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/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / physics / 18723 < prev    next >
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Internet Message Format  |  1992-11-11  |  3.2 KB
  1. Xref: sparky sci.physics:18723 sci.math:14797
  2. Newsgroups: sci.physics,sci.math
  3. Path: sparky!uunet!caen!sol.ctr.columbia.edu!shire.math.columbia.edu!dy
  4. From: dy@shire.math.columbia.edu (Deane Yang)
  5. Subject: Re: Covariant vs. Lie Derivative in Gen. Rel.?
  6. References: <1992Nov10.173224.6690@vision.ummed.edu> <1992Nov11.062853.22717@galois.mit.edu> <1drukoINN801@darkstar.UCSC.EDU>
  7. Sender: nobody@ctr.columbia.edu
  8. Organization: Mathematics Department, Columbia University
  9. Date: Wed, 11 Nov 1992 22:55:12 GMT
  10. Message-ID: <1992Nov11.225512.19729@sol.ctr.columbia.edu>
  11. X-Posted-From: shire.math.columbia.edu
  12. NNTP-Posting-Host: sol.ctr.columbia.edu
  13. Lines: 58
  14.  
  15. In article <1drukoINN801@darkstar.UCSC.EDU> ask@ucscb.UCSC.EDU (Andrew Stanford Klingler) writes:
  16.  
  17. >JB:
  18. >
  19. >>
  20. >>To repeat: The connection allows you to compare tangent vectors at two
  21. >>points of the manifold given only a curve connecting them; the Lie
  22. >>derivative requires a whole vector field, to generate a flow that "drags
  23. >>tensors along". 
  24. >>
  25. >The distinction you're making sounds kind of phony; after all one can
  26. >define a connection using a vector field or a field of one-forms (I may
  27. >be limiting myself to principal fiber bundles here).  It seems like the
  28. >flow is just buried in the structure for a connection (in some sense a
  29. >connection gets you "more than a flow" - the local family of geodesics
  30. >through a point).  Without a connection, you have no way to compare vectors
  31. >at two different points, so you have to transport tensors out, then back
  32. >to the same point and compare them there.  With a connection, you have
  33. >"flow in every direction" (geodesics thru the point) so parallel transport
  34. >vectors from a point to any other point and compare them there.  From this
  35. >point of view Lie derivatives and covariant derivatives represent the
  36. >same geometric thing, I think.  Am I way wrong here?
  37. >
  38. >
  39.  
  40. Jon Baez, I hope, will have a more complete explanation, but yes
  41. you're way off here. The covariant derivative and the Lie derivative
  42. are very different things.
  43.  
  44. For one thing, a connection is something that can live in any
  45. vector or principal bundle, whereas the Lie derivative is
  46. only well defined for bundles associated to the tangent bundle.
  47.  
  48. Secondly, the connection is an additional structure that one
  49. imposes on a bundle; the Lie derivative depends only on
  50. the smooth structure on the manifold.
  51.  
  52. The easiest thing to do is to ponder this: On a tangent bundle
  53. with a torsion free connection (like the Levi-Civita connection
  54. of a Riemannian metric), 
  55. The Lie derivative of a vector field W with respect to a vector
  56. field V is
  57.  
  58. L_V W = [V,W] = D_V W - D_W V,
  59.  
  60. where L denotes Lie derivative and D denotes covariant derivative.
  61.  
  62. Addressing your discussion a little more directly, the point is
  63. that whereas a connection allows you to parallel translate a
  64. single vector from one point to another, if you have a global
  65. vector field, you can't transport vectors between two arbitrary
  66. points, but you can transport it between two points that lie
  67. on the same integral curve of the vector field. In other words,
  68. you can push forward a second vector field using the 1-parameter
  69. flow of diffeomorphisms induced by the first vector field.
  70. The Lie derivative is defined using this means of transporting
  71. vectors.
  72.  
  73.