand
  16. and a' is the required bankroll.
  17.  
  18. E is simply defined by:
  19.  
  20. E=sum{WiPiEi}
  21.  
  22. where i is the situation
  23.      Wi is the wager for that situation
  24.      Pi is the probability of that situation
  25.      Ei is the expected value of that situation
  26.  
  27. I defined a' in previous articles.  Unfortunately, I made a
  28. slight error, in that I left out a couple of sqrt's.  I
  29. hope the following is correct...
  30.  
  31.          log((1/R) - 1)
  32. a'= ----------------------------(sqrt(s^2 + E^2))
  33.         /sqrt(s^2 + E^2) + E\
  34.     log| ------------------- |
  35.         \sqrt(s^2 + E^2) - E/
  36.  
  37. where R is the risk of ruin
  38.       E is the win per hand
  39.       s^2 is the variance of E
  40.       a' is the necessary units of blackjack bankroll
  41.  
  42. [Incidentally, the Kelly criterion leads to a bankroll formula
  43.  proportional to the one above, and so Kelly betting produces the
  44.  same optimal wagering schemes as the ones shown below.]
  45.  
  46. I tried to maximize E/a' by taking the derivatives wrt Wi and setting
  47. them to 0.  That got really ugly.  Then I tried to maximize E or minimize
  48. R using various formulations of Lagrange multipliers.  That got really ugly 
  49. too.  I did come up with the partial derivatives, which are ugly themselves,
  50. but solving for the Wi's is where it gets *really* ugly.
  51.  
  52. So I gave up and just wrote a program to evaluate the function given
  53. Wi's as input, and then I wrote a program to do a simple hill-climbing
  54. on this function in the space of integers between 1 and some maximum
  55. bet like 4 or 8.  My intuition is that hill-climbing should converge to
  56. the global maximum and not a local maximum of this function, but I don't
  57. have any proof of this.  BTW: my program does adjust for the basic
  58. variance of blackjack, increasing the effective bet size by 1.1 and other
  59. such things.
  60.  
  61. For a downtown Vegas single deck 75% penetration (Snyder's tables in
  62. "Fundamentals of Blackjack" by Chambliss and Rogenski), here is the
  63. optimal betting patterns I found for spreads of 1-2, 1-4 and 1-8:
  64.  
  65.      SINGLE DECK
  66.     DOWNTOWN VEGAS
  67.  
  68.                     1-2   1-4   1-8 
  69.   ADV  FREQ  HI-LO  BET   BET   BET
  70.    Ei   Pi          Wi    Wi    Wi
  71. -.026  .065   -5     1     1     1
  72. -.021  .030   -4     1     1     1
  73. -.016  .055   -3     1     1     1
  74. -.011  .070   -2     1     1     1
  75. -.006  .100   -1     1     1     1
  76. -.001  .200    0     1     1     1
  77. +.004  .095   +1     1     1     1
  78. +.009  .075   +2     1     1     2
  79. +.014  .050   +3     2     2     3
  80. +.019  .045   +4     2     3     5
  81. +.024  .040   +5     2     4     6
  82. +.029  .035   +6     2     4     7
  83. +.034  .030   +7     2     4     8
  84. +.039  .030   +8     2     4     8
  85. +.044  .080   +9     2     4     8
  86.  
  87. The Hi-Lo column shows the approximate High-Low (or Hi-Opt I) count for
  88. each advantage, though you should adjust for the extra advantage from
  89. strategy deeper into the deck.  Note that the bet should not be raised
  90. until a true count of 3, unless you are using a very wide spread. 
  91. You might fool a few pit critters by your low bet at a true count of 2.
  92. (Or at least you won't get nailed when you increase your bet at a true
  93. count of 2, like I did once.)  For the 1-2 and 1-4 spreads, the betting
  94. pattern is easy to remember - true count minus 1 (minimum of 1, maximum
  95. of 2 or 4.) [More exact results using simulations for the input data
  96. showed that the optimal spread for Hi-Lo here is actually to bet equal
  97. to the true count.]
  98.  
  99. Here's the same stuff, but for 2 decks:
  100.  
  101.      DOUBLE DECK
  102.   (BSE of -0.2% assumed)
  103.  
  104.                     1-4   1-8   1-16
  105.   ADV  FREQ  HI-LO  BET   BET   BET
  106.    Ei   Pi          Wi    Wi    Wi
  107. -.027  .060   -5     1     1     1
  108. -.022  .040   -4     1     1     1
  109. -.017  .060   -3     1     1     1
  110. -.012  .080   -2     1     1     1
  111. -.007  .110   -1     1     1     1
  112. -.002  .200    0     1     1     1
  113. +.003  .110   +1     1     1     2
  114. +.008  .085   +2     3     3     5
  115. +.013  .055   +3     4     5     8
  116. +.018  .045   +4     4     7    11
  117. +.023  .040   +5     4     8    14
  118. +.028  .030   +6     4     8    16
  119. +.033  .025   +7     4     8    16
  120. +.038  .020   +8     4     8    16
  121. +.043  .040   +9     4     8    16
  122.  
  123.  
  124.  
  125. Here's the same stuff, but for 8 decks:
  126.  
  127.       EIGHT DECKS
  128. (NEGATIVE COUNTS PLAYED)
  129.                     1-8   1-16   1-32
  130.   ADV  FREQ  HI-LO  BET   BET    BET
  131.    Ei   Pi          Wi    Wi     Wi
  132. -.030  .010   -5     1     1      1
  133. -.025  .010   -4     1     1      1
  134. -.020  .020   -3     1     1      1
  135. -.015  .060   -2     1     1      1
  136. -.010  .130   -1     1     1      1
  137. -.005  .510    0     1     1      1
  138.  .000  .130   +1     1     1      1
  139. +.005  .060   +2     8     8     10
  140. +.010  .030   +3     8    15     20
  141. +.015  .015   +4     8    16     30
  142. +.020  .010   +5     8    16     32
  143. +.025  .010   +6     8    16     32
  144. +.030  .005   +7     8    16     32
  145.  
  146.  
  147.       EIGHT DECKS
  148. (NEGATIVE COUNTS NOT PLAYED)
  149.                     0-8   0-16   0-32
  150.   ADV  FREQ  HI-LO  BET   BET    BET
  151.    Ei   Pi          Wi    Wi     Wi
  152. -.030  .010   -5     0     0      0
  153. -.025  .010   -4     0     0      0
  154. -.020  .020   -3     0     0      0
  155. -.015  .060   -2     0     0      0
  156. -.010  .130   -1     0     0      0
  157. -.005  .510    0     1     1      1
  158.  .000  .130   +1     1     1      1
  159. +.005  .060   +2     4     5      8
  160. +.010  .030   +3     8    10     16
  161. +.015  .015   +4     8    15     24
  162. +.020  .010   +5     8    16     31
  163. +.025  .010   +6     8    16     32
  164. +.030  .005   +7     8    16     32
  165.  
  166. What follows are statistics on all these different optimal spreads.
  167. The bankroll requirements assume we want to have a 20% chance of
  168. losing *half* the bankroll before winning *half* the bankroll.
  169. One you lose half the bankroll, I'd advise cutting the bet size
  170. in half.  (Note that the desired risk of ruin has absolutely no effect
  171. on the optimal betting pattern - it just changes the bankroll
  172. by a constant amount.)
  173.  
  174.                                        UNIT^2    UNITS
  175.               % BANK GAIN  UNIT GAIN  VARIANCE  REQUIRED
  176.                PER HAND     PER HAND  PER HAND  BANKROLL
  177.  DECKS SPREAD|  E/(2a')        E        s^2       2*a'   
  178. -------------*--------------------------------------------
  179. 1-Deck FLAT  |.001420%      .0050?      1.27      352
  180. 1-Deck 1-2   |.008027%      .0165       2.47      206
  181. 1-Deck 1-4   |.014170%      .0348       6.16      245
  182. 1-Deck 1-8   |.018132%      .0695      19.19      383
  183. 2-Deck 1-4   |.002765%      .0170       7.55      615
  184. 2-Deck 1-8   |.006787%      .0433      19.92      638
  185. 2-Deck 1-16  |.009916%      .0946      65.16      955
  186. 8-Deck 1-8   |.000251%      .0064      11.77     2550
  187. 8-Deck 1-16  |.000673%      .0162      28.00     2401
  188. 8-Deck 1-32  |.001033%      .0328      75.24     3177
  189. 8-Deck 0-8   |.000675%      .0086       7.82     1263
  190. 8-Deck 0-16  |.001047%      .0169      19.33     1600
  191. 8-Deck 0-32  |.001288%      .0326      59.57     2532
  192.  
  193.  
  194. Some things to conclude, given the above table:
  195.  
  196.   * A 1-2 spread on a single deck is more than 6 times more profitable
  197.     than a 0-32 spread on 8 decks!  Even flat betting a single deck
  198.     is probably better. 8 decks stink!
  199.  
  200.   * It takes a 1-16 spread on double decks to beat a 1-2 spread on single
  201.     decks!  (Can this be true?)
  202.  
  203.   * A 1-8 spread buys you 29% more income over a 1-4 spread on
  204.     a single deck, but you'll probably lose more than that from
  205.     the extra countermeasures.
  206.  
  207.   * Given a $6,125 bankroll, you could spread $25-$100 on a single
  208.     deck, making $86.8/hour (.014170%*6125*100).  This is probably
  209.     overly optimistic, since it rare that you can freely spread
  210.     1-4 on a 75% penetration downtown Vegas game.
  211.  
  212.   * You need about a 1-32 spread on 8 decks before you can get away
  213.     with playing through negative counts.  A 1-8 spread gets killed
  214.     sitting through negative counts, as the high bankroll requirement
  215.     shows.
  216.  
  217. One thing that might be fun is playing around with the above
  218. betting spreads.  They are optimal, but how weird can you get
  219. without sacrificing much of the E/a'?
  220.  
  221. I'd like to acknowledge Blair for getting me to think in terms of
  222. percent bankroll win.
  223.  
  224.