Computer Club Elmshorn Atari PD/CCE_PD.iso/pc/0600/CCE_0660.ZIP/CCE_0660/FRACTALS.II/FRACTEXT.LST

File List | 1990-08-20 | 24KB | 437 lines

                      *** Eine kleine Einführung ***

Die 'fraktale' Geometrie ist ein jüngerer Zweig der Mathematik, der we-
gen seines großen Rechenaufwandes erst in heutiger Zeit mit leistungs-
fähigen Computern verwirklicht werden konnte. Mit der Grundfigur, dem
sogenannten 'Urapfelmännchen', entdeckte der Wissenschaftler B. Mandel-
brot den Einstieg in eine faszinierende Welt der Computergrafik. Ver-
größerungen aus dem Randbereich der Grundfigur lassen immer feinere
Strukturen erkennen, von denen nicht nur eine eigenartige Faszination
ausgeht, sondern auch Wissenschaftler schon zu vielen Spekulationen über
Aufbau und Ordnung in der Natur veranlaßt haben. So erinnern fraktale
Strukturen oftmals an eine Küstenlandschaft oder an meteorologische
Sattelitenbilder. Ordnung und Chaos scheinen in immer wieder neuen
Variationen eine merkwürdige Wechselbeziehung einzugehen, deren Gesetz-
mäßigkeiten auch heute noch nicht ganz erforscht worden sind.
Mittlerweile gibt es eine Vielzahl an Veröffentlichungen und Literatur,
auf die wir den interessierten Leser verweisen möchten. Sinn und Ziel
unseres Programmes ist es daher, die Schönheit fraktaler Landschaften
mit einem leistungsfähigen Rechner auszuloten. Zwar eignet sich unser
Programm nicht zur Iteration farbiger Bilder - wir kennen jedoch kein
Programm, mit dem so umfangreiche Bildbearbeitungen möglich sind, so
daß auch schwarzweiße Bilder respektabel aussehen! In dieser Version
haben wir neben vielen anderen Verbesserungen die mathematischen Rou-
tinen ausgebaut. Damit läßt sich noch eimal beträchtlich in die Tiefe
vorstoßen um neue, faszinierende 'Landschaften' zu entdecken. Die Be-
schleunigung der Berechnung ist nicht immer erwünscht; und in den in-
zwischen bekannten 'Sekunden'-Programmen wird als Folgeerscheinung in
der Regel ein Verlust an Genauigkeit in Kauf genommen!
Inzwischen wurde jedoch von Michael Kofler in der 'mc'-Zeitschrift eine
leistungsfähige Bildinterpolation vorgestellt, die wir (als Option) in
unser Programm integriert haben. Bei einer sehr geringen Fehlerrate
- unter 1% - kann die Iterationsgeschwindigkeit mehr als verdoppelt
werden.

Grundlagen:
Kernstück eines 'Fractals' ist die komplexe Zahlenebene, in dem die X-
Koordinate des Bildschirms dem Realteil, entsprechend die Y-Koordinate
dem Imaginärteil entspricht. Dividiert man nun Bildschirmbreite bzw.
Bildschirmhöhe durch den gesuchten Wertebereich X-min bis X-max (ent-
sprechend Y-min bis Ymax), so erhält man für jeden Bildpunkt einen
definierten Real- bzw. Imaginärwert.
Beide Werte gehen nunmehr in einen Iterationsprozeß ein, der verein-
facht als folgende Funktion beschrieben werden kann:    F(Z)=(Z*Z)+C
Diese Formel wird solange aufgerufen bis ihr Betrag, auch als 'Radius'
bezeichnet einen bestimmten Grenzwert überschreitet. Gleichzeitig wird
ein Iterationszähler ('Tiefe') bei jedem Durchlauf um eins erhöht.
Wird nun der Betrag der Funktion auch nach 'n'-Durchläufen nicht größer
als der 'Radius', so wird der Iterationsprozeß abgebrochen, wenn
'Tiefe = Tiefemax' ist. 'Tiefemax' muß vor dem Funktionsaufruf fest-
gelegt worden sein. Wird dieser Wert erreicht, so spricht man von der
eigentlichen Mandelbrotmenge deren Grundfigur das 'Apfelmännchen', be-
nannt nach seinem Aussehen, ist. Wird der Iterationsprozeß vorher ab-
gebrochen, so wird dem entsprechendem Bildschirmpunkt der Iterations-
zähler 'Tiefe' zugeordnet und in einem Feld mit dessen X,Y-Koordinaten
abgespeichert. Diesem Tiefenwert wird eine Farbe zugeordnet; in un-
serm Fall schwarz für einen ungeraden und weiß für einen geraden
Tiefenwert.
Während bei der Mandelbrotmenge Real- und Imaginärwert abhängig vom je-
weiligen Bildpunkt sind, wird bei der Juliamenge mit einem konstanten
Real- bzw. Imaginärwert gearbeitet, der vorher festgelegt werden muß.
Folglich hat jeder Punkt der komplexen Zahlenebene eine eigene Julia-
menge. Daher gibt es auch keine Julia-'Grundfigur'.


                      *** Bild - Iteration ***

Mit diesem Programm können sowohl die Mandelbrotmenge, das sogenannte
'Apfelmännchen', als auch die 'Julia-Menge' schwarzweiß mit Hilfe sehr
schneller Maschinensprache-Routinen dargestellt werden.
Bis an die Grenze der Rechengenauigkeit (max. ca. 15 Nachkommastellen)
können Fractale beliebig vergrößert werden. Hierbei benutzt das Pro-
gramm jeweils die für die Vergrößerung optimale Rechengenauigkeit, wo-
bei 16-, 32-, 48- und 64Bit - Festkommaroutinen benutzt werden. Die
automatische Anpassung läßt sich auch abschalten, wobei zu beachten
ist, daß die jeweilige Rechengenauigkeit nicht überschritten werden
sollte:
         a)  16-Bit:  2 Nachkommastellen (Grundfigur und erste Vergr.)
         b)  32-Bit:  5 Nachkommastellen
         c)  48-Bit: 10 Nachkommastellen
         d)  64-Bit: 15 Nachkommastellen

 NEU: e) optionaler 32-Bit-Turbo-Modus als sehr schnelle Alternative
         mit fest eingestelltem Radius '8'. Diese 32-Bit-Option kann
         nur manuell eingestellt werden und erreicht nicht ganz die
         Genauigkeit ihres Originals, dafür aber einen kräftigen Ge-
         schwindigkeitszuwachs! Versuchen Sie damit einmal Vergrößer-
         ungen im 'Antennenbereich' des Apfelmännchens. Besonders im
         Zusammenhang mit der einstellbaren Druckerausgabe (s. "Super-
         format") lohnt sich dieser Modus!

Intern ist die Genauigkeit noch um etwa 2 Stellen größer, damit die Ko-
ordinaten zweier benachbarter Pixel noch unterschieden werden können.
Während jede Mandelbrotmenge eine Vergrößerung der Grundfigur ist,
existieren bei der Juliamenge durch die Faktoren Cx und Cy unendlich
viele Varianten, aus denen jeweils gezoomt werden kann.

Für die Iteration eines Bildes wird neben den Bildausschnittskoordina-
ten X-min, X-max (reelle Achse) und Y-min, Y-max (imaginäre Achse)
die Iterationstiefe, also die maximale Anzahl von Iterationen pro Bild-
punkt benötigt. Dieser Wert beträgt maximal 4095, wobei bei zunehmender
Vergrößerung dieser Wert hochgesetzt werden muß. Daher dauert die Be-
rechnung eines stark vergrößerten Bildes auch entsprechend länger.

Das zweite Abbruchkriterium für die Iteration ist der 'Radius', der
angibt, daß bei Überschreitung eines kritischen Werts die Iteration
abgebrochen werden soll. Dieser Wert ist im Mandelbrot-Modus fest auf
4 eingestellt, wogegen er für die Julia-Iteration zwischen 4 und 10
variiert werden kann. Dadurch läßt sich ein 'kosmetischer' Effekt
erzielen, der mit zunehmender Vergrößerung des Radiuswertes das Bild
im Randbereich insgesamt etwas ausgeglichener erscheinen läßt. Alter-
nativ läßt sich hier für die Mandelbrotmenge der "32-Bit-Turbo-Modus"
einstellen. Durch seinen vergrößerten Radiuswert auf 8 sollte er aber
als eigenständige Option aufgefaßt werden (s. auch weiter oben).

Die Julia-Konstanten 'Cx' und 'Cy' können direkt mit der 'Zeige Bild-
koordinaten' - Funktion aus einer Mandelbrotmenge übernommen werden,
wenn diese mit  >Return<  verlassen wird. Anschließend können diese
Werte unter 'Diskrete Eingabe - Juliamenge' verwendet werden.
Um einen Überblick über die jeweilige Juliamenge zu erhalten, sollten
die Bildausschnittskoordinaten zunächst mit etwa ±2 eingestellt werden.
Beim 'Zoomen' einer Juliamenge beiben Cx und Cy unverändert, werden
also nicht neu definiert.

Die Julia-Iteration ist auf ein 32Bit - Zahlenformat beschränkt, daher
läßt sich der Iterationsmodus hier nicht verändern. Daraus folgt, daß
Cx, Cy - Werte nur aus Mandelbrotmengen übernommen werden sollten,
wenn diese sich ihrerseits innerhalb der Auflösung des 32Bit-Zahlen-
bereichs bewegen!

Nach Eingabe der notwendigen Daten kann die Bilditeration direkt akti-
viert werden. Diese läßt sich der Escape-Taste nach jeder Zeile abbre-
chen und später fortsetzen -  vorausgesetzt, die bisher berechneten
Tiefenwerte sind noch vorhanden! Diese müssen also eventuell abgespei-
chert werden. Näheres zu den Tiefenwerten siehe unter Bildbearbeitung.
Alternativ kann mit dem alten Bild weitergearbeitet werden, wenn statt
'Iteration' der 'Abbruch'-Button gedrückt wird.

Noch eine Bemerkung, falls Ausschnittsparameter aus anderen Programmen
übernommen werden sollen. Viele Programme halten leider die mathemati-
sche Konvention nicht ein, daß die Abszisse (x-Achse) mit zunehmenden
Werten nach rechts, die Ordinate (y_Achse) nach oben zeigt. Dies merkt
man daran, daß z.B. die Grundfigur mit ihrer 'Antenne' nach rechts weist
- die Abszisse zeigt nach links ! - oder Bildausschnitte wie gespiegelt
aussehen - die Ordinate weist nach unten ! In diesem Fall sollte man
die Vorzeichen der Parameter ändern und das fehlerhafte Programm schleu-
nigst vergessen !


                    *** Bild - Interpolation ***

Bei aktivierter Bildinterpolation braucht nicht mehr jedes Pixel durch
die zeitaufwendige Iteration berechnet zu werden. Vielmehr wird von be-
nachbarten Punkten auf den Tiefenwert dazwischenliegender Punkte ge-
schlossen. Dies funktioniert etwa wie folgt:
- Die erste Zeile wird normal iteriert.
- Von der 3. Zeile wird jeder zweite Punkt iteriert.
- Die zwischenliegenden Punkte werden interpoliert: haben die benach-
  barten Punkte den gleichen Tiefenwert, so erhält auch der zu inter-
  polierende Punkt diesen Wert - sind sie verschieden, so muß auch der
  Tiefenwert dieses Punktes neu iteriert werden.
- Genauso werden die Punkte der zweiten Zeile interpoliert, indem die
  darüber- und darunterliegenden Tiefenwerte der ersten und dritten
  Zeile miteinander verglichen werden.
- Jetzt kann mit der 5. Zeile (wie bei der 3.) fortgefahren werden.

Je nach Komplexität des Bildes wird die Iteration durch die Interpo-
lation etwa um den Faktor 2 beschleunigt. Für die vordefinierte Grund-
figur sinkt die Rechendauer im 16-Bit-Modus z.B. von 87 auf 34 Sekunden.
Durch die Interpolation entstehen natürlich Fehler, die aber im allge-
meinen vernachlässigbar sind (Lagefehler unter 1%).

Die Iteration mit eingeschalteter Interpolation kann bei >ESC< natürlich
erst abgebrochen werden, wenn alle zwischenliegenden Punkte berechnet
worden sind.


                      *** Bild - Bearbeitung ***

Bei starker Vergrößerung ist in vielen Fractalen von der eigentlichen
Struktur oft nicht viel zu erkennen ('Gewusel !'). Werden Tiefenwerte
jedoch geschickt zusammengefaßt, so lassen sich die eigenartigen
Strukturen der Mandelbrotmenge wie 'Seepferdchen' oder Spiralen oft
viel besser erkennen. Hierzu dient das Menü 'Farbeinstellung'.
Zur Bedienung der einzelnen Menüpunkte werden diese mit der Maus ange-
klickt (oder mit der Tastatur gewählt).

- Nach Eingabe eines zu löschenden und/oder zu setzenden Tiefenwert-
  bereichs wird das Bild entprechend der Tiefenwert-Datei neu darge-
  stellt.Im Ausgangszustand nach der Iteration ist jeder ungerade Tie-
  fenwert gesetzt, jeder gerade Wert (außer der maximalen Tiefe) ge-
  löscht (Tasten: <l> [löschen] und <s> [setzen]).

- Mit 'Einzelwerte' wird zu jedem Bildpunkt der zugehörige Tiefenwert
  bestimmt (Taste <e>).

- Durch 'Zeige Einstellung' erhält man einen Überblick über die bisher
  vorgenommenen Veränderungen (Taste <a>).

- Mit 'Speichern' wird das Bild in den Bildspeicher 0 übernommen (Taste
  <f>); mit 'Zurück' wird das Menü verlassen (Taste <Esc>).

- Der 'Undo'-Button (bzw. Taste) macht die letzte Änderung rückgängig.

- Die Tiefenwerteinstellung kann global verändert werden, wenn von einem
  bereits bearbeiteten Bild die 'Farbtabelle' geladen wird. Das aktuelle
  Bild wird dann mit 'Zeichnen' anhand dieser Tabelle neu gezeichnet.
  Somit ist es also überflüssig, bei jeden neuen Bildausschnitt die not-
  wendige Farbzuordnung jedesmal neu vorzunehmen (Taste <l>).

Ist das Bild breiter als 500 Pixel, so wird vor dem Zeichnen die Ein-
stellbox vom Bildschirm entfernt. Wenn die 'Biene' als Maussymbol er-
scheint, wartet das Programm auf einen Maustastendruck (bzw. auf Betäti-
gung der Leertaste), um das Einstellmenü neu einzublenden.


                        *** 'Superformat' ***

Mit dieser neuen (etwas unbescheiden bezeichneten) Option kann die vom
Bildschirm vorgegebene Auflösungsgrenze wesentlich erhöht werden.
Hierzu wird das Bild in Streifen von jeweils 16 Zeilen berechnet und
in der für 9-Nadel-Drucker größtmöglichen Auflösung von 240 Pixel/Zoll
in 2 Streifen ausgedruckt. Damit ist eine Bildbreite von maximal 1920
Pixeln auf einem 9-Nadel-Drucker im Format DIN A4-quer möglich.

Bei 24 Nadlern werden lediglich 180 Pixel/Zoll verwendet, was - der viel
kleineren Nadeln wegen - dennoch ein besseres Bild ergibt. Bei dieser
Auflösung sind Bilder im Format DIN A4 quer maximal 1440 Punkte breit.

Nur für 8/9-Nadel-Drucker:
Leider entspricht die horizontale Auflösung nicht der vertikalen; ein
Bild mit der Größe 1000 * 1000 Pixel wird daher verzerrt ausgedruckt.
Um dies auszugleichen, muß (auf meinem Drucker) die Bildbreite 1,588 mal
so groß sein wie die Bildhöhe. Bei einem quadratischen Ausschnitt be-
trägt also die Bildhöhe z.B. 1920/1.588 = 1209 Zeilen. Ist der gezoomte
Bildausschnitt nicht quadratisch, so muß das eingestellt Breiten-/Höhen-
verhältnis ebenfalls berücksichtigt werden. Beträgt dieser Wert etwa
1 : 1.4, so verringert sich die Bildhöhe auf z.B. 1920/(1.588 * 1.4) =
864 Zeilen. Das Programm berechnet diese Größen (als Vorschlag) auf
der Basis maximaler Bildbreite. Bei einer geringeren Bildbreite muß die
Bildhöhe selbst ausgerechnet werden. Dies gewährleistet absolut ver-
zerrungsfreie Bilder.

Wahlweise können (statt der direkten Ausgabe auf den Drucker) die Druck-
daten in ein Drucker-File umgeleitet werden. Der Name dieser Druckdatei
ist mit "DRUCKER.PRN" fest voreingestellt. Für die Ausgabe wird der ak-
tive Pfad verwendet. Da diese Datei sämtliche Steuercodes enthält, läßt
sie sich problemlos z.B. mit "Datei drucken" auf dem Desktop ausgegeben!
Diese Option ist empfehlenswert, wenn der Rechner über Nacht laufen soll
(und der Drucker stören würde) oder mehrere Kopien benötigt werden.

Da bei der Iteration im Superformat eine nachträgliche Bildbearbeitung
nicht möglich ist, wird beim Ausdruck die jeweils letzte (oder eine
nachzuladene Farbeinstell-Tabelle) berücksichtigt. Es empfiehlt sich
also, von einem auszudruckenden Ausschnitt im Superformat zunächst ein
verkleinertes Abbild auf dem Bildschirm zu iterieren und nachzubearbei-
ten. Der maximale Tiefenwert sollte dann nicht mehr verändert werden,
da oberhalb der eingestellten Werte keine Pixel gesetzt werden.
Bei Beachtung dieser Vorgaben werden Sie fantastische Bilder erhalten,
deren Berechnung (der erhöhten Auflösung wegen) jedoch ziemlich lange
dauern kann. Die Interpolation daher immer eingeschaltet lassen!


                      *** Druck - Routinen ***

Dieses Programm arbeitet mit den meisten Druckern zusammen. Unter dem
Menü "Hilfen" kann zwischen IBM/Epson kompatiblen 9-Nadel-Druckern und
NEC P6 kompatiblen 24-Nadlern umgeschalten werden.

-  Die Hardcopy-Routine druckt das Bild unverzerrt im Maßstab 1:1 mit
   seiner Umrandung aus. Eine evt. Anpassung an andere 9-Nadler düfte
   unproblematisch sein. Einige Angaben zum Drucker-Code:

   Druckmodus 80 Pt/Zoll ................... Chr$(27);'*';Chr$(4)
   Zeilenvorschub von n/216 Zoll ........... Chr$(27);'J';Chr$(n)
   Carriage Return (ohne Zeilenvorschub) ... Out 0,13

   Eine Hardcopy-Routine für 24-Nadler ist (noch) nicht integriert.

-  Bei vorhandenen Tiefenwerten läßt sich ein Bild auch in mehreren
   Graustufen ausdrucken. Bei 9-Nadlern wird die größtmögliche Auf-
   lösung von 240 Pixeln pro Zoll gewählt. Dabei werden 5 Graustufen,
   S/W und 3 Zwischentöne, unter Verwendung einer 3*2-Matrix produziert.
   Bei 24-Nadlern wird eine Auflösung von 180 Pixeln pro Zoll verwen-
   det (2*2-Matrix).
   Druckmodus 240 Pt/Zoll .................. Chr$(27);'*';Chr$(3)

   Bei 24-Nadlern bewirk 'ESC J' einen Zeilenvorschub von n/180 Zoll.
   Druckmodus 180 Pt/Zoll .................. Chr$(27);'*';Chr$(39)

-  Im Superformat wird ebenfalls diese Auflösung verwendet.


                      *** Datei - Operationen ***

1.Das Programm ermittelt bei Programmstart den aktuellen Pfad, aus dem
  es gestartet wurde. Die Hilfstexte-Datei muß sich in diesem Ordner
  befinden. Zum Laden z.B. einer Bilddatei kann jeder beliebige Ordner
  eingestellt werden. Auf diesen Pfad greift das Programm dann zu, wenn
  es z.B. die Tiefenwerte des Bildes nachladen soll. Zum Laden einer
  Bilderserie wird ebenfalls auf den gerade aktiven Ordner zugegriffen.

2.Nur beim Abspeichern auf Disketten wird deren Speicherplatz geprüft.
  Der Grund ist, daß die 'Disk-Free' - Funktion des alten Betriebs-
  systems sehr langsam arbeitet. Das kann evt. Probleme mit einer RAM-
  disk geben, falls diese beim Abspeichern 'überläuft' !

3.Es werden folgende Dateitypen verwendet:
  - '*.FRC'-Dateien sind Bilder; Backup-Dateien als 'FRA'.
  - Tiefenwertdateien haben die Extension 'TW'.
  - Farbtabellen enden mit 'TAB'.
  Andere Endungen akzeptiert das Programm nicht!
  Die Extension muß beim Abspeichern nicht mit eingegeben werden.

  Mit dem beiliegendem "FRC_PIC.PRG" können abgespeicherte Bilddateien
  jedoch in das gängige Screenformat '*.PIC' gewandelt werden und sind
  damit anderen Programmen zugänglich!

4.Fractals-Dateien bestehen neben der Grafik aus einem 180 Byte großen
  Parameterblock, der u.A. die Informationen enthält, die man mit
  'Bild-Info' abrufen kann. Andere Bildformate lassen sich nicht laden!
  Bilder und Tiefenwert-Dateien aus älteren 'Fractals'-Versionen sind
  nicht mehr kompatibel, was leider nicht zu umgehen war !

5.In der Tiefenwert-Datei werden die iterierten Tiefenwerte komprimiert
  abgespeichert. Wie bei jeder Datenkompression ist ihre Effektivität
  von der Komplexität der Daten abhängig. Diese werden zwischen 50-90%
  ihrer Ursprungsgröße komprimiert. TW-Dateien können trotz Kompression
  auf über 300 kByte anwachsen. Daher kann es vorkommen, daß eine Datei
  überzulaufen droht, wenn sie zu klein dimensioniert wurde. In diesem
  Fall wird die Iteration mit einer entsprechenden Warnmeldung abgebro-
  chen und kann nur fortgesetzt werden, wenn die Daten abgespeichert,
  und der TW-Speicher unter 'Speicher-Info' vergrößert wird. Eventuell
  müssen dann Bildspeicher gelöscht werden.
  In der abgespeicherten Tiefenwert-Datei werden außerdem die Daten des
  Verteilungsdiagramms und die gesetzten und gelöschten Tiefenwerte im
  Farbeinstellmenü gesichert. Diese ist also um einige kByte größer als
  die im RAM befindliche Tiefenwert-Datei.


                          *** Verschiedenes ***

 1.Mit 'Bild-Info' werden die Bilddaten eines vorhandenen Bildes ange-
   zeigt. Mit >P< lassen sich diese Daten in kleiner Schrift auch auf
   den Drucker ausgeben.Dabei wird neben dem Bildnamen, falls vorhanden,
   auch das aktuelle Datum ausgedruckt. Mit >N< kann der Bildname geän-
   dert werden.

 2.Es können, sofern der Speicherplatz ausreicht, 12 Bilder mit ihren
   Daten ins RAM geladen werden. Der 'Bildspeicher 0' ist ein Zwischen-
   speicher, auf den fast jede Routine zugreift. In diesem befindet sich
   also z.B. das fertig gezeichnete oder gerade geladene Bild. Wird ein
   Accessory benutzt, das den Bildschirm verändert, so kann mit 'Zeige
   Bildspeicher 0' das aktuelle Bild restauriert werden. Accessories,
   die in Fenstern laufen (Schließfeld !), sollten auf jeden Fall ge-
   schlossen werden, da sie von diesem Programm 'übermalt' werden!

 3.Am Programm-Anfang wird der Tiefenwertspeicher in seiner Größe fest-
   gelegt, abhängig vom zur Verfügung stehenden Speicherplatz. Er ist
   mindestens 50 kByte groß. Seine Größe läßt sich durch die Datenkom-
   pression nur annähernd vorherbestimmen und ist daher möglichst groß
   gewählt.

 4.Die 3D-Routine ermöglicht eine räumliche Darstellung von Fractalen,
   wobei die Tiefenwerte als 'Höhenwerte' interpretiert werden.
   Die Neigung bzw. Drehung erfolgt gradweise durch die Cursortasten.
   Die Bildhöhe läßt sich über den Amplitudenfaktor zwischen 0,5 und
   4 der Grundhöhe (ca. 50 Pixel) verstellen. Tastencode: >a<
   Bei einer negativen Amplitude wird die maximale Tiefe als "Gebirge",
   bei einer positiven Amplitude als "See" dargestellt.
   Da für die Projektion die Tiefenwert-Datei ausgewertet wird (wie in
   der Farbeinstellung), muß diese zum aktuellen Bild vorhanden sein !
   Abbruch der Routine mit >Esc<. Ein Weiterzeichnen ist nicht möglich.

 5.Mit 'Bilderserie laden' lassen sich - ähnlich einer Diashow - mehrere
   Bilder nacheinander laden, die mit >Return< in die Bildspeicher über-
   nommen werden können. Hierzu wird das aktuelle Directory nach Bildern
   durchsucht, die die Extension "FRC" oder "FRA" haben. Das Einlesen
   läßt sich mit der Escape-Taste abbrechen.

 6.Mit dem Betriebsmodus 'Bilder zusammenstellen' können Bilder auf dem
   Bildschirm beliebig auf- und nebeneinander platziert werden. Eine
   Bearbeitung derartiger Bildzusammenstellungen ('Zoomen') ist aller-
   dings nicht möglich! Für diese Operationen muß der Betriebsmodus auf
   'Bilder bearbeiten' stehen! Beim Zusammenstellen können entweder die
   Bildspeicher 1 bis 12 benutzt oder Bilder direkt geladen werden.

 7.Das Verteilungsdiagramm zeigt die Häufigkeit jedes Tiefenwerts über
   die gewählte Iterationstiefe. Die Verteilung sollte 'sanft' auslau-
   fen - andernfalls wurde wahrscheinlich eine zu geringe Rechentiefe
   gewählt.
   Dies gilt natürlich nicht für die eigentliche Mandelbrotmenge, deren
   Punkte immer die maximal eingestellte Rechentiefe annehmen.

 8.Ein Programmabsturz durch Fehlermeldungen des Betriebssystems wird
   jetzt weitgehend abgefangen. Problematisch kann die Verwendung des
   B:-Laufwerks sein, wenn lediglich das Laufwerk A: vorhanden ist !

 9.Mit 'File löschen' können bei Verwendung der Wildcards '*' und '?'
   auch Dateigruppen gelöscht werden. Nach Auswahl einer oder mehrerer
   Dateien erfolgt noch eine Sicherheitsabfrage.

10.Da das Programm mit (fast) jedem Speicherplatz läuft, kann es
   passieren, daß einige Funktionen nicht arbeiten, wenn nicht genug
   Speicherpatz vorhanden ist. Die betrifft vor allem das 'Zoomen', da
   hier ein Zweitbildspeicher benutzt wird. Eventuell müssen dann eini-
   ge Bildspeicher gelöscht oder der Tiefenwertspeicher verkleinert
   werden.

11.Einige Funktionen des Pull-Down-Menüs können mit der Tastatur aus-
   geführt werden. Möglich ist:
   - 'Zeige Bildspeicher 1-10' durch die Funktionstasten >F1< bis >F10<
   - 'Bild ablegen 1-10' durch  >SHIFT F1<  bis  >SHIFT F10<
   - 'Bildspeicher zeigen 0' durch  >UNDO<
   - 'Bild-Info' durch  >HELP<
   - 'Bild löschen' durch  >DELETE<
   - 'Schirm löschen' durch  >CLR/HOME<

12.Zur Zahleneingabe verwende ich eine eigene Routine, die nur die Ein-
   gabe von Zahlen zuläßt. Zum Editieren werden die Pfeiltasten, Escape,
   Delete, Backspace, ClrHome, Insert und Undo verwendet.

13.Als kleines Zugeständnis an alle Farbmonitorbesitzer haben wir die
   Datei "FARBFRAC.GFA" beigefügt. Besitzen Sie GFA-Basic 3.x können
   Sie nun vorhandene Tiefenwertdateien farbig auswerten. Beachten Sie
   aber die verringerte Bildschirmauflösung im Farbmodus!

14.Verbesserungsvorschläge und Kritik werden gerne entgegengenommen !!
   Dieses Programm wird nun schon seit drei Jahren ständig weiterent-
   wickelt. Es wurde bislang im PD-Pool des GFA-Clubs veröffentlicht.

Für eine Entdeckungsreise ins fractale Universum wünschen wir viel
Vergnügen ... und gute Einfälle bei der Überarbeitung von Bildern!

       Harald und Martin Hansen     Weserstr. 82   1000 Berlin 44