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Text File  |  1993-05-05  |  48.8 KB  |  1,361 lines
  1. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  2. %%
  3. %A  gettable.tex                GAP documentation               Thomas Breuer
  4. %%
  5. %A  @(#)$Id: gettable.tex,v 3.14 1993/02/19 10:48:42 gap Exp $
  6. %%
  7. %Y  Copyright 1990-1992,  Lehrstuhl D fuer Mathematik,  RWTH Aachen,  Germany
  8. %%
  9. %H  $Log: gettable.tex,v $
  10. %H  Revision 3.14  1993/02/19  10:48:42  gap
  11. %H  adjustments in line length and spelling
  12. %H
  13. %H  Revision 3.13  1993/02/15  10:28:24  felsch
  14. %H  examples fixed
  15. %H
  16. %H  Revision 3.11  1992/10/15  08:47:25  sam
  17. %H  mentioned new file 'ctomaxi4.tbl'
  18. %H
  19. %H  Revision 3.10  1992/08/07  13:39:13  sam
  20. %H  added pictures for online help
  21. %H
  22. %H  Revision 3.9  1992/04/07  23:05:55  martin
  23. %H  changed the author line
  24. %H
  25. %H  Revision 3.8  1992/04/01  12:05:02  sam
  26. %H  little changes concerning contents of 'TBLNAME'
  27. %H
  28. %H  Revision 3.7  1992/03/27  16:45:21  sam
  29. %H  removed reference 'Character Tables of Weyl Groups'
  30. %H
  31. %H  Revision 3.6  1992/03/27  14:08:09  sam
  32. %H  removed "'" in index entries
  33. %H
  34. %H  Revision 3.5  1992/02/13  15:03:18  sam
  35. %H  renamed 'MatrixAutomorphisms' to 'MatAutomorphisms'
  36. %H
  37. %H  Revision 3.4  1992/01/14  14:13:15  martin
  38. %H  changed two more citations
  39. %H
  40. %H  Revision 3.3  1992/01/14  14:03:20  sam
  41. %H  adjusted citations
  42. %H
  43. %H  Revision 3.2  1992/01/09  11:18:04  sam
  44. %H  removed use of 'SetRecField'
  45. %H
  46. %H  Revision 3.1  1991/12/30  08:08:05  sam
  47. %H  initial revision under RCS
  48. %H
  49. %%
  50. \Chapter{Character Table Libraries}\index{character tables}%
  51. \index{tables}\index{library tables}\index{generic character tables}
  52.  
  53. The utility of {\GAP} for character theoretical tasks depends on the
  54. availability of many known character tables, so there is a lot of tables
  55. in the {\GAP} group collection.
  56.  
  57. There are three different libraries of character tables, namely
  58. *ordinary character tables*, *Brauer tables* and *generic character tables*.
  59.  
  60. Of course, these libraries are ``open\'\'\ in the sense that they shall be
  61. extended. So we would be grateful for any further tables of interest sent
  62. to us for inclusion into our libraries.
  63.  
  64. This chapter mainly explains properties not of single tables but of the
  65. libraries and their structure; for the format of character tables, see
  66. "Character Table Records", "Brauer Table Records" and chapter
  67. "Generic Character Tables".
  68.  
  69. The chapter informs about
  70. \begin{itemize}
  71. \item the actually available tables (see "Contents of the Table Libraries"),
  72. \item the sublibraries of {\ATLAS} tables (see "ATLAS Tables") and {\CAS}
  73.       tables (see "CAS Tables"),
  74. \item the organization of the libraries 
  75.       (see "Organization of the Table Libraries"),
  76. \item and how to extend a library (see "How to Extend a Table Library").
  77. \end{itemize}
  78.  
  79. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  80. \Section{Contents of the Table Libraries}%
  81. \index{character tables!libraries of}%
  82. \index{tables!libraries of}\index{libraries of character tables}
  83.  
  84. As stated at the beginning of the chapter, there are three libraries of
  85. character tables\:\ ordinary character tables, Brauer tables, and generic
  86. character tables.
  87.  
  88. *Ordinary Character Tables*
  89.  
  90. Two different aspects are useful to list up the ordinary character tables
  91. available to {\GAP}:\ the aspect of *source* of the tables and that of
  92. *connections* between the tables.
  93.  
  94. As for the source, there are two big sources, the {\ATLAS} (see "ATLAS Tables")
  95. and the {\CAS} library of character tables.
  96. Many {\ATLAS} tables are contained in the {\CAS} library, and difficulties may
  97. arise because the succession of characters or classes in {\CAS} tables and
  98. {\ATLAS} tables are different, so see "CAS Tables" and "Character Table
  99. Records" for the relations between the (at least) two forms of the same table.
  100. A large subset of the {\CAS} tables is the set of tables of Sylow normalizers
  101. of sporadic simple groups as published in~\cite{Ost86}, so this may be
  102. viewed as another source.
  103.  
  104. To avoid confusions about the actual format of a table, authorship and
  105. so on, the 'text' component of the table contains the information:\\
  106. 'origin\:\ ATLAS of finite groups'\ \ for {\ATLAS} tables
  107.           (see "ATLAS Tables")\\
  108. 'origin\:\ Ostermann'\ \ for tables of \cite{Ost86} and\\
  109. 'origin\:\ CAS library'\ \ for any table of the {\CAS} table library that is
  110.           contained neither in the {\ATLAS} nor in \cite{Ost86}.
  111.  
  112. If one is interested in the aspect of connections between the tables, i.e.,
  113. the internal structure of the library of ordinary tables (which corresponds
  114. to the access to character tables, as described in "CharTable"),
  115. the contents can be listed up the following way\:
  116.  
  117. We have
  118. \begin{itemize}
  119. \item all {\ATLAS} tables (see "ATLAS Tables"), i.e.\ the tables of the
  120.       simple groups which are contained in the {\ATLAS}, and the tables of
  121.       cyclic and bicyclic extensions of these groups;
  122. \item most tables of maximal subgroups of sporadic simple groups
  123.       (*not all* for HN, Th, Fi23, Co1, F3+, B, M);
  124.  
  125. \item some tables of maximal subgroups of other {\ATLAS} tables (*which?*)
  126. \item most nontrivial Sylow normalizers of sporadic simple groups as printed
  127.       in~\cite{Ost86}, where nontrivial means that the group is not
  128.       contained in $p$\:$(p-1)$;
  129.  
  130.       *not yet possible for all!!*
  131.  
  132.       *which are not contained?*
  133.       ($J_4N2, Co_1N2, Co_1N5$, all of $Fi_{23}, Fi_{24}^{\prime}, B, M, HN$,
  134.       and $Fi_{22}N2$)
  135.  
  136. \item some tables of element centralizers
  137. \item some tables of Sylow subgroups
  138. \item a few other tables, e.g.\ 'W(F4)'\\
  139.       {*namely which?*}
  140. \end{itemize}
  141.  
  142. *Brauer Tables*
  143.  
  144. This library contains the tables of the modular {\ATLAS} which are yet
  145. known.  Some of them still contain unknowns (see "Unknown").
  146. Since there is ongoing work in computing new tables, this library is
  147. changed nearly every day.
  148.  
  149. These Brauer tables contain the information
  150.  
  151. |    origin: modular ATLAS of finite groups|
  152.  
  153. in their text component.
  154.  
  155. *Generic Character Tables*
  156.  
  157. At the moment, generic tables of the following groups are available in {\GAP} 
  158. (see "CharTable")\:
  159.  
  160. \begin{itemize}
  161. \item alternating groups
  162. \item cyclic groups,
  163. \item dihedral groups,
  164. \item some linear groups,
  165. \item quaternionic (dicyclic) groups
  166. \item symmetric groups,
  167. \item wreath products of a group with a symmetric group
  168.       (see "CharTableWreathSymmetric"),
  169. \item Weyl groups of types $B_n$ and $D_n$
  170. \end{itemize}
  171.  
  172. *Not all these are really implemented as generic tables!!!*
  173.  
  174. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  175. \Section{ATLAS Tables}\index{character tables!ATLAS}%
  176. \index{tables!library}\index{library of character tables}
  177.  
  178. \def\ttquote{\char13}
  179. \setlength{\unitlength}{0.1cm}
  180.  
  181. The {\GAP} group collection contains all character tables that are included in
  182. the Atlas of finite groups (\cite{CCN85}, from now on called {\ATLAS})
  183. and the Brauer tables contained in the modular {\ATLAS} 
  184. (\cite{LPW92}).
  185. Although the Brauer tables form a library of their own, they are
  186. described here since all conventions for {\ATLAS} tables stated here hold
  187. for Brauer tables, too.
  188.  
  189. *Additionally some conventions are necessary  about follower characters!*
  190.  
  191.  
  192. These tables have the information
  193.  
  194. |    origin: ATLAS of finite groups|
  195.  
  196. resp.
  197.  
  198. |    origin: modular ATLAS of finite groups|
  199.  
  200. in their 'text' component, further on they are simply called {\ATLAS} tables.
  201.  
  202. In addition to the information given in Chapters 6--8 of the {\ATLAS} which
  203. tell how to read the printed tables, there are some rules relating these
  204. to the corresponding {\GAP} tables.
  205.  
  206. *Improvements*
  207.  
  208. Note that for the {\GAP} library not the printed {\ATLAS} is relevant but the
  209. revised version given by the list of\ \ *Improvements to the ATLAS*\ \ which
  210. can be got from Cambridge.
  211.  
  212. Also some tables are regarded as {\ATLAS} tables which are not printed in
  213. the {\ATLAS} but available in {\ATLAS} format from Cambridge; at the moment,
  214. these are the tables related to $L_2(49)$, $L_2(81)$, $L_6(2)$,
  215. $O_8^-(3)$, $O_8^+(3)$ and $S_{10}(2)$.
  216.  
  217. *Powermaps*
  218.  
  219. In a few cases (namely the tables of $3.McL$, $3_2.U_4(3)$ and its covers,
  220. $3_2.U_4(3).2_3$ and its covers) the powermaps are not uniquely determined
  221. by the given information but determined up to matrix automorphisms
  222. (see "MatAutomorphisms") of the characters; then the first possible
  223. map according to lexicographical ordering was chosen, and the automorphisms
  224. are listed in the 'text' component of the concerned table.
  225.  
  226. *Projective Characters*
  227.  
  228. For any nontrivial multiplier of a simple group or of an automorphic extension
  229. of a simple group, there is a component 'projectives' in the table of $G$
  230. that is a list of records with the names of the covering group (e.g.
  231. '\"12\_1.U4(3)\"') and the list of those faithful characters which are printed
  232. in the \ATLAS (so--called {\it proxy characters}). 
  233.  
  234. *Projections*
  235.  
  236. {\ATLAS} tables contain the component 'projections'\:\ 
  237. For any covering group of $G$ for which the character table is available in
  238. {\ATLAS} format a record is stored there containing components 'name'
  239. (the name of the cover table) and 'map' (the projection map);
  240. the projection maps any class of $G$ to that preimage in the cover for that
  241. the column is printed in the \ATLAS;
  242. it is called $g_0$ in Chapter 7, Section 14 there.
  243.  
  244. (In a sense, a projection map is an inverse of the factor
  245. fusion from the cover table to the actual table (see "ProjectionMap").)
  246.  
  247. *Tables of Isoclinic Groups*
  248.  
  249. As described in Chapter 6, Section 7 and Chapter 7, Section 18 of the \ATLAS,
  250. there exist two different groups of structure $2.G.2$ for a simple group $G$
  251. which are isoclinic. The {\ATLAS} table in the library is that which is
  252. printed in the \ATLAS, the isoclinic variant can be got using
  253. "CharTableIsoclinic" 'CharTableIsoclinic'.
  254.  
  255. *Succession of characters and classes*
  256.  
  257. (Throughout this paragraph, $G$ always means the involved simple group.)
  258. \begin{enumerate}
  259. \item For $G$ itself, the succession of classes and characters in the
  260.       {\GAP} table is as printed in the \ATLAS.
  261. \item For an automorphic extension $G.a$, there are three types of
  262.       characters\:
  263. \begin{itemize}
  264. \item If a character $\chi$ of $G$ extends to $G.a$, the different extensions
  265.       $\chi^0,\chi^1,\ldots,\chi^{a-1}$ are consecutive
  266.       (see {\ATLAS}, Chapter 7, Section 16).
  267. \item If some characters of $G$ fuse to give a single character of $G.a$,
  268.       the position of that character is the position of the first involved 
  269.       character of $G$.
  270. \item If both extension and fusion occurs, the result characters are
  271.       consecutive, and each replaces the first involved character.
  272. \end{itemize}
  273. \item Similarly, there are different types of classes for an automorphic
  274.       extension $G.a$\:
  275. \begin{itemize}
  276. \item If some classes collapse, the result class replaces the first involved
  277.       class.
  278. \item For $a > 2$, any proxy class and its followers are consecutive;
  279.       if there are more than one followers for a proxy class (the only case that
  280.       occurs is for $a = 5$), the succession
  281.       of followers is the natural one of corresponding galois automorphisms
  282.       (see {\ATLAS}, Chapter 7, Section 19).
  283. \end{itemize}
  284.       The classes of $G.a_1$ always precede the outer classes of $G.a_2$ for
  285.       $a_1, a_2$ dividing $a$ and $a_1 \< a_2$. This succession is like in
  286.       the \ATLAS, with the only exception $U_3(8).6$.
  287. \item For a central extension $M.G$, there are different types of characters\:
  288. \begin{itemize}
  289. \item Every character can be regarded as a faithful character
  290.       of the factor group $m.G$, where $m$ divides $M$.
  291.       Characters faithful for the same factor group are consecutive like in the
  292.       \ATLAS, the succession of these sets of characters is given by the
  293.       order of precedence $1, 2, 4, 3, 6, 12$ for the different values of $m$.
  294. \item If $m > 2$, a faithful character of $m.G$ that is printed in the {\ATLAS} 
  295.       (a so-called \mbox{\em proxy}) represents one or more
  296.       \mbox{\em followers}, this means galois conjugates of the proxy;
  297.       in any {\GAP} table, the proxy precedes its followers;
  298.       the case $m = 12$ is the only one that occurs with more than one follower
  299.       for a proxy, then the three followers are ordered according to the
  300.       corresponding galois automorphisms 5, 7, 11 (in that succession).
  301. \end{itemize}
  302. \item For the classes of a central extension we have\:
  303. \begin{itemize}
  304. \item The preimages of a $G$-class in $M.G$ are subsequent, the succession is
  305.       the same as that of the lifting order rows in the \ATLAS.
  306. \item The primitive roots of unity chosen to represent the generating central
  307.       element (class 2) are 'E(3)', 'E(4)', 'E(6)\^5' ('= E(2) \* E(3)') and
  308.       'E(12)\^7' ('= E(3) \* E(4)') for $m = 3, 4, 6$ and $12$, respectively.
  309. \end{itemize}
  310. \item For tables of bicyclic extensions $m.G.a$, both the rules for automorphic
  311.       and central extensions hold; additionally we have\:
  312. \begin{itemize}
  313. \item Whenever classes of the subgroup $m.G$ collapse or characters fuse, the
  314.       result class resp. character replaces the first involved class resp.
  315.       character. 
  316. \item Extensions of a character are subsequent, and the extensions of a proxy
  317.       character precede the extensions of its followers.
  318. \item Preimages of a class are subsequent, and the preimages of a proxy class
  319.       precede the preimages of its followers.
  320. \end{itemize}
  321. \end{enumerate}
  322.  
  323. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  324. \Section{Examples of the ATLAS format for GAP tables}
  325. \index{character tables!CAS}\index{tables!library}
  326. \index{library of character tables}
  327.  
  328. We give three little examples for the conventions stated in "ATLAS Tables",
  329. listing up the {\ATLAS} format and the table displayed by \GAP.
  330.  
  331. First, let $G$ be the trivial group.
  332. The cyclic group $C_6$ of order 6 can be viewed in several ways\:
  333.  
  334. \begin{enumerate}
  335. \item As a downward extension of the factor group $C_2$ which contains $G$ as
  336. a subgroup; equivalently, as an upward extension of the subgroup $C_3$ which
  337. has a factor group $G$\:
  338.  
  339. %ignore
  340. \begin{picture}(110,55)
  341. \put(-2,23){
  342. \begin{picture}(29,29)
  343. \put(0,29){\line(1,0){14}}
  344. \put(0,15){\line(1,0){14}}
  345. \put(0,14){\line(1,0){14}}
  346. \put(0,0){\line(1,0){14}}
  347. \put(15,29){\line(1,0){14}}
  348. \put(15,15){\line(1,0){14}}
  349. \put(15,14){\line(1,0){14}}
  350. \put(15,0){\line(1,0){14}}
  351. \put(0,15){\line(0,1){14}}
  352. \put(0,0){\line(0,1){14}}
  353. \put(14,15){\line(0,1){14}}
  354. \put(15,15){\line(0,1){14}}
  355. \put(29,15){\line(0,1){14}}
  356. \put(14,0){\line(0,1){14}}
  357. \put(15,0){\line(0,1){14}}
  358. \put(29,0){\line(0,1){14}}
  359. \put(7,7){\makebox(0,0){3.G}}
  360. \put(22,7){\makebox(0,0){3.G.2}}
  361. \put(7,22){\makebox(0,0){G}}
  362. \put(22,22){\makebox(0,0){G.2}}
  363. \end{picture}}
  364. \put(37,52){\makebox(0,0)[tl]{
  365. \small\tt
  366. \begin{minipage}{2in}
  367. \baselineskip0.9ex
  368. \parskip0.2ex
  369.  
  370. \ \ \ \ ;\ \ \ @\ \ \ ;\ \ \ ;\ \ \ @\ \par
  371. \ \par
  372. \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \par
  373. \ \ p\ power\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A\ \par
  374. \ \ p\ttquote\ part\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A\ \par
  375. \ \ ind\ \ 1A\ fus\ ind\ \ 2A\ \par
  376. \ \par
  377. $\chi_1$\ \ +\ \ \ 1\ \ \ \:\ \ ++\ \ \ 1\ \par
  378. \ \par
  379. \ \ ind\ \ \ 1\ fus\ ind\ \ \ 2\ \par
  380. \ \ \ \ \ \ \ \ 3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6\ \par
  381. \ \ \ \ \ \ \ \ 3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6\ \par
  382. \ \par
  383. $\chi_2$\ o2\ \ \ 1\ \ \ \:\ oo2\ \ \ 1\ 
  384. \end{minipage}}}
  385.  
  386. \put(83,52){\makebox(0,0)[tl]{
  387. \small\tt
  388. \begin{minipage}{2in}
  389. \baselineskip2.7ex
  390. \parskip0ex
  391.  
  392. \ \ \ 2\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1 \par
  393. \ \ \ 3\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1 \par
  394.  \par
  395. \ \ \ \ \ \ 1a\ \ 3a\ \ 3b\ \ 2a\ \ 6a\ \ 6b \par
  396. \ \ 2P\ \ 1a\ \ 3b\ \ 3a\ \ 1a\ \ 3b\ \ 3a \par
  397. \ \ 3P\ \ 1a\ \ 1a\ \ 1a\ \ 2a\ \ 2a\ \ 2a \par
  398.  \par
  399. X.1\ \ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1 \par
  400. X.2\ \ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ -1\ \ -1\ \ -1 \par
  401. X.3\ \ \ \ 1\ \ \ A\ \ /A\ \ \ 1\ \ \ A\ \ /A \par
  402. X.4\ \ \ \ 1\ \ \ A\ \ /A\ \ -1\ \ -A\ -/A \par
  403. X.5\ \ \ \ 1\ \ /A\ \ \ A\ \ \ 1\ \ /A\ \ \ A \par
  404. X.6\ \ \ \ 1\ \ /A\ \ \ A\ \ -1\ -/A\ \ -A \par
  405.  \par
  406. A\ =\ E(3) \par
  407. \ \ =\ (-1+ER(-3))/2\ =\ b3 \par
  408.  
  409. \end{minipage}}}
  410. \end{picture}
  411. %end
  412. %display
  413. % -------   -------       ;   @   ;   ;   @      2   1   1   1   1   1   1
  414. %|       | |       |          1           1      3   1   1   1   1   1   1
  415. %|   G   | |  G.2  |    p power           A
  416. %|       | |       |    p' part           A         1a  3a  3b  2a  6a  6b
  417. % -------   -------     ind  1A fus ind  2A     2P  1a  3b  3a  1a  3b  3a
  418. % -------   -------                             3P  1a  1a  1a  2a  2a  2a
  419. %|       | |       |  X1  +   1   :  ++   1
  420. %|  3.G  | | 3.G.2 |                          X.1    1   1   1   1   1   1
  421. %|       | |       |    ind   1 fus ind   2   X.2    1   1   1  -1  -1  -1
  422. % -------   -------           3           6   X.3    1   A  /A   1   A  /A
  423. %                             3           6   X.4    1   A  /A  -1  -A -/A
  424. %                                             X.5    1  /A   A   1  /A   A
  425. %                     X2 o2   1   : oo2   1   X.6    1  /A   A  -1 -/A  -A
  426. %
  427. %                                             A = E(3)
  428. %                                               = (-1+ER(-3))/2 = b3
  429. %end
  430.  
  431. 'X.1', 'X.2' extend $\chi_1$. 'X.3', 'X.4' extend the proxy character
  432. $\chi_2$. 'X.5', 'X.6' extend its follower.
  433. '1a', '3a', '3b' are preimages of '1A', and '2a', '6a', '6b' are preimages
  434. of '2A'.
  435.  
  436. \item As a downward extension of the factor group $C_3$ which contains $G$ as
  437. a subgroup; equivalently, as an upward extension of the subgroup $C_2$ which
  438. has a factor group $G$\:
  439.  
  440. %ignore
  441. \begin{picture}(110,55)
  442. \put(-2,23){
  443. \begin{picture}(29,29)
  444. \put(0,29){\line(1,0){14}}
  445. \put(0,15){\line(1,0){14}}
  446. \put(0,14){\line(1,0){14}}
  447. \put(0,0){\line(1,0){14}}
  448. \put(15,29){\line(1,0){14}}
  449. \put(15,15){\line(1,0){14}}
  450. \put(15,14){\line(1,0){14}}
  451. \put(15,0){\line(1,0){14}}
  452. \put(0,15){\line(0,1){14}}
  453. \put(0,0){\line(0,1){14}}
  454. \put(14,15){\line(0,1){14}}
  455. \put(15,15){\line(0,1){14}}
  456. \put(29,15){\line(0,1){14}}
  457. \put(14,0){\line(0,1){14}}
  458. \put(15,0){\line(0,1){14}}
  459. \put(29,0){\line(0,1){14}}
  460. \put(7,7){\makebox(0,0){2.G}}
  461. \put(22,7){\makebox(0,0){2.G.3}}
  462. \put(7,22){\makebox(0,0){G}}
  463. \put(22,22){\makebox(0,0){G.3}}
  464. \end{picture}}
  465. \put(37,52){\makebox(0,0)[tl]{
  466. \small\tt
  467. \begin{minipage}{2in}
  468. \baselineskip0.9ex
  469. \parskip0.2ex
  470.  
  471. \ \ \ \ ;\ \ \ @\ \ \ ;\ \ \ ;\ \ \ @ \par
  472. \ \par
  473. \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1 \par
  474. \ \ p\ power\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A \par
  475. \ \ p\ttquote\ part\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A \par
  476. \ \ ind\ \ 1A\ fus\ ind\ \ 3A \par
  477. \ \par
  478. $\chi_1$\ \ +\ \ \ 1\ \ \ \:\ +oo\ \ \ 1 \par
  479. \ \par
  480. \ \ ind\ \ \ 1\ fus\ ind\ \ \ 3 \par
  481. \ \ \ \ \ \ \ \ 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6 \par
  482. \ \par
  483. $\chi_2$\ \ +\ \ \ 1\ \ \ \:\ +oo\ \ \ 1 \par
  484. \end{minipage}}}
  485.  
  486. \put(83,52){\makebox(0,0)[tl]{
  487. \small\tt
  488. \begin{minipage}{2in}
  489. \baselineskip2.7ex
  490. \parskip0ex
  491.  
  492. \ \ \ 2\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1 \par
  493. \ \ \ 3\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1 \par
  494.  \par
  495. \ \ \ \ \ \ 1a\ \ 2a\ \ 3a\ \ 6a\ \ 3b\ \ 6b \par
  496. \ \ 2P\ \ 1a\ \ 1a\ \ 3b\ \ 3b\ \ 3a\ \ 3a \par
  497. \ \ 3P\ \ 1a\ \ 2a\ \ 1a\ \ 2a\ \ 1a\ \ 2a \par
  498.  \par
  499. X.1\ \ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1 \par
  500. X.2\ \ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ A\ \ \ A\ \ /A\ \ /A \par
  501. X.3\ \ \ \ 1\ \ \ 1\ \ /A\ \ /A\ \ \ A\ \ \ A \par
  502. X.4\ \ \ \ 1\ \ -1\ \ \ 1\ \ -1\ \ \ 1\ \ -1 \par
  503. X.5\ \ \ \ 1\ \ -1\ \ \ A\ \ -A\ \ /A\ -/A \par
  504. X.6\ \ \ \ 1\ \ -1\ \ /A\ -/A\ \ \ A\ \ -A \par
  505.  \par
  506. A\ =\ E(3) \par
  507. \ \ =\ (-1+ER(-3))/2\ =\ b3 \par
  508. \end{minipage}}}
  509. \end{picture}
  510. %end
  511. %display
  512. % -------   -------       ;   @   ;   ;   @      2   1   1   1   1   1   1
  513. %|       | |       |          1           1      3   1   1   1   1   1   1
  514. %|   G   | |  G.3  |    p power           A  
  515. %|       | |       |    p' part           A         1a  2a  3a  6a  3b  6b
  516. % -------   -------     ind  1A fus ind  3A     2P  1a  1a  3b  3b  3a  3a
  517. % -------   -------                             3P  1a  2a  1a  2a  1a  2a
  518. %|       | |       |  X1  +   1   : +oo   1  
  519. %|  2.G  | | 2.G.3 |                          X.1    1   1   1   1   1   1
  520. %|       | |       |    ind   1 fus ind   3   X.2    1   1   A   A  /A  /A
  521. % -------   -------           2           6   X.3    1   1  /A  /A   A   A
  522. %                                             X.4    1  -1   1  -1   1  -1
  523. %                     X2  +   1   : +oo   1   X.5    1  -1   A  -A  /A -/A
  524. %                                             X.6    1  -1  /A -/A   A  -A
  525. %
  526. %                                             A = E(3)
  527. %                                               = (-1+ER(-3))/2 = b3
  528. %end
  529.  
  530. 'X.1'-'X.3' extend $\chi_1$, 'X.4'-'X.6' extend $\chi_2$.
  531. '1a', '2a' are preimages of '1A'. '3a', '6a' are preimages of
  532. the proxy class '3A', and '3b', '6b' are preimages of its follower class.
  533.  
  534. \item As a downward extension of the factor groups $C_3$ and $C_2$ which have
  535. $G$ as a factor group\:
  536.  
  537. %ignore
  538. \begin{picture}(110,70)
  539. \put(-2,8){
  540. \begin{picture}(14,59)
  541. \put(0,59){\line(1,0){14}}
  542. \put(0,45){\line(1,0){14}}
  543. \put(0,44){\line(1,0){14}}
  544. \put(0,30){\line(1,0){14}}
  545. \put(0,29){\line(1,0){14}}
  546. \put(0,15){\line(1,0){14}}
  547. \put(0,14){\line(1,0){14}}
  548. \put(0,0){\line(1,0){14}}
  549. \put(0,45){\line(0,1){14}}
  550. \put(0,30){\line(0,1){14}}
  551. \put(0,15){\line(0,1){14}}
  552. \put(0,0){\line(0,1){14}}
  553. \put(14,45){\line(0,1){14}}
  554. \put(14,30){\line(0,1){14}}
  555. \put(14,15){\line(0,1){14}}
  556. \put(14,0){\line(0,1){14}}
  557. \put(7,7){\makebox(0,0){6.G}}
  558. \put(7,22){\makebox(0,0){3.G}}
  559. \put(7,37){\makebox(0,0){2.G}}
  560. \put(7,52){\makebox(0,0){G}}
  561. \end{picture}}
  562. \put(37,67){\makebox(0,0)[tl]{
  563. \small\tt
  564. \begin{minipage}{2in}
  565. \baselineskip0.9ex
  566. \parskip0.2ex
  567.  
  568. \ \ \ \ ;\ \ \ @ \par
  569. \ \  \par
  570. \ \ \ \ \ \ \ \ 1 \par
  571. \ \ p\ power \par
  572. \ \ p\ttquote\ part \par
  573. \ \ ind\ \ 1A \par
  574. \ \  \par
  575. $\chi_1$\ \ +\ \ \ 1 \par
  576. \ \  \par
  577. \ \ ind\ \ \ 1 \par
  578. \ \ \ \ \ \ \ \ 2 \par
  579. \ \  \par
  580. $\chi_2$\ \ +\ \ \ 1 \par
  581. \ \  \par
  582. \ \ ind\ \ \ 1 \par
  583. \ \ \ \ \ \ \ \ 3 \par
  584. \ \ \ \ \ \ \ \ 3 \par
  585. \ \  \par
  586. $\chi_3$\ o2\ \ \ 1 \par
  587. \ \  \par
  588. \ \ ind\ \ \ 1 \par
  589. \ \ \ \ \ \ \ \ 6 \par
  590. \ \ \ \ \ \ \ \ 3 \par
  591. \ \ \ \ \ \ \ \ 2 \par
  592. \ \ \ \ \ \ \ \ 3 \par
  593. \ \ \ \ \ \ \ \ 6 \par
  594. \ \  \par
  595. $\chi_4$\ o2\ \ \ 1 \par
  596. \end{minipage}}}
  597.  
  598. \put(83,67){\makebox(0,0)[tl]{
  599. \small\tt
  600. \begin{minipage}{2in}
  601. \baselineskip2.7ex
  602. \parskip0ex
  603.  
  604. \ \ \ 2\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1 \par
  605. \ \ \ 3\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1 \par
  606.  \par
  607. \ \ \ \ \ \ 1a\ \ 6a\ \ 3a\ \ 2a\ \ 3b\ \ 6b \par
  608. \ \ 2P\ \ 1a\ \ 3a\ \ 3b\ \ 1a\ \ 3a\ \ 3b \par
  609. \ \ 3P\ \ 1a\ \ 2a\ \ 1a\ \ 2a\ \ 1a\ \ 2a \par
  610.  \par
  611. X.1\ \ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1 \par
  612. X.2\ \ \ \ 1\ \ -1\ \ \ 1\ \ -1\ \ \ 1\ \ -1 \par
  613. X.3\ \ \ \ 1\ \ \ A\ \ /A\ \ \ 1\ \ \ A\ \ /A \par
  614. X.4\ \ \ \ 1\ \ /A\ \ \ A\ \ \ 1\ \ /A\ \ \ A \par
  615. X.5\ \ \ \ 1\ \ -A\ \ /A\ \ -1\ \ \ A\ -/A \par
  616. X.6\ \ \ \ 1\ -/A\ \ \ A\ \ -1\ \ /A\ \ -A \par
  617.  \par
  618. A\ =\ E(3) \par
  619. \ \ =\ (-1+ER(-3))/2\ =\ b3 \par
  620. \end{minipage}}}
  621. \end{picture}
  622. %end
  623. %display
  624. % -------           ;   @        2   1   1   1   1   1   1 
  625. %|       |              1        3   1   1   1   1   1   1 
  626. %|   G   |        p power     
  627. %|       |        p' part           1a  6a  3a  2a  3b  6b 
  628. % -------         ind  1A       2P  1a  3a  3b  1a  3a  3b 
  629. % -------                       3P  1a  2a  1a  2a  1a  2a 
  630. %|       |      X1  +   1     
  631. %|  2.G  |                    X.1    1   1   1   1   1   1 
  632. %|       |        ind   1     X.2    1  -1   1  -1   1  -1 
  633. % -------               2     X.3    1   A  /A   1   A  /A 
  634. % -------                     X.4    1  /A   A   1  /A   A 
  635. %|       |      X2  +   1     X.5    1  -A  /A  -1   A -/A 
  636. %|  3.G  |                    X.6    1 -/A   A  -1  /A  -A 
  637. %|       |        ind   1     
  638. % -------               3     A = E(3) 
  639. % -------               3       = (-1+ER(-3))/2 = b3 
  640. %|       |                 
  641. %|  6.G  |      X3 o2   1     
  642. %|       |                    
  643. % -------         ind   1     
  644. %                       6     
  645. %                       3     
  646. %                       2     
  647. %                       3     
  648. %                       6     
  649. %                          
  650. %               X4 o2   1     
  651. %end
  652.  
  653. 'X.1', 'X.2' correspond to $\chi_1, \chi_2$, respectively; 'X.3', 'X.5'
  654. correspond to the proxies $\chi_3, \chi_4$, and 'X.4', 'X.6' to their followers.
  655. The factor fusion onto $3.G$ is '[ 1, 2, 3, 1, 2, 3 ]', that onto $G.2$ is
  656. '[ 1, 2, 1, 2, 1, 2 ]'.
  657.  
  658. \item As an upward extension of the subgroups $C_3$ or $C_2$ which both contain
  659. a subgroup $G$\:
  660.  
  661. %ignore
  662. \begin{picture}(110,55)
  663. \put(-2,38){
  664. \begin{picture}(59,14)
  665. \put(0,0){\line(1,0){14}}
  666. \put(0,0){\line(0,1){14}}
  667. \put(0,14){\line(1,0){14}}
  668. \put(14,0){\line(0,1){14}}
  669. \put(7,7){\makebox(0,0){G}}
  670. \put(15,0){\line(1,0){14}}
  671. \put(15,0){\line(0,1){14}}
  672. \put(15,14){\line(1,0){14}}
  673. \put(29,0){\line(0,1){14}}
  674. \put(22,7){\makebox(0,0){G.2}}
  675. \put(30,0){\line(1,0){14}}
  676. \put(30,0){\line(0,1){14}}
  677. \put(30,14){\line(1,0){14}}
  678. \put(44,0){\line(0,1){14}}
  679. \put(37,7){\makebox(0,0){G.3}}
  680. \put(45,0){\line(1,0){14}}
  681. \put(45,0){\line(0,1){14}}
  682. \put(45,14){\line(1,0){14}}
  683. \put(59,0){\line(0,1){14}}
  684. \put(52,7){\makebox(0,0){G.6}}
  685. \end{picture}}
  686. \put(-2,30){\makebox(0,0)[tl]{
  687. \small\tt
  688. \begin{minipage}{4in}
  689. \baselineskip0.9ex
  690. \parskip0.2ex
  691.  
  692. \ \ \ \ ;\ \ \ @\ \ \ ;\ \ \ ;\ \ \ @\ \ \ ;\ \ \ ;\ \ \ @\ \ \ ;\ \ \ \ \ ;\ \ \ @\ \par
  693. \ \par
  694. \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \par
  695. \ \ p\ power\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ AA\ \par
  696. \ \ p\ttquote\ part\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ AA\ \par
  697. \ \ ind\ \ 1A\ fus\ ind\ \ 2A\ fus\ ind\ \ 3A\ fus\ \ \ ind\ \ 6A\ \par
  698. \ \par
  699. $\chi_1$\ \ +\ \ \ 1\ \ \ \:\ \ ++\ \ \ 1\ \ \ \:\ +oo\ \ \ 1\ \ \ \:+oo+oo\ \ \ 1\ \par
  700. \end{minipage}}}
  701.  
  702. \put(83,52){\makebox(0,0)[tl]{
  703. \small\tt
  704. \begin{minipage}{2in}
  705. \baselineskip2.7ex
  706. \parskip0ex
  707.  
  708. \ \ \ 2\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1 \par
  709. \ \ \ 3\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1 \par
  710.  \par
  711. \ \ \ \ \ \ 1a\ \ 2a\ \ 3a\ \ 3b\ \ 6a\ \ 6b \par
  712. \ \ 2P\ \ 1a\ \ 1a\ \ 3b\ \ 3a\ \ 3b\ \ 3a \par
  713. \ \ 3P\ \ 1a\ \ 2a\ \ 1a\ \ 1a\ \ 2a\ \ 2a \par
  714.  \par
  715. X.1\ \ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1 \par
  716. X.2\ \ \ \ 1\ \ -1\ \ \ A\ \ /A\ \ -A\ -/A \par
  717. X.3\ \ \ \ 1\ \ \ 1\ \ /A\ \ \ A\ \ /A\ \ \ A \par
  718. X.4\ \ \ \ 1\ \ -1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ -1\ \ -1 \par
  719. X.5\ \ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ A\ \ /A\ \ \ A\ \ /A \par
  720. X.6\ \ \ \ 1\ \ -1\ \ /A\ \ \ A\ -/A\ \ -A \par
  721.  \par
  722. A\ =\ E(3) \par
  723. \ \ =\ (-1+ER(-3))/2\ =\ b3 \par
  724. \end{minipage}}}
  725. \end{picture}
  726. %end
  727. %display
  728. % -------   -------  -------   -------          
  729. %|       | |       ||       | |       |         
  730. %|   G   | |  G.2  ||  G.3  | |  G.6  |         
  731. %|       | |       ||       | |       |         
  732. % -------   -------  -------   -------          
  733. %                                               
  734. %    ;   @   ;   ;   @   ;   ;   @   ;     ;   @
  735. %                                               
  736. %        1           1           1             1
  737. %  p power           A           A            AA
  738. %  p' part           A           A            AA
  739. %  ind  1A fus ind  2A fus ind  3A fus   ind  6A
  740. %                                               
  741. %X1  +   1   :  ++   1   : +oo   1   :+oo+oo   1
  742. %
  743. %
  744. %    2   1   1   1   1   1   1
  745. %    3   1   1   1   1   1   1
  746. %
  747. %       1a  2a  3a  3b  6a  6b
  748. %   2P  1a  1a  3b  3a  3b  3a
  749. %   3P  1a  2a  1a  1a  2a  2a
  750. % X.1    1   1   1   1   1   1
  751. % X.2    1  -1   A  /A  -A -/A
  752. % X.3    1   1  /A   A  /A   A
  753. % X.4    1  -1   1   1  -1  -1
  754. % X.5    1   1   A  /A   A  /A
  755. % X.6    1  -1  /A   A -/A  -A
  756. % 
  757. % A = E(3) 
  758. %   = (-1+ER(-3))/2 = b3
  759. %end
  760.  
  761. '1a', '2a' correspond to $1A, 2A$, respectively; '3a', '6a'
  762. correspond to the proxies $3A, 6A$, and '3b', '6b' to their followers.
  763.  
  764. \end{enumerate}
  765.  
  766. The second example explains the fusion case; again, $G$ is the trivial group.
  767.  
  768. %ignore
  769. \begin{picture}(110,95)
  770. \put(0,33){
  771. \begin{picture}(29,59)
  772. \put(0,59){\line(1,0){14}}
  773. \put(0,45){\line(1,0){14}}
  774. \put(0,44){\line(1,0){14}}
  775. \put(0,30){\line(1,0){14}}
  776. \put(0,29){\line(1,0){14}}
  777. \put(0,15){\line(1,0){14}}
  778. \put(0,14){\line(1,0){14}}
  779. \put(0,0){\line(1,0){14}}
  780. \put(0,45){\line(0,1){14}}
  781. \put(0,30){\line(0,1){14}}
  782. \put(0,15){\line(0,1){14}}
  783. \put(0,0){\line(0,1){14}}
  784. \put(14,45){\line(0,1){14}}
  785. \put(14,30){\line(0,1){14}}
  786. \put(14,15){\line(0,1){14}}
  787. \put(14,0){\line(0,1){14}}
  788. \put(15,59){\line(1,0){14}}
  789. \put(15,45){\line(1,0){14}}
  790. \put(15,44){\line(1,0){14}}
  791. \put(15,30){\line(1,0){14}}
  792. \put(15,29){\line(1,0){14}}
  793. \put(15,14){\line(1,0){14}}
  794. \put(15,45){\line(0,1){14}}
  795. \put(15,30){\line(0,1){14}}
  796. \put(15,15){\line(0,1){14}}
  797. \put(15,0){\line(0,1){14}}
  798. \put(29,45){\line(0,1){14}}
  799. \put(29,30){\line(0,1){14}}
  800. \put(7,7){\makebox(0,0){6.G}}
  801. \put(7,22){\makebox(0,0){3.G}}
  802. \put(7,37){\makebox(0,0){2.G}}
  803. \put(7,52){\makebox(0,0){G}}
  804. \put(22,7){\makebox(0,0){6.G.2}}
  805. \put(22,22){\makebox(0,0){3.G.2}}
  806. \put(22,37){\makebox(0,0){2.G.2}}
  807. \put(22,52){\makebox(0,0){G.2}}
  808. \end{picture}}
  809. \put(39,92){\makebox(0,0)[tl]{
  810. \small\tt
  811. \begin{minipage}{2in}
  812. \baselineskip0.9ex
  813. \parskip0.2ex
  814.  
  815. \ \ \ \ ;\ \ \ @\ \ \ ;\ \ \ ;\ \ @\ \par
  816. \ \ \ \par
  817. \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \par
  818. \ \ p\ power\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A\ \par
  819. \ \ p\ttquote\ part\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A\ \par
  820. \ \ ind\ \ 1A\ fus\ ind\ 2A\ \par
  821. \ \ \ \par
  822. $\chi_1$\ \ +\ \ \ 1\ \ \ \:\ \ ++\ \ 1\ \par
  823. \ \ \ \par
  824. \ \ ind\ \ \ 1\ fus\ ind\ \ 2\ \par
  825. \ \ \ \ \ \ \ \ 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2\ \par
  826. \ \ \ \par
  827. $\chi_2$\ \ +\ \ \ 1\ \ \ \:\ \ ++\ \ 1\ \par
  828. \ \ \ \par
  829. \ \ ind\ \ \ 1\ fus\ ind\ \ 2\ \par
  830. \ \ \ \ \ \ \ \ 3\ \par
  831. \ \ \ \ \ \ \ \ 3\ \par
  832. \ \ \ \par
  833. $\chi_3$\ o2\ \ \ 1\ \ \ \*\ \ \ +\ \par
  834. \ \ \ \par
  835. \ \ ind\ \ \ 1\ fus\ ind\ \ 2\ \par
  836. \ \ \ \ \ \ \ \ 6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2\par
  837. \ \ \ \ \ \ \ \ 3\ \par
  838. \ \ \ \ \ \ \ \ 2\ \par
  839. \ \ \ \ \ \ \ \ 3\ \par
  840. \ \ \ \ \ \ \ \ 6\ \par
  841. \ \ \ \par
  842. $\chi_4$\ o2\ \ \ 1\ \ \ \*\ \ \ +\ \par
  843. \end{minipage}}}
  844.  
  845. \put(85,92){\makebox(0,0)[tl]{
  846. \small\tt
  847. \begin{minipage}{2in}
  848. \baselineskip2.7ex
  849. \parskip0ex
  850.  
  851. $3.G.2$ \par
  852.  \par
  853. \ \ \ 2\ \ \ 1\ \ \ .\ \ \ 1 \par
  854. \ \ \ 3\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ . \par
  855.  \par
  856. \ \ \ \ \ \ 1a\ \ 3a\ \ 2a \par
  857. \ \ 2P\ \ 1a\ \ 3a\ \ 1a \par
  858. \ \ 3P\ \ 1a\ \ 1a\ \ 2a \par
  859.  \par
  860. X.1\ \ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1 \par
  861. X.2\ \ \ \ 1\ \ \ 1\ \ -1 \par
  862. X.3\ \ \ \ 2\ \ -1\ \ \ . \par
  863.  \par
  864. \ 
  865.  \par
  866. $6.G.2$ \par
  867.  \par
  868. \ \ \ 2\ \ \ 2\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 2\ \ \ 2\ \ \ 2 \par
  869. \ \ \ 3\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ .\ \ \ . \par
  870.  \par
  871. \ \ \ \ \ \ 1a\ \ 6a\ \ 3a\ \ 2a\ \ 2b\ \ 2c \par
  872. \ \ 2P\ \ 1a\ \ 3a\ \ 3a\ \ 1a\ \ 1a\ \ 1a \par
  873. \ \ 3P\ \ 1a\ \ 2a\ \ 1a\ \ 2a\ \ 2b\ \ 2c \par
  874.  \par
  875. Y.1\ \ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1 \par
  876. Y.2\ \ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ -1\ \ -1 \par
  877. Y.3\ \ \ \ 1\ \ -1\ \ \ 1\ \ -1\ \ \ 1\ \ -1 \par
  878. Y.4\ \ \ \ 1\ \ -1\ \ \ 1\ \ -1\ \ -1\ \ \ 1 \par
  879. Y.5\ \ \ \ 2\ \ -1\ \ -1\ \ \ 2\ \ \ .\ \ \ . \par
  880. Y.6\ \ \ \ 2\ \ \ 1\ \ -1\ \ -2\ \ \ .\ \ \ . \par
  881.  
  882. \end{minipage}}}
  883. \end{picture}
  884. %end
  885. %display
  886. % -------   -------        ;   @   ;   ;  @      3.G.2
  887. %|       | |       |           1          1      
  888. %|   G   | |  G.2  |     p power          A         2   1   .   1 
  889. %|       | |       |     p' part          A         3   1   1   .  
  890. % -------   -------      ind  1A fus ind 2A        
  891. % -------   -------                                    1a 3a 2a 
  892. %|       | |       |   X1  +   1   :  ++  1        2P  1a 3a 1a 
  893. %|  2.G  | | 2.G.2 |                               3P  1a 1a 2a 
  894. %|       | |       |     ind   1 fus ind  2      
  895. % -------   -------            2          2      X.1    1  1  1 
  896. % -------   -------                              X.2    1  1 -1 
  897. %|       | |           X2  +   1   :  ++  1      X.3    2 -1  . 
  898. %|  3.G  | | 3.G.2                          
  899. %|       | |             ind   1 fus ind  2 
  900. % -------                      3                 6.G.2 
  901. % -------   -------            3                 
  902. %|       | |                                        2   2  1  1  2  2  2
  903. %|  6.G  | | 6.G.2     X3 o2   1   *   +            3   1  1  1  1  .  .
  904. %|       | |                                    
  905. % -------                ind   1 fus ind  2            1a 6a 3a 2a 2b 2c
  906. %                              6          2        2P  1a 3a 3a 1a 1a 1a
  907. %                              3                   3P  1a 2a 1a 2a 2b 2c
  908. %                              2                 
  909. %                              3                 Y.1    1  1  1  1  1  1
  910. %                              6                 Y.2    1  1  1  1 -1 -1
  911. %                                                Y.3    1 -1  1 -1  1 -1
  912. %                      X4 o2   1   *   +         Y.4    1 -1  1 -1 -1  1
  913. %                                                Y.5    2 -1 -1  2  .  .
  914. %                                                Y.6    2  1 -1 -2  .  .
  915. %end
  916.  
  917. The tables of $G, 2.G, 3.G, 6.G$ and $G.2$ are known from the first example,
  918. that of $2.G.2 \cong V_4$ will be given in the next one.
  919. So here we only print the {\GAP} tables of $3.G.2 \cong D_6$ and
  920. $6.G.2 \cong D_{12}$\:
  921.  
  922. In $3.G.2$, 'X.1', 'X.2' extend $\chi_1$; $\chi_3$ and its follower fuse to
  923. give 'X.3', and two of the preimages of '1A' collapse.
  924.  
  925. In $6.G.2$, 'Y.1'-'Y.4' are extensions of $\chi_1, \chi_2$, so these characters
  926. are the inflated characters from $2.G.2$ (with respect to the factor fusion
  927. '[ 1, 2, 1, 2, 3, 4 ]'). 'Y.5' is inflated from $3.G.2$ (with respect to the
  928. factor fusion '[ 1, 2, 2, 1, 3, 3 ]'), and 'Y.6' is the result of the fusion
  929. of $\chi_4$ and its follower.
  930.  
  931.  
  932. For the last example, let $G$ be the group $2^2$.
  933. Consider the following tables\:
  934.  
  935. %ignore
  936. \begin{picture}(110,125)
  937. \put(0,93){
  938. \begin{picture}(29,29)
  939. \put(0,29){\line(1,0){14}}
  940. \put(0,15){\line(1,0){14}}
  941. \put(0,14){\line(1,0){14}}
  942. \put(0,0){\line(1,0){14}}
  943. \put(15,29){\line(1,0){14}}
  944. \put(15,15){\line(1,0){14}}
  945. \put(15,14){\line(1,0){14}}
  946. \put(15,0){\line(1,0){14}}
  947. \put(0,15){\line(0,1){14}}
  948. \put(0,0){\line(0,1){14}}
  949. \put(14,15){\line(0,1){14}}
  950. \put(15,15){\line(0,1){14}}
  951. \put(29,15){\line(0,1){14}}
  952. \put(14,0){\line(0,1){14}}
  953. \put(15,0){\line(0,1){14}}
  954. \put(29,0){\line(0,1){14}}
  955. \put(7,7){\makebox(0,0){2.G}}
  956. \put(22,7){\makebox(0,0){2.G.3}}
  957. \put(7,22){\makebox(0,0){G}}
  958. \put(22,22){\makebox(0,0){G.3}}
  959. \end{picture}}
  960.  
  961. \put(81,91){\line(0,1){8}}  % fusion sign in picture
  962. \put(39,122){\makebox(0,0)[tl]{
  963. \small\tt
  964. \begin{minipage}{3in}
  965. \baselineskip0.9ex
  966. \parskip0.2ex
  967.  
  968. \ \ \ \ ;\ \ \ @\ \ \ @\ \ \ @\ \ \ @\ \ \ ;\ \ \ ;\ \ \ @\ \par
  969. \ \par
  970. \ \ \ \ \ \ \ \ 4\ \ \ 4\ \ \ 4\ \ \ 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \par
  971. \ \ p\ power\ \ \ A\ \ \ A\ \ \ A\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A\ \par
  972. \ \ p\ttquote\ part\ \ \ A\ \ \ A\ \ \ A\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A\ \par
  973. \ \ ind\ \ 1A\ \ 2A\ \ 2B\ \ 2C\ fus\ ind\ \ 3A\ \par
  974. \ \par
  975. $\chi_1$\ \ +\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ \:\ +oo\ \ \ 1\ \par
  976. \ \par
  977. $\chi_2$\ \ +\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ -1\ \ -1\ \ \ .\ \ \ +\ \ \ 0\ \par
  978. \ \par
  979. $\chi_3$\ \ +\ \ \ 1\ \ -1\ \ \ 1\ \ -1\ \ \ .\ \par
  980. \ \par
  981. $\chi_4$\ \ +\ \ \ 1\ \ -1\ \ -1\ \ \ 1\ \ \ .\ \par
  982. \ \par
  983. \ \ ind\ \ \ 1\ \ \ 4\ \ \ 4\ \ \ 4\ fus\ ind\ \ \ 3\ \par
  984. \ \ \ \ \ \ \ \ 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6\ \par
  985. \ \par
  986. $\chi_5$\ \ -\ \ \ 2\ \ \ 0\ \ \ 0\ \ \ 0\ \ \ \:\ -oo\ \ \ 1\ \par
  987. \end{minipage}}}
  988.  
  989. \put(102,122){\makebox(0,0)[tl]{
  990. \small\tt
  991. \begin{minipage}{3in}
  992. \baselineskip2.7ex
  993. \parskip0ex
  994. $G.3$\par
  995.  \par
  996. \ \ \ 2\ \ \ 2\ \ \ 2\ \ \ .\ \ \ . \par
  997. \ \ \ 3\ \ \ 1\ \ \ .\ \ \ 1\ \ \ 1 \par
  998.  \par
  999. \ \ \ \ \ \ 1a\ \ 2a\ \ 3a\ \ 3b \par
  1000. \ \ 2P\ \ 1a\ \ 1a\ \ 3b\ \ 3a \par
  1001. \ \ 3P\ \ 1a\ \ 2a\ \ 1a\ \ 1a \par
  1002.  \par
  1003. X.1\ \ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1 \par
  1004. X.2\ \ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ A\ \ /A \par
  1005. X.3\ \ \ \ 1\ \ \ 1\ \ /A\ \ \ A \par
  1006. X.4\ \ \ \ 3\ \ -1\ \ \ .\ \ \ . \par
  1007.  \par
  1008. A\ =\ E(3) \par
  1009. \ \ =\ (-1+ER(-3))/2\ =\ b3 \par
  1010. \end{minipage}}}
  1011.  
  1012. \put(0,71){\makebox(0,0)[tl]{
  1013. \small\tt
  1014. \begin{minipage}{3in}
  1015. \baselineskip2.7ex
  1016. \parskip0ex
  1017. $2.G$\par
  1018.  \par
  1019. \ \ \ 2\ \ \ 3\ \ \ 3\ \ \ 2\ \ \ 2\ \ \ 2\par
  1020.  \par
  1021. \ \ \ \ \ \ 1a\ \ 2a\ \ 4a\ \ 4b\ \ 4c\par
  1022. \ \ 2P\ \ 1a\ \ 1a\ \ 2a\ \ 1a\ \ 1a\par
  1023. \ \ 3P\ \ 1a\ \ 2a\ \ 4a\ \ 4b\ \ 4c\par
  1024.  \par
  1025. X.1\ \ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\par
  1026. X.2\ \ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ -1\ \ -1\par
  1027. X.3\ \ \ \ 1\ \ \ 1\ \ -1\ \ \ 1\ \ -1\par
  1028. X.4\ \ \ \ 1\ \ \ 1\ \ -1\ \ -1\ \ \ 1\par
  1029. X.5\ \ \ \ 2\ \ -2\ \ \ .\ \ \ .\ \ \ .\par
  1030. \end{minipage}}}
  1031.  
  1032. \put(50,71){\makebox(0,0)[tl]{
  1033. \small\tt
  1034. \begin{minipage}{3in}
  1035. \baselineskip2.7ex
  1036. \parskip0ex
  1037. $2.G.3$\par
  1038.  \par
  1039. \ \ \ 2\ \ \ 3\ \ \ 3\ \ \ 2\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\par
  1040. \ \ \ 3\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ .\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\par
  1041.  \par
  1042. \ \ \ \ \ \ 1a\ \ 2a\ \ 4a\ \ 3a\ \ 6a\ \ 3b\ \ 6b\par
  1043. \ \ 2P\ \ 1a\ \ 1a\ \ 2a\ \ 3b\ \ 3b\ \ 3a\ \ 3a\par
  1044. \ \ 3P\ \ 1a\ \ 2a\ \ 4a\ \ 1a\ \ 2a\ \ 1a\ \ 2a\par
  1045.  \par
  1046. X.1\ \ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\par
  1047. X.2\ \ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ A\ \ \ A\ \ /A\ \ /A\par
  1048. X.3\ \ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ /A\ \ /A\ \ \ A\ \ \ A\par
  1049. X.4\ \ \ \ 3\ \ \ 3\ \ -1\ \ \ .\ \ \ .\ \ \ .\ \ \ .\par
  1050. X.5\ \ \ \ 2\ \ -2\ \ \ .\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\ \ \ 1\par
  1051. X.6\ \ \ \ 2\ \ -2\ \ \ .\ \ \ A\ \ -A\ \ /A\ -/A\par
  1052. X.7\ \ \ \ 2\ \ -2\ \ \ .\ \ /A\ -/A\ \ \ A\ \ -A\par
  1053.  \par
  1054. A\ =\ E(3) \par
  1055. \ \ =\ (-1+ER(-3))/2\ =\ b3 \par
  1056. \end{minipage}}}
  1057. \end{picture}
  1058. %end
  1059. %display
  1060. % -------   -------          ;   @   @   @   @   ;   ;   @
  1061. %|       | |       |             4   4   4   4           1
  1062. %|   G   | |  G.3  |       p power   A   A   A           A
  1063. %|       | |       |       p' part   A   A   A           A
  1064. % -------   -------        ind  1A  2A  2B  2C fus ind  3A
  1065. % -------   -------                                    
  1066. %|       | |       |     X1  +   1   1   1   1   : +oo   1
  1067. %|  2.G  | | 2.G.3 |     X2  +   1   1  -1  -1   .   +   0
  1068. %|       | |       |     X3  +   1  -1   1  -1   .    
  1069. % -------   -------      X4  +   1  -1  -1   1   .        
  1070. %                                                      
  1071. %                          ind   1   4   4   4 fus ind   3
  1072. %                                2                       6
  1073. %
  1074. %                        X5  -   2   0   0   0   : -oo   1
  1075. %
  1076. %  G.3
  1077. %   
  1078. %     2   2   2   .   .
  1079. %     3   1   .   1   1
  1080. %   
  1081. %        1a  2a  3a  3b
  1082. %    2P  1a  1a  3b  3a
  1083. %    3P  1a  2a  1a  1a
  1084. %
  1085. %  X.1    1   1   1   1
  1086. %  X.2    1   1   A  /A
  1087. %  X.3    1   1  /A   A
  1088. %  X.4    3  -1   .   .
  1089. %
  1090. %  A = E(3) 
  1091. %    = (-1+ER(-3))/2 = b3
  1092. %
  1093. %  2.G                          2.G.3
  1094. %                                
  1095. %     2   3   3   2   2   2        2   3   3   2   1   1   1   1
  1096. %                                  3   1   1   .   1   1   1   1
  1097. %        1a  2a  4a  4b  4c     
  1098. %    2P  1a  1a  2a  1a  1a           1a  2a  4a  3a  6a  3b  6b
  1099. %    3P  1a  2a  4a  4b  4c       2P  1a  1a  2a  3b  3b  3a  3a
  1100. %                                 3P  1a  2a  4a  1a  2a  1a  2a
  1101. %  X.1    1   1   1   1   1     
  1102. %  X.2    1   1   1  -1  -1     X.1    1   1   1   1   1   1   1
  1103. %  X.3    1   1  -1   1  -1     X.2    1   1   1   A   A  /A  /A
  1104. %  X.4    1   1  -1  -1   1     X.3    1   1   1  /A  /A   A   A
  1105. %  X.5    2  -2   .   .   .     X.4    3   3  -1   .   .   .   .
  1106. %                               X.5    2  -2   .   1   1   1   1
  1107. %                               X.6    2  -2   .   A  -A  /A -/A
  1108. %                               X.7    2  -2   .  /A -/A   A  -A
  1109. %   
  1110. %                               A = E(3) 
  1111. %                                 = (-1+ER(-3))/2 = b3 
  1112. %end
  1113.  
  1114. In the table of $G.3 \cong A_4$, the characters $\chi_2, \chi_3$ and $\chi_4$
  1115. fuse, and the classes '2A', '2B' and '2C' collapse.
  1116. To get the table of $2.G \cong Q_8$ one just has to split the class '2A' and
  1117. adjust the representative orders.
  1118. Finally, the table of $2.G.3 \cong SL_2(3)$ is given; the subgroup fusion
  1119. corresponding to the injection $2.G \hookrightarrow 2.G.3$ is
  1120. '[ 1, 2, 3, 3, 3 ]', and the factor fusion corresponding to the epimorphism
  1121. $2.G.3 \rightarrow G.3$ is '[ 1, 1, 2, 3, 3, 4, 4 ]'.
  1122.  
  1123. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  1124. \Section{CAS Tables}\index{character tables!CAS}%
  1125. \index{tables!library}\index{library of character tables}
  1126.  
  1127. All tables of the {\CAS} table library are available in \GAP, too.
  1128. This sublibrary has been completely revised, i.e., errors have been corrected
  1129. and powermaps have been completed.
  1130.  
  1131. Any {\CAS} table is accessible by each of its {\CAS} names, that is, the table
  1132. name or the filename (see "CharTable")\:
  1133.  
  1134. |    gap> t:= CharTable( "m10" );; t.name;
  1135.     "A6.2_3"|
  1136.  
  1137. One does, however, not always get the original {\CAS} table\:\ 
  1138. In many cases (mostly {\ATLAS} tables, see "ATLAS Tables") not only the name
  1139. but also the succession of classes and characters has changed;
  1140. the records in the component 'CAS' of the table (see "Character Table Records")
  1141. contain the permutations which must be applied to classes and characters
  1142. to get the original {\CAS} table\:
  1143.  
  1144. |    gap> t.CAS;
  1145.     [ rec(
  1146.           name := "m10",
  1147.           permchars := (3,5)(4,8,7,6),
  1148.           permclasses := (),
  1149.           text :=
  1150.            "names:     m10\norder:     2^4.3^2.5 = 720\nnumber of classes:\
  1151.      8\nsource:    cambridge atlas\ncomments:  point stabilizer of mathieu\
  1152.     -group m11\ntest:      orth, min, sym[3]                            \n\
  1153.     " ) ]|
  1154.  
  1155. The subgroup fusions were computed anew; their record component 'text' tells if
  1156. the fusion is equal to that in the {\CAS} library --of course modulo the
  1157. permutation of classes.
  1158.  
  1159. *Note* that the fusions are neither tested to be consistent for any two
  1160. subgroups of a group and their intersection, nor tested to be consistent
  1161. with respect to composition of maps.
  1162.  
  1163. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  1164. \Section{Organization of the Table Libraries}
  1165.  
  1166. The *primary file* is 'TBLNAME/ctprimar.tbl'. It contains the evaluation
  1167. function 'CharTable' (see "CharTable") and some utilities.
  1168.  
  1169. The global variable 'LIBLIST' which contains the information about all
  1170. tables of the libraries is in the file 'TBLNAME/ctlist.tbl'; 'LIBLIST' is a
  1171. record with components 'ORDINARY' and 'GENERIC', both lists;
  1172. their entries are records with components 'firstname' (the value of
  1173. the 'name' component of the table), 'filename' (the name of the file that
  1174. contains the table, with respect to 'TBLNAME', for ordinary tables also
  1175. 'othernames' (a list of admissible other names) and possibly 'CASnames'
  1176. (the list of names that table had in {\CAS}).
  1177.  
  1178. 'LIBLIST' can be computed from the 'libinfo' components of the tables
  1179. using 'MakeLIBLIST' which reads all tables and returns 'LIBLIST'.
  1180.  
  1181. Also the *secondary files* are all stored in the directory 'TBLNAME';
  1182. they are 'ctlist.tbl' and
  1183.  
  1184. |    ctbalter.tbl  ctbatres.tbl  ctbconja.tbl  ctbfisc1.tbl  ctbfisc2.tbl
  1185.     ctbline1.tbl  ctbline3.tbl  ctbline4.tbl  ctbline5.tbl  ctbmathi.tbl
  1186.     ctbmonst.tbl  ctborth1.tbl  ctborth2.tbl  ctborth3.tbl  ctbspora.tbl
  1187.     ctbsympl.tbl  ctbtwist.tbl  ctbunit1.tbl  ctbunit2.tbl  ctbunit3.tbl
  1188.     ctbunit4.tbl  ctgeneri.tbl  ctoalter.tbl  ctoatres.tbl  ctoconja.tbl
  1189.     ctofisc1.tbl  ctofisc2.tbl  ctoline1.tbl  ctoline2.tbl  ctoline3.tbl
  1190.     ctoline4.tbl  ctoline5.tbl  ctomathi.tbl  ctomaxi1.tbl  ctomaxi2.tbl
  1191.     ctomaxi3.tbl  ctomaxi4.tbl  ctomisc1.tbl  ctomisc2.tbl  ctomisc3.tbl
  1192.     ctomisc4.tbl  ctomisc5.tbl  ctomisc6.tbl  ctomonst.tbl  ctonews.tbl
  1193.     ctoorth1.tbl  ctoorth2.tbl  ctoorth3.tbl  ctoorth4.tbl  ctoorth5.tbl
  1194.     ctospora.tbl  ctosylno.tbl  ctosympl.tbl  ctotwist.tbl  ctounit1.tbl
  1195.     ctounit2.tbl  ctounit3.tbl  ctounit4.tbl|
  1196.  
  1197. The names begin with 'ct' for ``character table\'\', followed by 'o' for
  1198. ``ordinary\'\', 'b' for ``Brauer\'\'\ or 'g' for ``generic\'\', then an
  1199. up to 5 letter description of the contents, e.g., 'alter' for the
  1200. alternating groups, and the extension '.tbl'.
  1201.  
  1202. The file 'ctb<descr>.tbl' contains (at most) the Brauer tables corresponding
  1203. to the ordinary tables in 'cto<descr>.tbl'.
  1204.  
  1205. The *format of library tables* is always like this\:
  1206.  
  1207. |    LIBTABLE.|<filename>|.(|<tblname>|):=rec(
  1208.           ...
  1209.                # here the record components are stored
  1210.           ... );|
  1211.  
  1212. Here <filename> is the name of the file containing the table, relative to
  1213. 'TBLNAME', e.g.\ 'ctoalter', and <tblname> is the value of the 'name'
  1214. component of the table, e.g.\ '\"A5\"'.
  1215.  
  1216. For the contents of the table record, there are three different ways how
  1217. tables are stored\:
  1218.  
  1219. *Full tables* (like that of $A_5$) are stored similar to the internal
  1220. format (see "Character Table Records").  Lists of characters, however,
  1221. will be abbreviated in the following way\:
  1222.  
  1223. For each subset of characters which differ just by multiplication
  1224. with a linear character or by Galois conjugacy, only one is given by
  1225. its values, the others are replaced by '[TENSOR,[<i>,<j>]]' (which
  1226. means that the character is the tensor product of the <i>-th and the
  1227. <j>-th character) or '[GALOIS,[<i>,<j>]]' (which means that the
  1228. character is the <j>-th Galois conjugate of the <i>-th character.
  1229.  
  1230. *Brauer tables* (like that of $A_5$ mod $2$) are stored relative to the
  1231. corresponding ordinary table; instead of irreducible characters the files
  1232. contain decomposition matrices or Brauer trees for the blocks of nonzero
  1233. defect (see "Brauer Table Records"), and components which can be got by
  1234. restriction to $p$--regular classes are not stored at all.
  1235.  
  1236. *Construction tables* (like that of $O_8^-(3)M7$) have a component
  1237. 'construction' that is a function of one variable.  This function
  1238. is called by 'CharTable'
  1239. (see "CharTable") when the table is constructed, i.e.\ *not* when
  1240. the file containing the table is read.
  1241.  
  1242. The aim of this rather complicated way to store a character table is
  1243. that big tables with a simple structure (e.g. direct products) can be
  1244. stored in a very compact way.
  1245.  
  1246. Another special case where construction tables are useful is that of
  1247. projective tables\: 
  1248.  
  1249. In their component 'irreducibles' they do not contain irreducible
  1250. characters but a list with information about the factor groups\:\ 
  1251. Any entry is a list of length 2 that contains at position 1 the name of
  1252. the table of the factor group, at the second position a list of
  1253. integers representing the Galois automorphisms to get follower
  1254. characters.  E.g., for $12.M_{22}$, the value of 'irreducibles' is
  1255.  
  1256. |    [["M22",[]],["2.M22",[]],
  1257.      ["3.M22",[-1,-13,-13,-1,23,23,-1,-1,-1,-1,-1]],
  1258.      ["4.M22",[-1,-1,15,15,23,23,-1,-1]],,
  1259.      ["6.M22",[-13,-13,-1,23,23,-1,-7,-7,-1,-1]],,,,,,
  1260.      ["12.M22",[[17,-17,-1],[17,-17,-1],[-55,-377,-433],[-55,-377,-433],
  1261.      [89,991,1079],[89,991,1079],[-7,7,-1]]]]|
  1262.  
  1263. Using this and the 'projectives' component of the table of the smallest
  1264. nontrivial factor group, "CharTable" 'CharTable' constructs the
  1265. irreducible characters.  The table head, however, need not be
  1266. constructed.
  1267.  
  1268. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  1269. \Section{How to Extend a Table Library}\index{library tables!add}%
  1270. \index{tables!add to a library}\index{NotifyCharTable}%
  1271. \index{PrintToLib}
  1272.  
  1273. If you have some ordinary character tables which are not (or not yet) in a
  1274. {\GAP} table library, but which you want to treat as library tables,
  1275. e.g., assign them to variables using "CharTable" 'CharTable',
  1276. you can include these tables.  For that, two things must be done\:
  1277.  
  1278. First you must notify each table, i.e., tell {\GAP} on which file it can
  1279. be found, and which names are admissible; this can be done using
  1280.  
  1281. 'NotifyCharTable( <firstname>, <filename>, <othernames> )',
  1282.  
  1283. with strings <firstname> (the 'name' component of the table) and
  1284. <filename> (the name of the file containing the table, relative to
  1285. 'TBLNAME', and without extension '.tbl'), and a list <othernames>
  1286. of strings which are other admissible names of the table (see "CharTable").
  1287.  
  1288. 'NotifyCharTable' will add a record with these information to
  1289. 'LIBLIST.ORDINARY'.  A warning is printed for each table <libtbl> that
  1290. was already accessible by some of the names, and delete these names in
  1291. the 'LIBLIST.ORDINARY' component of <libtbl>.  Of course this affects
  1292. only the value of 'LIBLIST' in the current session, not that on the file.
  1293.  
  1294. *Note* that an error is raised if you want to notify a table with
  1295. <firstname> or name in <othernames> which is already the 'name'
  1296. component of a library table.
  1297.  
  1298. |    gap> NotifyCharTable( "Private", "../tables/mytables", [ "My" ] );
  1299.     # tells {\GAP} that the table with names '\"Private\"' and '\"My\"'
  1300.     # is stored on file 'mytables.tbl' in the given directory
  1301.     gap> list:= List( LIBLIST.ORDINARY, x ->x.firstname );;
  1302.     gap> LIBLIST.ORDINARY[ Position( list, "Private" ) ];
  1303.     rec( 
  1304.       firstname := "Private", 
  1305.       filename := "../tables/mytables",
  1306.       othernames := [ "My" ] )|
  1307.  
  1308. The second condition is that each file must contain tables in library
  1309. format as described in "Organization of the Table Libraries"; in the
  1310. example, the contents of the file may be this\:
  1311.  
  1312. |    LIBTABLE.'../tables/mytables'.Private:=
  1313.     rec(name:="Private",centralizers:=[1,1],irreducibles:=[[1,1],[1,-1]])
  1314.     );|
  1315.  
  1316. Now the private table is a library table\:
  1317.  
  1318. |    gap> CharTable( "My" );
  1319.     rec( 
  1320.       name := "Private", centralizers:= [ 1, 1 ],
  1321.       irreducibles := [ [ 1, 1 ], [ 1, -1 ] ] )|
  1322.  
  1323. To append the table <tbl> in library format to the file with name <file>,
  1324. use
  1325.  
  1326. 'PrintToLib( <file>, <tbl> )'.
  1327.  
  1328. *Note* that here <file> is the absolute name of the file, not the name
  1329. relative to 'TBLNAME'.  Thus the filename in the row with the assignment
  1330. to 'LIBTABLE' must be adjusted to make the file a library file.
  1331.  
  1332. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  1333. \Section{FirstNameCharTable}
  1334.  
  1335. 'FirstNameCharTable( <name> )'
  1336.  
  1337. returns the value of the 'name' component of the character table with
  1338. admissible name <name>, if exists; otherwise 'false' is returned.
  1339.  
  1340. For each admissible name, also the lowercase string is admissible.
  1341.  
  1342. |    gap> FirstNameCharTable( "m22mod3" ); FirstNameCharTable( "s5" );
  1343.     "M22mod3"
  1344.     "A5.2"
  1345.     gap> FirstNameCharTable( "J5" );
  1346.     false|
  1347.  
  1348. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  1349. \Section{FileNameCharTable}
  1350.  
  1351. 'FileNameCharTable( <firstname> )'
  1352.  
  1353. returns the value of the 'filename' component of the information record
  1354. in 'LIBLIST' for the table with name component <firstname>, if exists;
  1355. otherwise 'false' is returned.
  1356.  
  1357. |    gap> FileNameCharTable( "m22mod3" ); FileNameCharTable( "M22mod3" );
  1358.     false
  1359.     "ctbmathi"|
  1360.  
  1361.